Неопределенный и определенный интегралы.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 15Следующая ⇒

Программные вопросы.

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Свойства неопределенного интеграла.

3. Таблица основных интегралов.

4. Методы вычисления неопределенных интегралов.

5. Определенный интеграл.

6. Геометрические приложения определенного интеграла.

Решение типовых примеров .

Неопределенный интеграл.

Интегрирование методом подстановки (замены переменной).

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) х = j(t), где t – новая переменная, а j(t) – непрерывно дифференцируемая функция; тогда

t = y(x), где t – новая переменная; в этом случае:

Пример 8.1. Вычислить интеграл

Решение. Вычислим этот интеграл методом подстановки.

Возвращаясь к старой переменной , находим и подставляем в найденное выражение:

Ответ:

Пример 8.2. Вычислить интеграл

Решение. Введем новую переменную , эта подстановка приводит интеграл к такому виду:

Ответ: .

Метод интегрирования по частям.

Пусть U=U(x) и V=V(x) – функции аргумента х, имеющие непрерывные производные. Тогда возможно интегрирование по частям:

∫ UdV = UV - ∫ VdU

где V находится по формуле V = ò dV.

Формула интегрирования по частям дает возможность свести вычисление интеграла ∫ UdV к вычислению интеграла ∫ VdU.

Успех применения формулы интегрирования по частям зависит от правильности выбора множителей U и dV в подынтегральном выражении исходного интеграла. Существуют два полезных правила для такого выбора:

1. Интегралы вида ∫ P(x)e^kxdx, ∫ P(x)sinkxdx, ∫ P(x)coskxdx,

где Р(х) – многочлен, а k – некоторое число, вычисляются по приведенной выше формуле, если положить Р(х)=U.

2. Интегралы вида ∫ P(x)lnxdx, ∫ P(x)arcsinxdx, ∫ P(x)arccosxdx,

∫ P(x)arctgxdx , ∫ P(x)arcctgxdx, где Р(х) – многочлен. Во всех этих интегралах за и при интегрировании по частям принимают функцию, являющуюся множителем при Р(х), а произведение P(x)dx = dV.

Пример 8.3. Вычислить интеграл

Решение. Согласно формулы интегрирования по частям получаем:

Ответ:

Пример 8.4. Вычислить интеграл

Решение. Интегрируя по частям получаем:

= =

Ответ: .

Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида где Р(х) и Q(x) – многочлены. Если степень многочлена Q(x) выше степени многочлена Р(х), то такая рациональная дробь называется правильной ; в противном случае дробь называется неправильной .

Простейшими дробями I, II, III и IV типов называются рациональные дроби следующего вида:

II. где m – целое число, большее единицы.

III. где квадратный трехчлен x²+ px + q не имеет

действительных корней.

IV. где n – целое число, большее единицы, а

x²+ px + q не имеет действительных корней.

Любая правильная рациональная дробь может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей по следующему правилу:

1. Необходимо знаменатель Q(x) разложить на линейные и квадратные множители, не имеющие действительных корней.

2. Дробь надо разложить на сумму простейших дробей следующим образом:

– каждому сомножителю (х – а)^k разложения Q(x) отвечает в разложении дроби разложение вида

где а – корень многочлена Q(x), а k – кратность этого корня; A₁, A₂, …, A_k – числа (неопределенные коэффициенты);

– каждому сомножителю разложения Q(x) – выражение вида

где l – кратность многочлена в разложении Q(x); B_i и C_i (i = 1, 2, …, l) – неопределенные коэффициенты.

3. Полученное равенство необходимо привести к общему знаменателю и, получив равенство двух дробей с одинаковыми знаменателями, приравнять числители.

4. Найти определенные коэффициенты можно двумя способами.

Первый способ. Раскрыть скобки, привести подобные члены и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х.

Второй способ. Не раскрывая скобок, задать аргументу х столько различных значений, сколько имеется неопределенных коэффициентов.

В обоих случаях получаются системы линейных уравнений относительно неопределенных коэффициентов, решая которые получают значения искомых неопределенных коэффициентов.

Замечание. Для нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби необходимо, прежде всего выделить из нее целую часть, т.е. представить в виде:

где M(x) – многочлен, а – правильная рациональная дробь.

Пример 8.5. Вычислить интеграл

Решение. Знаменатель дроби имеет корни х = 2 и х = -5, и его можно разложить на множители следующим образом:

Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю:

Приравнивая числители, получим:

Коэффициенты А₁ и А₂ можно найти двумя способами.

Первый способ. Раскроем скобки в правой части последнего равенства и приведем подобные члены:

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:

х¹ 3 = А₁ + А₂

х⁰ 8 = 5А₁ - 2А₂

Получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

, решая которую найдем А₁= 2, А₂= 1.

Следовательно,

Второй способ. Будем задавать определенные значения х (желательно те значения, при которых знаменатели простейших дробей равны нулю):

х = 2 х = -5

Таким образом, искомый интеграл

Ответ:

Пример 8.6. Вычислить интеграл

Решение. Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Линейному множителю (х + 3) знаменателя этой дроби отвечает дробь а множителю (х – 2)² – сумма простейших дробей вида

Следовательно, разложение данной дроби на простейшие дроби имеет вид:

Складывая правую часть равенства и приравнивая числители, получаем

Для вычисления неопределенных коэффициентов будем комбинировать оба изложенных выше способа.

Во первых зададим определенные значения х:

Приравняем коэффициенты при х², получим

Итак, находим искомый интеграл:

Ответ:

Пример 8.7. Вычислить интеграл

Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную рациональную дробь, поэтому необходимо выделить целую часть, для этого числитель разделим на знаменатель:

Тогда .

Разложим знаменатель дроби на множители .

Получили .

Вычислим неопределенный интеграл от правильной рациональной дроби, для этого подынтегральную функцию разложим на простейшие дроби и вычислим неопределенные коэффициенты.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и

приравняем числители:

Тогда .

Окончательно получаем:

Ответ: =

Определенный интеграл.

Связь определенного и неопределенного интегралов задается формулой Ньютона – Лейбница:

т. е. определенный интеграл от непрерывной функции f (x) равен приращению первообразной функции F(x) на отрезке [a, b].

Формула Ньютона – Лейбница позволяет вычислять определенный интеграл, используя методы вычисления неопределенного интеграла, рассмотренные в предыдущей главе.

Пример 8.8. Вычислить интеграл