ПРЕДЕЛЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 15Следующая ⇒

Программные вопросы

1) Что называется функцией, числовой последовательностью?

2) Что называется пределом числовой последовательности, функции?

3) Сколько пределов может иметь числовая последовательность?

4) Какие величины называются бесконечно большими, бесконечно малыми?

5) Какая связь существует между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами?

6) Какие пределы называют первым и вторым специальными пределами?

7) Какими свойствами обладают пределы?

Решение типового примера

Пример 4.1. Найти указанные пределы.

1) ; 2) ; 3) .

Решение.

1) .

Воспользуемся непосредственной подстановкой предельного значения переменной: .

2) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, разложим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела на множители, используя формулу: , где - корни соответствующего квадратного уравнения .

, ,

, или , .

Тогда или .

, ,

, или , .

Тогда .

Подставим найденные разложения в исходный предел:

3) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, вынесем за скобки в числителе и знаменателе дроби старшую степень переменной:

Так как , то . Таким образом, после непосредственной подстановки окончательно получаем:

Задачи контрольной работы

В заданиях 4.1.1 – 4.1.20 найти указанные пределы.

4.1.1	;	a) , b) , c) .
4.1.2	;	a) , b) , c) .
4.1.3	;	a) , b) , c) .
4.1.4	;	a) , b) , c) .
4.1.5	;	a) , b) , c) .
4.1.6	;	a) , b) , c) .
4.1.7	;	a) , b) , c) .
4.1.8	;	a) , b) , c) .
4.1.9	;	a) , b) , c) .
4.1.10	;	a) , b) , c) .
4.1.11	;	a) , b) , c) .
4.1.12	;	a) , b) , c) .
4.1.13	;	a) , b) , c) .
4.1.14	;	a) , b) , c) .
4.1.15	;	a) , b) , c) .
4.1.16	;	a) , b) , c) .
4.1.17	;	a) , b) , c) .
4.1.18	;	a) , b) , c) .
4.1.19	;	a) , b) , c) .
4.1.20	;	a) , b) , c) .

Пример 4.2. Вычислить пределы:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, домножим числитель и знаменатель дроби, стоящей под знаком предела на величины, сопряженные числителю и знаменателю (т.е. на и ):

б) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, введем новую переменную , где (т.е есть наименьшее общее кратное показателей радикалов, стоящих в числителе и в знаменателе). В нашем случае . Кроме того, следовательно , или . Таким образом, мы получаем

Однако, непосредственная подстановка опять приводит к неопределенности , которую мы устраним, разложив числитель и знаменатель дроби на множители, используя формулы сокращенного умножения:

в) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

Для того, чтобы избавиться от данного вида неопределенности, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела на величину, ему сопряженную (т.е. на ):

Однако, непосредственная подстановка опять приводит к неопределенности , которую мы устраним, разделив числитель и знаменатель дроби на :

Задачи контрольной работы

В заданиях 4.2.1 – 4.2.20 найти указанные пределы.

4.2.1 .	4.2.2 .
4.2.3 .	4.2.4 .
4.2.5 .	4.2.6 .
4.2.7 .	4.2.8 .
4.2.9 .	4.2.10 .
4.2.11 .	4.2.12 .
4.2.13 .	4.2.14 .
4.2.15 .	4.2.16 .
4.2.17 .	4.2.18 .
4.2.19 .	4.2.20 .

Пример 4.3. Вычислить, используя первый замечательный предел:

Решение.

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать первый замечательный предел . Для этого сначала домножим числитель и знаменатель дроби под знаком предела на и воспользуемся свойствами пределов (предел произведения равен произведению пределов, если эти пределы существуют):

Таким образом, нам не удалось избавиться от неопределенности. Воспользуемся формулами тригонометрии и еще раз применим первый замечательный предел и свойства пределов:

Задачи контрольной работы

В заданиях 4.3.1 – 4.3.20 найти указанные пределы, используя первый замечательный предел.

4.3.1 .	4.3.2 .
4.3.3 .	4.3.4 .
4.3.5 .	4.3.6 .
4.3.7 .	4.3.8 .
4.3.9 .	4.3.10 .
4.3.11 .	4.3.12 .
4.3.13 .	4.3.14 .
4.3.15 .	4.3.16 .
4.3.17 .	4.3.18 .
4.3.19 .	4.3.20 .

Пример 4.4. Вычислить, используя второй замечательный предел:

а) ; б) ; в) .

Решение.

а) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать второй замечательный предел . Для этого представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины:

Т.о. наш предел примет вид:

Введем такую новую переменную , что , или . При переменная . Показатель степени примет вид:

Таким образом, пользуясь свойствами пределов и правилами действия со степенями, будем иметь:

б) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать второй замечательный предел . Для этого положим , или , , тогда показатель степени примет вид: . При , .

Выразив основание и показатель степени через , а также воспользовавшись свойствами пределов и правилами действия со степенями, получим

в) .

При непосредственной подстановке получаем неопределенность:

В данном случае для освобождения от неопределенности будем использовать второй замечательный предел . Преобразуем выражение, стоящее в скобках. Для этого представим основание в виде суммы единицы и некоторой дроби:

Задачи контрольной работы

В заданиях 4.4.1 – 4.4.20 найти указанные пределы, используя второй замечательный предел.

4.4.1 .	4.4.2 .
4.4.3 .	4.4.4 .
4.4.5 .	4.4.6 .
4.4.7 .	4.4.8 .
4.4.9 .	4.4.10 .
4.4.11 .	4.4.12 .
4.4.13 .	4.4.14 .
4.4.15 .	4.4.16 .
4.4.17 .	4.4.18
4.4.19 .	4.4.20 .

Производные

Программные вопросы

1. Сформулируйте определение производной.

2. Каков геометрический смысл производной?

3. Что называется касательной к кривой? Напишите уравнение касательной к графику функции y = f(x).

4. Каков механический смысл первой и второй производной?

5. Каковы правила вычисления производных от суммы, произведения, частного двух функций?

6. Сформулируйте правило вычисления производной сложной функции.

Решение типового примера

Пример 5. Продифференцируйте указанные функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

a) , b)

в) , г) , д) .

РЕШЕНИЕ.

а) .

Это сложная логарифмическая функция, которая дифференцируется по формуле: .

Окончательно получаем:

При решении использовали формулы дифференцирования:

, .

б) .

Данная функция представляет собой произведение сложной показательной функции и сложной степенной функции . Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций: , а также формулами дифференцирования показательной и степенной функции:

, .

Для того, чтобы закончить дифференцирование воспользуемся формулами дифференцирования сложной обратнотригонометрической и тригонометрической функций: , .

в) .

Это сложная степенная функция, которая дифференцируется по формуле: .

При решении использовали формулы дифференцирования:

, , .

г) .

Данная функция представляет собой частное сложной обратнотригонометрической функции и разности сложной показательной и степенной функций. Воспользуемся правилом дифференцирования частного , а также формулами дифференцирования:

, , .

д) .

Это показательно – степенная функция, которую можно продифференцировать, используя формулу

но эта формула сложна для запоминания, поэтому мы поступим иначе:

1. прологарифмируем обе части равенства и воспользуемся свойствами логарифмической функции

2. продифференцируем обе части равенства, считая сложной функцией

Или

3. Из полученного равенства выразим

Задачи контрольной работы

В заданиях 5.1.1 -5.1.20 продифференцировать указанные функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.

5.1.1	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.2	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.3	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.4	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.5	а) , в) , д) .	б) , г) ,

5.1.6	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.7	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.8	а) , в) , д) .	б), г) ,
5.1.9	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.10	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.11	а) , в) , д) .	б) , г) ,

5.1.12	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.13	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.14	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.15	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.16	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.17	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.18	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.19	а) , в) , д) .	б) , г) ,
5.1.20	а) , в) , д) .	б) , г) ,

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Программные вопросы

1. Область определения функции.

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность.

3. Нахождение участков непрерывности функции и точки разрыва с указанием вида разрыва.

4. Точки пересечения с осями координат.

5. Асимптоты графика функции.

6. Интервалы возрастания и убывания функции.

7. Экстремумы функции.

8. Интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба функции.

Решение типового примера

Пример 1.1.

Исследовать заданную функцию методами дифференциального исчисления, начертить ее график.

Исследование функций и построение графиков рекомендуется проводить по следующей схеме:

1) найти область определения функции D(y) и исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва функции, ее односторонние пределы в точках разрыва;

2) проверить четность (нечетность) функции;

3) найти точки экстремума функции и определить интервалы ее монотонности;

4) найти точки перегиба графика функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика;

5) найти наклонные асимптоты графика функции;

6) построить график, используя результаты предыдущих исследований.

Решение.

1)Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента x, то есть , а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.

2) Исследуем функцию на четность (нечетность), для чего рассмотрим :

Таким образом, мы видим, что . Следовательно, функция не является четной.

Таким образом, мы видим, что . Следовательно, функция не является нечетной. Поэтому, делаем вывод, что график функции - общего вида.

3) Исследуем функцию на экстремум и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем ее к нулю:

, , .

Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки x₁ = – 5, x₂ = – 1. Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению знака производной в них выявляем промежутки монотонности и наличие экстремума:

x		– 5		– 1
	+		–		+
f(x)		max		min

4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:

, .

Итак, функция имеет одну критическую точку . Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:

x		– 3
	–		+
f(x)		т. п.

Значение является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки .

5) Выясним наличие у графика заданной функции наклонных асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты воспользуемся формулами

, .

Имеем

Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.

6) Для построения графика в выбранной системе координат изобразим точки максимума , минимума , перегиба . С учетом результатов предыдущих исследований построим кривую.

Задачи контрольной работы

В примерах с 6.1.1-6.1.20 исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒