Действительные направления реакций опор конструкции

Стр 1 из 2Следующая ⇒

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методические указания к заданиям

по выполнению курсовых работ и примеры их выполнения

(СТАТИКА)

Санкт– Петербург

УДК 531

Рецензент д-р. техн. наук, профессор В. Н. Глухих (СПбГАСУ)

Теоретическая механика: Методические указания к заданиям

по выполнению курсовых работ и примеры их выполнения (статика)
/сост.: В. П. Колосов, А. М. Подбелло; СПбГАСУ. – СПб., 2015. – 42 с.

В работе изложены методические указания и представлены задания в виде двух расчетно-графических работ по статике для студентов направления «Строительство». Приводятся примеры выполнения этих работ с подробными пояснениями.

Табл.. Ил.. Библиогр. назв.

Ó Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет, 2015

ВВЕДЕНИЕ

Настоящие методические указания содержат все необходимые материалы для выдачи студентам заданий к двум курсовым расчетно-графическим работам по статике, которые должны быть выполнены в соответствии с учебным планом в течение одного семестра. Примеры, иллюстрирующие процесс выполнения этих работ, в достаточной степени помогут студентам в их внеаудиторной работе.

Расчетно-графическая работа № 1

Работа представляет собой статический расчет составной конструкции, включающей плоскую стержневую ферму и опорную колонну.

Состав задания

1). Пользуясь методом расчленения, определить все опорные реакции, а также силы взаимодействия между частями конструкции.

2). Для проверки правильности вычислений определить главный вектор и главный момент системы заданных сил, выбирая за центр приведения точку С, а также главный вектор и главный момент полученных опорных реакций. Сравнить результаты и определить, к какому простейшему виду приводится система заданных сил.

3). Последовательно рассматривая равновесие узлов, определить усилия во всех стержнях фермы аналитически и графически.

4). Определить усилия в стержнях методом сечений, рассматривая не менее двух характерных сечений, и сравнить со значениями усилий, полученными методом вырезания узлов.

Примечания ко всем схемам.

Опорная колонна жестко заделана в точке G. Опора F, связанная с колонной, шарнирно-неподвижная. Опора А шарнирно-подвижная. Соединения стержней фермы шарнирные.

Распределенная нагрузка действует на колонну на всей ее высоте b. Заданные нагрузки, силы и размеры конструкций условные.

Схемы конструкций и варианты заданий

Схема № 1

Исходные данные к схеме № 1

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 4, 6, 7
								30^о	3, 5, 8, 9

Схема № 2

Исходные данные к схеме № 2

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	1, 4, 8, 9
								60^о	2, 6, 1, 9

Схема № 3

Исходные данные к схеме № 3

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	2, 4, 8, 7
								30^о	4, 5, 2, 6

Схема № 4

Исходные данные к схеме № 4

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	2, 6, 9, 5
								60^о	2, 5, 4, 7

Схема № 5

Исходные данные к схеме № 5

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 4, 8, 2
								60^о	2, 6, 9, 8

Схема № 6

Исходные данные к схеме № 6

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	1, 2, 5, 7
								60^о	6, 7, 8, 2

Схема № 7

Исходные данные к схеме № 7

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 4, 9, 7
								60^о	3, 5, 8, 4

Схема № 8

Исходные данные к схеме № 8

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	1, 4, 8, 9
								60^о	2, 6, 8, 9

Схема № 9

Исходные данные к схеме № 9

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								60^о	1, 3, 4, 7
								30^о	3, 5, 8, 2

Схема № 10

Исходные данные к схеме № 10

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	2, 4, 5, 7
								45^о	3, 5, 7, 9

Схема № 11

Исходные данные к схеме № 11

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 4, 6, 7
								60^о	3, 5, 8, 9

Схема № 12

Исходные данные к схеме № 12

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								60^о	2, 4, 5, 8
								30^о	3, 4, 6, 9

Схема № 13

Исходные данные к схеме № 13

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 5, 6, 3
								60^о	4, 7, 3, 9

Схема № 14

Исходные данные к схеме № 14

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								60^о	1, 4, 6, 7
								45^о	3, 5, 8, 9

Схема № 15

Исходные данные к схеме № 15

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	1, 4, 6, 7
								60^о	3, 5, 8, 9

Пример выполнения расчетно-графической работы № 1

Схема конструкции

Исходные данные: a = 4, 0 м, b = 3, 0 м, Р₁ = 1, 0 кН, Р₂ = 2, 0 кН, Р₃ = 3, 0 кН, Р₄ = 4, 0 кН, q = 1, 0 кН/м

Для определения опорных реакций расчленяем конструкцию в шарнире F и рассматриваем две расчетные схемы:

а) расчетная схема и уравнения равновесия колонны

б) расчетная схема и уравнения равновесия фермы

4. Σ X = P₂ - X_F = 0,

5. Σ M_F = Y_A 3 a - P₁ 2 a - P₂ b - P₃ a - P₄ a = 0,

6. Σ M_A = Y_F 3 a + P₃ 2 a + P₄ 2 a + P₁ a - P₂ b = 0.

В результате совместного решения шести уравнений с учетом значений заданных величин получим:

Y_F = - 4, 5 кН; Y_A = 3, 5 кН; X_F = 2, 0 кН;

X_G = - 8, 0 кН; Y_G = 4, 5 кН; M_G = 12, 0 кНм.

Пример выполнения расчетно-графической работы № 2

Работа представляет собой статический расчет пространственной стержневой конструкции, опирающейся на монолитный фундамент с помощью сферических шарниров. Определяются усилия во всех стержнях конструкции методом вырезания узлов. Кроме того, выясняется общее силовое воздействие на фундамент со стороны стержневой конструкции путем приведения системы сил к заданному центру О на верхней поверхности фундамента.

Расчетная схема узла А

Уравнения равновесия
:
1. Σ X = F₁ sin α + R₂ = 0; 2.Σ Y = - F₁ cos α - R₃ cos β = 0;

3.Σ Z = - R₁ - R₃ sin β = 0. П ри значениях функций

sin α = 0, 6; cos α = 0, 8; sin β = 0, 447; cos β = 0, 895 из уравнений

найдем R₂ = - 0, 6 кН, R₃ = - 0, 894 кН, R₁ = 0, 4 кН.

Расчетная схема узла В

Уравнения равновесия

4. Σ X = R₂ - R₄ sin δ - R₆ cos γ sin α = 0;

5.Σ Y = - R₆ cos γ cos α = 0;

6.Σ Z = - F₂ - R₅ - R₄ cos δ - R₆ sin γ = 0.

Значения функций sin γ = 0, 37; cos γ = 0, 93; sin δ = 0, 6; cos δ = 0, 8.

Результаты решения уравнений R₆ = 0, R₄ = 1, 0 кН, R₅ = - 2, 8 кН

Расчетная схема узла С

Уравнения равновесия

7. Σ X = F₃ + R₉ cos φ = 0,

8. Σ Y = R₇ cos β - R₃ cos β = 0,
9.Σ Z = - R₈ - R₃ sin β - R₇ sin β - R₉ sin φ = 0.
Вычислив значения функций cos φ = 0, 83; sin φ = 0, 55; из уравнений равновесия найдем R₉ = - 3, 6 кН; R₇ = 0, 89 кН; R₈ = 1, 2 кН.

Рассмотрим систему сил, действующих на фундамент со стороны стержней. При этом следует реакции растянутых стержней направлять «от узла», расположенного на фундаменте, а сжатых стержней «к узлу».

Приведем эту систему сил к заданному центру О на поверхности фундамента.Проекции главного вектора V на оси координат

V_x = Σ X = R₉ cos φ + R₄ sin δ = 3, 6 кН; V_y = Σ Y = - R₇ cos β = - 0, 8 кН;

V_z = Σ Z = R₁ + R₄ cos δ – R₅ + R₇ sin β + R₈ – R₉ sin φ = - 2, 0 кН

Величина главного вектора V = = 4, 2 кН

Проекции главного момента M_o

M_ox = Σ M_x = R₁ 0, 5 b + R₄ cos δ 0, 5 b – R₅ 0, 5 b + R₇ sin β 0, 5 b – R₈ 0, 5 b +
+ R₉ sin φ = - 0, 8 кНм

M_oy = Σ M_y = R₁ 0, 5 a+ R₄ cos δ 0, 5 + R₇ sin β 0, 5 a + R₈ 0, 5 a + R₉ sin φ 0, 5 a + R₅ 0, 5 a =11, 4 кНм

M_oz = Σ M_z = - R₄ sin δ 0, 5 b + R₇ cos β 0, 5 a + R₉ cos φ 0, 5 b = 6, 0 кНм

Величина главного момента M_o = = 12, 9 кНм

Для проверки выполненных расчетов найдем проекции главного вектора и главного момента для системы заданных сил F₁, , F₂ и F₃

V_x = Σ X = 3, 6 кН; V_y = Σ Y = = - 0, 8 кН; V_z = Σ Z = - 2, 0 кН

M_ox = Σ M_x = F₁ cos α 2h – F₂ 0, 5b = - 0, 8 кНм

M_oy = Σ M_y = F₃ h + F₁ sin α 2h + F₂ 0, 5 a = 11, 4 кНм

M_oz = Σ M_z = F₃ 0, 5b = 3, 0 x 2, 0 = 6, 0 кНм

Результаты совпадают, следовательно, расчеты выполнены правильно.

Определим, к какому простейшему виду приводится система сил.

Так как V ≠ 0 и M_o ≠ 0, то система сил приводится либо к равнодействующей, либо к «динаме» - силовому винту.

Найдем скалярное произведение главного момента и главного вектора

M_o V cos (M_o^V) = M_x V_x + M_y V_y + M_z V_z
= (-0, 8) 3, 6 + 11, 4 (-0, 8) + 6, 0 (- 2, 0) = - 24 ≠ 0.

Главный момент и главный вектор не перпендикулярны друг другу, следовательно система сил приводится к динаме.

Моментом динамы M_D называется проекция главного момента на линию действия главного вектора, поэтому M_D можно найти по формуле

M_D = (M_ox V_x + M_oy V_y + M_oz V_z) / V = -24 / 4, 2 = -5, 72 кНм

Знак минус означает, что вектор M_D направлен противоположно вектору V.

Расположение центральной оси системы определим, исходя из того, что векторы M_D и V расположены на этой оси и их одноименные проекции пропорциональны, т.е.

[M_x – (y V_z – z V_y)] / V_x = [M_y – (z V_x – x V_z)] / V_y =

= [M_z – (x V_y – y V_x)] / V_z = M_D / V,

где x, y и z - координаты точек, расположенных на центральной оси.

Для определения координат x₁ и y₁ точки 1 пересечения центральной оси с плоскостью хОу выберем следующие два равенства

[M_x – (y₁ V_z – z₁ V_y)] / V_x = M_D / V, [M_y – (z₁ V_x – x₁ V_z )] / V_y = M_D / V, где положим z₁ = 0.

{ - 0, 8 – [ y₁ ( - 2, 0 ) – z₁ ( - 0, 8 ) ] } / 3, 6 = ( - 5, 72) / 4, 2; y₁ = - 2, 05 м

{ 11, 4 – [ z₁ 3, 6 – x₁ ( - 2, 0 ) ] } / ( - 0, 8 ) = ( - 5, 72) / 4, 2; x₁ = 5, 15 м

Аналогично определим координаты z₂ и x₂ точки 2 пересечения центральной оси с плоскостью xOz при y₂ = 0

[M_x – (y₂ V_z – z₂ V_y)] / V_x = M_D / V, [M_z – (x₂ V_y – y₂ V_x)] / V_y = M_D / V,

{ - 0, 8 – [ y₂ ( - 2, 0 ) – z₂ ( - 0, 8 ) ] } / 3, 6 = ( - 5, 72) / 4, 2; z₂ = 5, 12 м

{ 6, 0 – [ x₂ ( - 0, 8 ) – y₂ 3, 6 ) ] } / ( - 2, 0 ) = ( - 5, 72) / 4, 2; x₂ = - 4, 1 м

Координаты z₃ и y₃ точки 3 пересечения центральной оси с плоскостью zОу ( x₃ = 0)

[M_y – (z₃ V_x – x₃ V_z)] / V_y = M_D / V, [M_z – (x₃ V_y – y₃ V_x)] / V_y = M_D / V

{ 11, 4 – [ z₃ 3, 6 – x₃ ( - 2, 0 ) ] } / ( - 0, 8 ) = ( - 5, 72) / 4, 2; z₃ = 2, 86 м

{ 6, 0 – [ x₃ ( - 0, 8 ) – y₃ 3, 6 ) ] } / ( - 2, 0 ) = ( - 5, 72) / 4, 2; y₃ = - 0, 91 м

Рекомендуемая литература

1. Яблонский А. А. Курс теоретической механики / А. А. Яблонский, В. М. Никифоров. – М.: Высшая школа, 2010.

2. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики / С. М. Тарг. – М.: Физматгиз, 2006.

3. Бутенин Н. В. Курс теоретической механики. / Н. В. Бутенин, Я. Л. Лунц,. – М.: Физматгиз, 1970.

4. Бать М. И., Теоретическая механика в примерах и задачах / М. И. Бать., Г. Ю Джанелидзе., А. С. Кельзон: – М.: Физматгиз, 2013.

5. Добронравов В. В. Курс теоретической механики / В. В Добронравов., Н. Н. Никитин – М.: Высшая школа, 1983.

Оглавление

Введение …………

Расчетно-графическая работа №1…….

Пример выполнения расчетно-графической работы № 1…….

Расчетно-графическая работа № 2…….

Пример выполнения расчетно-графической работы № 2……

Рекомендуемая литература……

Учебное издание

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методические указания к заданиям

по выполнению курсовых работ и примеры их выполнения

(СТАТИКА)

Составители: Колосов Владислав Петрович.

Подбелло Александр Михайлович.

Редактор В.А. Преснова.

Корректор М. А. Молчанова.

Компьютерная верстка И.А. Яблоковой

Подписано к печати Формат Бум. Офсетная.

Усл. печ. Тираж Заказ

Санкт-Петербургский государственный архитектурно – строительный университет

190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д.4.

Отпечатано на ризографе.190005, 2-я Красноармейская ул., д.5.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Методические указания к заданиям

по выполнению курсовых работ и примеры их выполнения

(СТАТИКА)

Санкт– Петербург

УДК 531

Рецензент д-р. техн. наук, профессор В. Н. Глухих (СПбГАСУ)

Теоретическая механика: Методические указания к заданиям

Табл.. Ил.. Библиогр. назв.

Ó Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет, 2015

ВВЕДЕНИЕ

Расчетно-графическая работа № 1

Состав задания

Примечания ко всем схемам.

Схемы конструкций и варианты заданий

Схема № 1

Исходные данные к схеме № 1

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 4, 6, 7
								30^о	3, 5, 8, 9

Схема № 2

Исходные данные к схеме № 2

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	1, 4, 8, 9
								60^о	2, 6, 1, 9

Схема № 3

Исходные данные к схеме № 3

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	2, 4, 8, 7
								30^о	4, 5, 2, 6

Схема № 4

Исходные данные к схеме № 4

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	2, 6, 9, 5
								60^о	2, 5, 4, 7

Схема № 5

Исходные данные к схеме № 5

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 4, 8, 2
								60^о	2, 6, 9, 8

Схема № 6

Исходные данные к схеме № 6

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	1, 2, 5, 7
								60^о	6, 7, 8, 2

Схема № 7

Исходные данные к схеме № 7

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 4, 9, 7
								60^о	3, 5, 8, 4

Схема № 8

Исходные данные к схеме № 8

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	1, 4, 8, 9
								60^о	2, 6, 8, 9

Схема № 9

Исходные данные к схеме № 9

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								60^о	1, 3, 4, 7
								30^о	3, 5, 8, 2

Схема № 10

Исходные данные к схеме № 10

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	2, 4, 5, 7
								45^о	3, 5, 7, 9

Схема № 11

Исходные данные к схеме № 11

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 4, 6, 7
								60^о	3, 5, 8, 9

Схема № 12

Исходные данные к схеме № 12

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								60^о	2, 4, 5, 8
								30^о	3, 4, 6, 9

Схема № 13

Исходные данные к схеме № 13

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								45^о	1, 5, 6, 3
								60^о	4, 7, 3, 9

Схема № 14

Исходные данные к схеме № 14

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								60^о	1, 4, 6, 7
								45^о	3, 5, 8, 9

Схема № 15

Исходные данные к схеме № 15

№ варианта	a м	b м	P₁ кН	P₂ кН	P₃ кН	P₄ кН	q кН/м	Угол α	номера стержней
								30^о	1, 4, 6, 7
								60^о	3, 5, 8, 9

Пример выполнения расчетно-графической работы № 1

Схема конструкции

Исходные данные: a = 4, 0 м, b = 3, 0 м, Р₁ = 1, 0 кН, Р₂ = 2, 0 кН, Р₃ = 3, 0 кН, Р₄ = 4, 0 кН, q = 1, 0 кН/м

Для определения опорных реакций расчленяем конструкцию в шарнире F и рассматриваем две расчетные схемы:

а) расчетная схема и уравнения равновесия колонны

б) расчетная схема и уравнения равновесия фермы

4. Σ X = P₂ - X_F = 0,

5. Σ M_F = Y_A 3 a - P₁ 2 a - P₂ b - P₃ a - P₄ a = 0,

6. Σ M_A = Y_F 3 a + P₃ 2 a + P₄ 2 a + P₁ a - P₂ b = 0.

В результате совместного решения шести уравнений с учетом значений заданных величин получим:

Y_F = - 4, 5 кН; Y_A = 3, 5 кН; X_F = 2, 0 кН;

X_G = - 8, 0 кН; Y_G = 4, 5 кН; M_G = 12, 0 кНм.

Действительные направления реакций опор конструкции

Определение усилий в стержнях методом вырезания узлов

Расчетная схема и уравнения равновесия узла А

12 Следующая ⇒