Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площади в декартовых координатах

Если функция непрерывна на [a, b] и положительна, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией , двумя прямыми и и отрезком [a, b] оси абсцисс, вычисляется по формуле

если на отрезке [a, b], то,

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными функциями и и двумя прямыми и , где на отрезке [a, b], находится по формуле:

Вычисление площадей с помощью определенного интеграла осуществляется в следующим порядке:

1) делается рисунок фигуры, площадь которой необходимо найти;

2) находятся пределы интегрирования;

3) подбирается нужная формула;

4) вычисляется значение площади.

Пример 8.11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой прямыми и осью абсцисс.

Решение. Построим криволинейную трапецию

Пределы интегрирования:

Площадь вычисляем по формуле

Получаем

(кв. ед.).

Пример 8.12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой осями координат и прямой

Решение. На рисунке 2. изображена фигура, площадь которой надо найти.

Функция на отрезке [0, 2] меняет знак. Следовательно, промежуток интегрирования [0, 2] необходимо разбить на два промежутка: и . Получим:

(кв. ед).

Пример 8.13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Решение. Сделаем рисунок плоской фигуры, заключенной между параболой и прямой (рисунок 3).

Найдем пределы интегрирования, для этого решим систему уравнений и получим

Следовательно, пределы интегрирования:

Вычислим площадь:

(кв. ед.).

Вычисление объема тел вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой осью абсцисс и двумя прямыми и находится по формуле

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой осью ординат и двумя прямыми и находится по формуле

Пример 8.14 Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью вращения параболы вокруг оси Ох и плоскостью

Решение. Найдем V_x согласно приведенной выше формуле:

(куб. ед.).

Пример 8.15. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривой и отрезком оси ординат.

Решение. Записав уравнение данной кривой в виде и используя формулу вычисления объема, получим

(куб. ед.).

Вычисление длины дуги кривой в прямоугольных координатах

Если производная функции является непрерывной функцией на отрезке [a, b], то длина дуги кривой , заключенная между точками с абсциссами и , находится по формуле

Пример 8.16. Найти длину дуги цепной линии между прямыми и

Решение. Найдем производную функции :

и вычислим длину дуги кривой:

Вычисление площади поверхности тела вращения

Если производная функции является непрерывной функцией, то кривая называется гладкой кривой. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги гладкой кривой между точками с абсциссами и , вычисляется по формуле

Пример 17. Найти площадь поверхности вращения вокруг оси Ох дуги кубической параболы при

Решение. Используем приведенную выше формулу для вычисления площади:

Вычислим этот интеграл методом подстановки. Обозначим тогда Пересчитаем пределы интегрирования: при при Получаем

(кв.ед.).

Задачи контрольной работы

В задачах 1- 20 вычислить интегралы.

8.1. а) ; b) ; с) ; d)

8.2. а) ; b) ; c) ; d)

8.3. a) ; b) ; c) ; d)

8.4. a) ; b) ; c) ; d)

8.5. a) ; b) ; c) ; d)

8.6. a) ; b) ; c) ; d)

8.7. a) ; b) ; c) ; d)

8.8. a) ; b) ; c) ; d)

8.9. a) ; b) ; c) ; d)

8.10. a) ; b) ; c) ; d)

8.11. a) ; b) ; c) ; d)

8.12. a) ; b) ; c) ; d)

8.13. a) ; b) ; c) ; d)

8.14. a) ; b) ; c) ; d)

8.15. a) ; b) ; c) ; d)

8.16. a) ; b) ; c) ; d)

8.17. a) ; b) ; c) ; d)

8.18. a) ; b) ; c) ; d)

8.19. a) ; b) ; c) ; d)

8.20. a) ; b) ; c) ; d)

8.21 Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми , и осью Ох.

8.22 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

8.23 Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой прямыми и осью абсцисс.

8.24 Найти площадь фигуры, ограниченной ветвью гиперболы прямыми и осью Ох.

8.25 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой прямыми и осью абсцисс.

8.26 Найти площадь части гиперболы отсекаемой от нее прямой

8.27 Найти площадь фигуры, отсекаемой от параболы прямой

8.28 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

8.29 Найти площадь фигуры, заключенной между параболами и

8.30 Найти площадь фигуры, заключенной между параболами и

8.31 Найти площадь, ограниченную кривой и осью Ох.

8.32 Вычислить площадь, заключенную между кривой , осью Ох и прямой

8.33 Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболами и прямой

8.34 Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Ох трапеции, образованной прямыми и осью Ох.

8.35 Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси Оу трапеции, образованной прямыми и осью ординат.

8.36 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком [0, p] оси абсцисс.

8.37 Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной дугой кубической параболы и осью абсцисс.

8.38 Найти объем тела, образованного вращением эллипса вокруг его малой оси.

8.39 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами и

8.40 Фигура, образованная в результате пересечения параболы и прямой , вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

8.41 Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболой и прямой

8.42 Фигура, ограниченная кривыми прямой вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения.

8.43 Вычислить длину дуги кривой от до

8.44 Вычислить длину дуги кривой от до

8.45 Найти длину дуги кривой между точками пересечения с осью Ох.

8.46 Найти длину дуги кривой от до

8.47 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги параболы от до

8.48 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох прямой от до

8.49 Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох одной полуволны косинусоиды

8.50 Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох параболы отсеченной прямой

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒