Экстремум функции нескольких переменных

Программные вопросы

1. Определение экстремума функции двух переменных.

2. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.

3. Достаточное условие экстремума функции двух переменных.

4. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Решение типового примера

Пример 9.4. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. В соответствие с достаточным условием экстремума функции двух переменных, найдем точки, удовлетворяющие условию:

Для этого находим частные производные функции:

; ,

затем приравниваем их к нулю и решаем систему уравнений:

откуда находим , . Таким образом, получили точку , в которой будем продолжать исследовать функцию на экстремум.

Находим значения частных производных второго порядка в точке :

; ; .

Найдем знак дискриминанта в указанной точке:

Так как дискриминант больше нуля > и > , то функция имеет минимум в точке :

Ответ. В точке функция имеет минимум .

Задачи контрольной работы

В заданиях 9.4.1-9.4.20 найти экстремум заданной функции.

9.4.1. .9 . 4.2. .

9.4.3. . 9.4.4. .

9.4.5. . 9.4.6. .

9.4.7. .9.4.8. .

9.4.9. . 9.4.10. .9.4.11. 9.4.12. .

9.4.13. .9.4.14. .

9.4.15. .9.4.16. .

9.4.17. .9.4.18. .

9.4.19. .9.4.20. .

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Программные вопросы.

1. Понятия дифференциального уравнения, общего и частного решения дифференциального уравнения.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка

3. Дифференциальные уравнения второго порядка.

Решение типовых примеров.

Уравнения, связывающие независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы различных порядков, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в данное уравнение.

В общем виде дифференциальное уравнение n – го порядка имеет вид:

F(x, y, y', y′ ', …, y⁽ⁿ⁾)=0

Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Решение уравнения, зависящее от n произвольных постоянных С₁, С₂, …, С_n, называется общим решением, и имеет вид:

y= f(x, C₁, C₂, …, C_n)

Если решение уравнения получено в неявном виде (3.3), то оно называется общим интегралом.

φ (x, y, C₁, C₂, …, C_n) = 0

Задача Коши: среди всех решений дифференциального уравнения требуется найти решение y=f(x), для которого функция f(x)вместе со своими производными до (n-1)-го порядка включительно принимает заданные значения y₀, y₀', y₀^'', …, y₀⁽ⁿ^-1)при заданном значении х₀ аргумента х, т.е.

y₀ = f(x₀)

y₀'= f'(x₀)

y₀^'' = f''(x₀)

y₀⁽ⁿ^-1)=f⁽ⁿ^-1)(x₀)

где х₀, у₀, y₀', y₀^'', …, y₀⁽ⁿ^-1) – заданные числа.

Эти условия называются начальными условиями решения y=f(x), а само это решение – частным решением дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными.

В общем случае дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными имеют вид:

P₁(x)Q₁(y)dу + P₂(x)Q₂(y)dх=0

Видно, что в этом уравнении множители перед dx и dy представляют собой произведения двух функций. Одна из которых зависит только от х, а другая - только от у. Следовательно, данное уравнение можно проинтегрировать, предварительно разделив переменные: в одной части уравнения оставить функцию, зависящую только от х, а в другой – только от у, для этого перенесем одно из слагаемых в правую часть и разделим обе части полученного равенства на произведение функций Q₂(y) P₁(x).

Проинтегрировав обе части уравнения, получим:

Пример 10.1. Найти общее решение дифференциального уравнения

xydx+(x+1)dy=0.

Решение. Разделим переменные в данном уравнении, перенеся первое слагаемое в правую часть, и разделив обе части уравнения на выражение у(х+1).

Проинтегрируем обе части полученного равенства:

Найдем общее решение .

Пример 10.2. Найти частное решение дифференциального уравнения

(4+x²)lny∙ y' - y = 0,

при следующих начальных условиях y(2)=1.

Решение. Заменив y′ на , и разделив переменные получаем:

Получили общий интеграл дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, можно, сначала, найти частный интеграл. Для этого, в общий интеграл подставим начальные условия x=2 и y=1 и находим С.

Окончательно получаем частный интеграл и частное решение:

Однородные уравнения.

Уравнения вида называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Однородное уравнение приводиться к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой y=u∙ x, где u=u(x) - новая искомая функция. Заменим у и y'= u'x + u в данном уравнении:

u'x + u = f(u)

Разделив переменные, получаем:

Проинтегрировав, полученное уравнение найдем общее решение или общий интеграл.

Пример 10.3. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Введем новую функцию , тогда и . Заменяя в исходном уравнении функцию у и ее производную у' получим уравнение с разделяющимися переменными:

u = lnCx⁷.

Возвращаемся к старой функции .

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒