Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть R ─ прямая, не параллельная оси Oy (рис.2.2). Обозначим точки пересечения R с осью Oy буквой B(0; b), а угол между положительным направлением оси Ox и прямой R обозначим φ. Угол φ, отсчитываемый от оси Ox против часовой стрелки (0 ≤ φ < p), называется углом наклона прямой R к оси Ox.

 

Пусть M(x; y) ─ произвольная точка прямой R. Из ∆ BMN имеем

 

tg φ = =

Эту величину tg φ обозначают k и называют угловым коэффициентом прямой. Тогда

 

k = ,

откуда

y = kx + b (1)

 

Уравнение (1) называется уравнение прямой с угловым коэффициентом.

В частности, если k = 0, то φ = 0 и получаем уравнение прямой y = b, параллельной оси Ox проходящей через точку B(0; b). Если к тому же b = 0, то y = 0 ─ уравнение координатной оси Ox.

 

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Пусть данная прямая имеет угловой коэффициент k и проходит через точку M₁(x₁; y₁). Искомое уравнение прямой y = kx + b. Наша задача: определить неизвестное число b.

Так как координаты точки M₁ удовлетворяют уравнению прямой, то

y₁ = kx₁ + b, откуда b = y₁ – kx₁. Имеем y = kx + (y₁ – kx₁) или

 

y – y₁ = k(x – x₁) (2)

 

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки.

Пусть прямая проходит через точки M₁(x₁; y₁) и M₂(x₂; y₂). Искомое уравнение прямой y = kx + b, где k и b ─ неизвестные числа.

Так как прямая проходит через точку М₁, то по уравнению (2)

 

y – y₁ = k(x – x₁).

 

Поскольку координаты точки М₂ также удовлетворяют этому уравнению, то

 

y₂ – y₁ = k(x₂ – x₁),

откуда

k = . (3)

 

Тогда искомое уравнение прямой

y – y₁ = (x – x₁)

или

= (4)

 

Замечание 1. Формула (3) определяет угловой коэффициент прямой, проходящей через точки M₁ и M₂.

Замечание 2. В уравнении (4) одни из знаменателей (x₂ – x₁) или (y₂ – y₁) может оказаться равным нулю (оба этих числа одновременно не могут быть равны нулю, ибо точки M₁ и M₂ различные). Так как пропорцию = мы понимаем как равенство ad = bc, то обращение нуль одного из знаменателей означает обращение в нуль и соответствующего числителя. Если, например x₂ = x₁, то y₂ – y ₁¹ 0 и из (4)

 

(y – y₁) × 0 = (y₂ – y₁)(x – x₁),

откуда следует равенство x = x₁. Это есть уравнение прямой по двум точкам в случае, когда x₂ = x₁.

 

Общее уравнение прямой.

 

Теорема 2.1. Каждая прямая на плоскости с прямоугольной системой координат определяется уравнением первой степени

 

Ax + By + C = 0, где A и B одновр. ¹ 0, (5)

и, обратно, уравнение (5) при произвольных коэффициентах A, B и C (A и B одновременно не равны нулю) определяет некоторую прямую на плоскости.

 

Доказательство. Сначала докажем первое утверждение. Если прямая не перпендикулярна оси Ox, то она определяется уравнением первой степени y = kx + b или

kx – y + b = 0, т.е. уравнением вида (5), где A = k, B = -1, C = b. Если прямая перпендикулярна оси Ox, то согласно примера 1) из п. 2.2 её уравнение имеет вид x = a или x – a = 0, т.е. является уравнением вида (5) при A = 1, B = 0 и C = -a. Тем самым первое утверждение доказано.

Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение (5), причём хотя бы один из коэффициентов A или B отличен от нуля. Если, например, B ¹ 0, то уравнение (5) можно записать в виде

 

y = - x - ,

 

т.е. в виде уравнения с угловым коэффициентом. По п. 2.3 это уравнение определяет на плоскости прямую. Если же B = 0, то A ¹ 0 и уравнение (5) имеет вид x = - . Это уравнение прямой, параллельной оси Oy, как показано в примере 1) п. 2.2. Второе утверждение доказано.

 

Уравнение первой степени (5) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Уравнение прямой в отрезках на осях координат.

Пусть прямая пересекает оси Ox и Oy соответственно в точках A и B (рис. 2.3). Пусть A(a; 0) b B(0; b). Из уравнения (4) имеем

= , + = 1.

 

Уравнение

+ = 1 (6)

называется уравнением прямой в отрезках на осях координат.

Заметим, что прямые, параллельные координатным осям, и прямые, проходящие через начало координат, не могут быть записаны уравнением этого вида.

 

Угол между прямыми на плоскости.

 

Рассмотрим на плоскости две прямые R₁: y = k₁x + b₁ и R₂: y = k₂x + b₂ с углами наклона к оси Ox соответственно φ ₁ и φ ₂ (рис. 2.4).

Определение 2.2. Угол между прямыми R₁ и R₂ будем называть меньший из смежных углов, образованных этими пересекающимися прямыми.

На рис. 2.4 таким является угол φ. Очевидно, что

0 ≤ φ ≤ .

Из геометрических соображений устанавливаем зависимость между углами φ ₁, φ ₂ и φ : φ = φ ₂ – φ ₁. Возможны два случая:

1) Угол φ = , т.е. прямые R₁ и R₂ перпендикулярны.

2) 0 ≤ φ < . Тогда tg φ = tg (φ ₂ – φ ₁) = =

Формула

tg φ = (7)

позволяет вычислить угол между неперпендикулярными прямыми.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. ВОПРОС 1. Прямой и обратный порядок слов в предложении (инверсия).
2. Дифференциальное уравнение теплопроводности
3. Значительно реже возникают вывихи от прямой травмы — удар в область сустава.
4. Значительно реже возникают вывихи от прямой травмы — удар в область сустава.
5. КАК ВСТУПИТЬ В ПРЯМОЙ КОНТАКТ С ПОДСОЗНАНИЕМ
6. Макроскопическая система, макроскопические параметры. Идеальный газ, уравнение состояния идеального газа.
7. Напишите уравнение согласно первому закону Кирхгофа для узла.
8. Пользуясь уравнением электромеханической характеристики ДПТ параллельного возбуждения, выведите уравнение механической характеристики.
9. ПРАВИЛО 2 Прямой порядок слов
10. При каком методе исследования изгибы прямой кишки имеют важное практическое значение?
11. При применении и проявлении непрямой техники фантомных раскачиваний неожиданно возник шум и реалистичные образы. Что можно сделать?
12. Прямой выстрел и его практическое значение