Формула полной вероятности. Формулы Байеса.

Программные вопросы

1. Формула полной вероятности.

2. Формулы Байеса.

Решение типового примера

Пример 12.3. Заготовлены семена трёх сортов кукурузы, из которых семена первого сорта составляют 50%, второго – 30%, а третьего – 20%, а их всхожести соответственно равны 95%, 90% и 85%. Какова вероятность того, что после сбора урожая выбранный початок вырос из семени второго сорта?

Решение. Такая задача решается с использованием формул полной вероятности и Байеса. Применение их связано с введением понятия системы гипотез для рассматриваемого события А, то есть такой полной группы событий, что появление события А происходит лишь при условии появления одного и только одного из этих событий.

Введем следующие гипотезы: В₁, В₂ и В₃ – наугад взятое зерно является соответственно зерном первого, второго и третьего сортов. Из условия задачи можно заключить, что Р(В₁) =0, 5, Р(В₂) =0, 3, Р(В₃) =0, 2.

Пусть А – событие, состоящее в том, что из выбранного наугад семени вырастет растение.

По формуле полной вероятности

Р(А)= , где - условная вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие уже наступило (i = 1, 2, 3).

Так как по условию =0, 95; =0, 9; =0, 85, то Р(А) = 0, 5·0, 95+0, 3·0, 9+0, 2·0, 85 =0, 915.

Для переоценки вероятности гипотезы после того, как становится известным, что событие произошло, служат формулы Байеса:

(i =1, 2, …)

Тогда вероятность того, что початок вырос из зерна второго сорта, по формуле Байеса равна .

Ответ: Р(А) = 0, 915. .

Задачи контрольной работы

12.3.1. Двое рабочих изготовили по одинаковому количеству деталей. Вероятность изготовления бракованной детали для первого рабочего равна 0, 1, а для второго - 0, 15. Найти вероятность того, что взятая наугад деталь окажется годной. Найти вероятность того, что годная деталь изготовлена первым рабочим.

12.3.2. Заготовлены семена трёх сортов пшеницы, причём семена первого сорта составляют 50%, второго – 30%, и третьего 20%. Вероятность того, что из зерна вырастет колос, содержащий не менее 50 зёрен, равна для первого сорта 0, 8, для второго- 0, 7 и для третьего 0, 6. Наудачу собранный колос содержит более 50 зёрен. Какова вероятность, что он вырос из зерна второго сорта.

12.3.3. Детали на сборку плуга поступают из двух цехов: 70% из первого цеха, из второго – 30%. Среди деталей первого цеха 10% брака, среди деталей второго цеха 5% брака. Какова вероятность того, что выбранная годная деталь изготовлена во втором цехе?

12.3.4. Для посадки заготовили семена двух сортов огурцов: 40% сорта «Конкурент» и 60% сорта «Неженский». Всхожесть сорта «Конкурент» составляет 80%, сорта «Неженский» – 85%. Посаженное семя проросло. Какова вероятность того, что проросло семя сорта «Конкурент»?

1 2.3.5. Для посадки заготовили 70 саженцев яблони и 30 саженцев груши. Стандартные саженцы среди яблонь составляют 80%, среди груш 85%. Какова вероятность, что наудачу взятый саженец стандартный?

12.3.6. Поле вспахано тремя агрегатами, состоящими из трактора и комплекта плугов. Производительность первого агрегата больше, чем второго в 2 раза. Производительность третьего агрегата равна производительности первых двух вместе взятых. Вероятность вспашки на заданную глубину для первого агрегата составляет 0, 9, для второго- 0, 95 и для третьего –0, 8. Был обнаружен брак в пахоте. Какова вероятность того, что он был допущен при работе первого агрегата?

12.3.7. В магазин поступают электролампы, изготовленные на двух заводах, причём первый завод поставляет 60% от общего количества электроламп. Продукция первого завода содержит 10% брака, второго – 15%. Какова вероятность того, что купленная в магазине стандартная лампа изготовлена на втором заводе?

2.3.8. На сборку трактора поступают детали от трёх станков, производительность которых относится как 1: 2: 3. Причём брак составляет для них соответственно 1%; 1, 5%; 0, 5%. Взятая наугад деталь оказалась годной. Найти вероятность того, что она изготовлена на втором станке.

12.3.9. Для посадки на опытном участке заготовили семена трёх сортов пшеницы, причём первого сорта заготовили 200г, второго 300г и третьего – 500г. Всхожесть семян составляет соответственно 90%, 85%, 80%. Найти вероятность того, что наугад взятое зерно прорастёт.

12.3.10. В каждой из двух урн содержится 6 чёрных и 4 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечён один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлечённый из второй урны, окажется чёрным.

1 2.3.11. В каждой из двух урн содержится 7 белых и три чёрных шара. Из второй урны наудачу извлечён один шар и переложен в первую. Найти вероятность, что шар, извлечённый из первой урны, окажется белым.

1 2.3.12. Прибор может работать в двух режимах: нормальном и усиленном. В нормальном режиме он работает 80% времени, а в усиленном – 20%. Вероятность выхода прибора из строя в течение смены в нормальном режиме равна 0, 1, а в усиленном – 0, 7. Найти вероятность того, что прибор в течение смены не выйдет из строя.

12.3.13. Одну и ту же операцию выполняют рабочие 3-го, 4-го и 5-го разрядов, производительности которых относятся как 2: 3: 5. При этом рабочие 5-го разряда допускают 2% брака, 4-го – 3%, а 3-го – 5%. При проверке деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что её изготовил рабочий 5-го разряда?

1 2.3.14. На молочный завод ежедневно поступает молоко с двух ферм: 70 фляг с первой и 30 – со второй. Вероятность того, что жирность молока не ниже 4% для продукции первой фермы равна 0, 75, а для второй – 0, 8. В наудачу выбранной фляге молоко содержало жира более 4%. Какова вероятность того, что фляга поступила со второй фермы?

1 2.3.15. В инкубатор заложили яйца двух сортов. Первого сорта – 80%, второго – 20%. Вероятность того, что из яйца первого сорта вылупится цыплёнок, равна 0, 95, а для второго – 0, 8. Какова вероятность того, что наудачу взятый цыплёнок вылупился из яйца второго сорта?

1 2.3.16. Трое рабочих изготавливают одинаковые детали: первый – 12, второй – 15, а третий 18 штук в день. Вероятность того, что деталь, изготовленная первым мастером, будет стандартной равна 0, 95, вторым - 0, 9, а третьим – 0, 85. Наудачу взятая деталь оказалась стандартной. Какова вероятность, что она изготовлена вторым рабочим?

1 2.3.17. Азотные удобрения поступают на склад хозяйства из пунктов А и В, причём из пункта А в 2 раза больше, чем из пункта В. Вероятность того, что удобрения из пункта А удовлетворяют стандарту равна 0, 8, а из пункта В – 0, 75. Найти вероятность того, что взятое для пробы на складе хозяйства удобрение удовлетворяет стандарту.

1 2.3.18. Три бригады возят на сортировку картофель. Первая бригада сдала 35% картофеля, вторая – 45%, третья – 20%. Доля некондиционного картофеля из первой бригады составляет 0, 04, второй – 0, 06, третьей – 0, 03. Найти вероятность того, что взятый наудачу клубень окажется кондиционным и убран первой бригадой.

1 2.3.19. Изделие проверяется на стандартность одним из двух контролёров. Первый из них проверяет 60% изделий. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным, для первого контролёра равна 0, 95, для второго – 0, 98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй контролёр.

12.3.20. Вероятности того, что во время работы ЭВМ произойдёт сбой в оперативной памяти и остальных устройствах, относятся как 4: 6. Вероятность обнаружения сбоя в оперативной памяти равна 0, 8, а в остальных устройствах – 0, 9. Найти вероятность того, что возникший сбой будет обнаружен.

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒