Элементы векторной алгебры на плоскости

Стр 1 из 15Следующая ⇒

Программные вопросы

1. Сумма и разность двух векторов.

2. Коллинеарность и компланарность векторов.

3. Проекция вектора на ось.

4. Разложение вектора в системе орт на плоскости и в пространстве. Координаты вектора.

5. Свойства скалярного произведения векторов.

6. Угол между векторами. Длина вектора по его координатам.

7. Условие перпендикулярности двух векторов.

8. Вектор, перпендикулярный двум данным векторам.

9. Площадь треугольника, построенного на двух векторах.

10. Объём пирамиды с вершинами в заданных точках.

Решение типового примера

Пример 2.1.

Даны координаты точек . Пусть .

Требуется:

1) записать векторы и в системе орт и найти длины этих векторов;

2) найти орт вектора ;

3) изобразить векторы и в координатной плоскости ;

4) найти вектора и аналитически и геометрически.

Решение.

1) Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт , по формуле:

, (1)

где – координаты вектора в системе координат .

Если заданы точки , , то для вектора =

, (2)

Воспользовавшись (2) и координатами точек , получим:

или . Тогда .

Если вектор задан своими координатами, то его длина (модуль) вычисляется по формуле:

(3)

Используя формулу (3), получаем длины векторов и :

2) Известно, что орт вектора можно найти по формуле:

, т.е. , (4)

Воспользовавшись формулами (4), получим: .

3) Найдем векторы и аналитически.

Таким образом, .

Таким образом, (рис.1).

Найдем векторы и геометрически (рис.2).

Задачи контрольной работы

Даны координаты точек . Требуется:

1) записать векторы и в системе орт и найти длины этих векторов;

2) найти орт вектора ;

3) изобразить векторы и в координатной плоскости ;

4) найти вектора и аналитически и геометрически.

2.1 А(-8; -3), В(4; -12), С(8; 10)	2.11 А(4; 0), В(7; 4), С(8; 2)
2.2 А(-5; 7), В(7; -2), С(11; 20)	2.12 А(-2; 7), В(10; -2), С(8; 12)
2.3 A(3; -1), В(7; 1), С(4; -2)	2.13 А(-6; 8), В(6; -1), С(4; 13)
2.4 А(-12; -1), В(0; -10), С(4; 12)	2.14 А (0; 2), В(3; 6), С(4; 4)
2.5 А(-10; 3), В(2; 0), С(6; 22)	2.15 А(-10; 5), В(2; -4), С(0; 10)
2.6 А(0; 0), В(3; 4), С(4; 2)	2.16 А(-4; 12), В(8; 3), С(6; 17)
2.7 А(-9; 6), В(3; -3), С(7; 19)	2.17 А(-3; 10), В(9; 1), С(7; 15)
2.8 А(3; -3), В(6; 1), С(7; -1)	2.18 А(4; -3), В(7; 1), С(8; -1)
2.9 А(1; 0), В(13; -9), С(17; 13)	2.19 А(2; -2), В(5; 2), С(6; 0)
2.10 А(0; 2), В(12; -7), С(16; 15)	2.20 А(-1; 1), В(2; 5), С(3; 3)

Элементы векторной алгебры в пространстве

Решение типового примера

Пример 2.2.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Пусть А(0; 0; 1), В( 2; 3; 5), С(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Требуется:

1) Записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) Найти угол между векторами ;

3) Найти проекцию вектора на вектор ;

4) Найти площадь грани АВС;

5) Найти объём пирамиды ABCD;

Решение.

1. Известно, что произвольный вектор представляется в системе орт по формуле

(1)

где координаты вектора в системе координат, порождённой ортами, причём

Если заданы точки , то для вектора

то есть

(2)

Воспользовавшись формулой (2) и координатами заданных точек A, B, C, D, получим:

Если вектор задан формулой (1), то его модуль вычисляется следующим образом:

(3)

Используя формулу (3), получаем модули найденных векторов:

Известна формула

где скалярное произведение векторов и , которое можно вычислить следующим образом:

У нас

то есть .

3. Известно, что

то есть в нашем случае

4. Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и

где векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:

В нашем примере , причём

Таким образом,

(кв. ед.).

Объём пирамиды, построенной на трёх некомпланарных векторах можно найти по формуле

где смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:

У нас , где

то есть (куб.ед.).

Задачи контрольной работы

Даны координаты вершин пирамиды ABCD.

Требуется:

1) Записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов;

2) Найти угол между векторами ;

3) Найти проекцию вектора на вектор ;

4) Найти площадь грани АВС;

5) Найти объём пирамиды ABCD.

2.1 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.11 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.2 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.12 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.3 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.13 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.4 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.14 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.5 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.15 (2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.6 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.16 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.7 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.17 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.8 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.18 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.9 А(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.19 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).
2.10 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).	2.20 A(2; -3; 1), В(6; 1; -1), С(4; 8; -9), D(2; -1; 2).

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

НА ПЛОСКОСТИ

1. Метод координат. Виды уравнений прямой на плоскости.

2. Взаимное расположение 2 – х прямых на плоскости. Угол между 2 – мя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности 2 – х прямых на плоскости.

3. Кривые 2 – го порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола.

Решение типового примера

Пример 3.1.

Даны координаты вершин треугольника ABC: A(4; 3), B(16; - 6), C(20; 16). Найти

1) длину стороны АВ:

Расстояние d между двумя точками M₁(x₁; у₁ ) и M₂(x₂; y₂) на плоскости определяется формулой

(1)

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты:

Уравнение

(2)

является уравнением прямой, проходящей через две точки

М₁(x₁; y ₁) и M ₂(x₂; у₂)

Подставляя в (2) координаты точек A и B, получим уравнение прямой АВ:

; ; 4y-12=-3x+12; или 3x+4y -24=0 (АВ).

Уравнение

y = kx + b

называется уравнением прямой с угловым коэффициентом; k — угловой коэффициент, b — величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением Ах+Ву+С=0, то её угловой коэффициент определяется по формуле k =

Решив последнее уравнение относительно y, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:

4y =-3x+24, или y = - x+6, откуда k _АВ =

Аналогичным образом, подставляя координаты точек B и C в (2), находим уравнение прямой BC: 11x- 2y -188=0 (ВС) откуда k _ВС =

3) угол B:

Если известны угловые коэффициенты двух прямых k₁и k₂, то один из углов φ между этими прямыми определяется по формуле

(3)

Искомый угол В образован прямыми АВ и BC, угловые коэффициенты которых известны из предыдущего пункта. Применяя (3), получим

= 2.

4) уравнение медианы АЕ:

Определим координаты точки Е, которая является серединой отрезка BC по формулам координат середины данного отрезка:

, (4)

Имеем для точки Е: ,
Таким образом, Е(18; 5).

Подставляя в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы АЕ:

; ; x-7y +17=0 (АЕ).

5) уравнение и длину высоты СД:

Уравнение

у — y₀ = k(x—х₀) (5)

является уравнением прямой, которая проходит через точку М₀(х₀; у₀) и имеет угловой коэффициент k.

Высота СД перпендикулярна стороне АВ. Воспользуемся условием перпендикулярности 2 – х прямых на плоскости. Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

k₁k₂= —1 или k₂= —

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку. Отсюда

k_CD= — =

Подставив в (5) координаты точки С и k_CD получим уравнение высоты СD:

у — 16 = (x—20); 4x-3y -32=0 (СD).

Для нахождения длины высоты СD определим координаты точки D как точки пересечения прямых АВ и СD, решив совместно систему уравнений, их задающих:

Откуда x = 8, y = 0, т.е. D (8; 0).

6) уравнение окружности, для которой высота СD есть диаметр;

Уравнение окружности с центром в точке О(а; b) радиуса R имеет вид:

(x-a)²+(y-b)²=R² (6)

Если СD есть диаметр, то центр окружности – точка О – есть середина СD. Используя формулы (4) имеем для О:

, ,

Таким образом, О(14; 8).

Если СD есть диаметр, то радиус окружности – есть отрезок СО. Используя (1) найдем радиус:

Тогда, (x-14)²+(y-8)²=80 – уравнение искомой окружности.

7) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне

АВ, и точку K ее пересечения с высотой СD:

Т.к. заданная прямая параллельна стороне АВ, то можем использовать условие параллельности 2 – х прямых на плоскости: Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов

k₁ =k₂,

т.е. k = k_AB = -3/4. Знаем, что прямая проходит через точку Е с заданным угловым коэффициентом. Можем использовать уравнение (5):

у — 5 = -3/4(x—18); 4у — 20 = -3(x—18); 3x +4у - 2 = 0. (EL)

Точку K пересечения EL с высотой СD найдем, решив совместно систему уравнений, задающих эти прямые:

Откуда, x = 8, y = -88/25, т.е. K (8; -88/25).

8) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС:

Используя неравенство треугольника (сумма двух любых сторон треугольника меньше третьей его стороны), получаем систему:

Из п. 2 известны 3x+4y -24=0 (АВ), 11x- 2y -188=0 (ВС). Запишем уравнение АС, используя (2):

; ; 13(x-4)=16(y-3); 13x-16y-4=0 (АС).

Тогда, система линейных неравенств, определяющих треугольник АВС примет вид:

Или

Задачи контрольной работы

В задачах 3.1.1- 3.1.20 даны координаты вершин треугольника АВС. Найти:

· длину стороны АВ;

· уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;

· угол B в радианах;

· уравнение медианы АЕ;

· уравнение и длину высоты СД;

· уравнение окружности, для которой высота СД есть диаметр;

· уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне

АВ, и точку ее пересечения с высотой СД;

· систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС.

3.1.1	А(1; -1)	В(4; 3)	С(5; 1)
3.1.2	А(0; -1)	В(3; 3)	С(4; 1)
3.1.3	А(1; -2)	В(4; 2)	С(5; 0)
3.1.4	А(2; -2)	В(5; 2)	С(6; 0)
3.1.5	А(0; 0)	В(3; 4)	С(4; 2)
3.1.6	А(0; 1)	В(3; 5)	С(4; 3)
3.1.7	А(3; -2)	В(6; 2)	С(7; 0)
3.1.8	А(3; -3)	В(6; 1)	С(7; -1)
3.1.9	А(-1; 1)	В(2; 5)	С(3; 3)
3.1.10	А(4; 0)	В(7; 4)	С(8; 2)
3.1.11	А(2; 2)	В(5; 6)	С(6; 4)
3.1.12	А(4; -2)	В(7; 2)	С(8; 0)
3.1.13	А(0; 2)	В(3; 6)	С(4; 4)
3.1.14	А(4; 1)	В(7; 5)	С(8; 3)
3.1.15	А(3; 2)	В(6; 6)	С(7; 4)
3.1.16	А(-2; 1)	В(1; 5)	С(2; 3)
3.1.17	А(4; -3)	В(7; 1)	С(8; -1)
3.1.18	А(-2; 2)	В(1; 6)	С(2; 4)
3.1.19	А(5; 0)	В(8; 4)	С(9; 2)
3.1.20	А(2; 3)	В(5; 7)	С(6; 5)

Решение типового примера

Пример 3.2. Определить вид кривой, построить, найти координаты фокусов и эксцентриситет:

Пусть дана кривая .

Решение:

Приведем данное уравнение к каноническому виду. Для этого сгруппируем отдельно члены, содержащие переменные и :

В каждой из скобок вынесем коэффициент при квадрате переменной, а затем выделим полный квадрат, используя формулы сокращенного умножения :

Первые три слагаемые в скобках образуют полный квадрат разности , следовательно

Аналогичные действия осуществим для переменной :

Первые три слагаемые в скобках образуют полный квадрат суммы , следовательно

Тогда исходное уравнение примет вид:

Введем обозначения: . Произведенную замену будем рассматривать, как преобразование декартовых координат в координаты при параллельном сдвиге координатных осей. Причем новое начало координат находится в точке . В этой системе координат наше уравнение примет вид:

Это каноническое уравнение эллипса. Его полуоси . Кроме того, , следовательно эксцентриситет . остается найти координаты вершин и фокусов эллипса. В новой системе координаты вершин таковы: ; координаты фокусов . Так как старые координаты выражаются через новые по формулам , то, возвращаясь к первоначальной системе координат получим: , .

3.2.1	3.2.2
3.2.3	3.2.4
3.2.5	3.2.6
3.2.7	3.2.8
3.2.9	3.2.10
3.2.11	3.2.12
3.2.13	3.2.14
3.2.15	3.2.16
3.2.17	3.2.18
3.2.19	3.2.20

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒