Теплопроводность цилиндрической стенки

Рассматривается цилиндрическая стенка с внутренним тепловыделением q_v при отсутствии теплоотдачи с торцов. Температурное поле такой стенки описывается уравнением (3.23) с общим интегралом (3.26).

Рассмотрим случаи, когда теплоотдающей поверхностью являются:

1) наружная поверхность;

2) внутренняя поверхность;

3) обе поверхности.

Охлаждение только по наружной поверхности (рис. 3.4)

Дано: r₁, r₂, l, q_v, λ, t_ж2, α ₂.

Определить: уравнение температурного поля t = f(r), тепловой поток (Q₂, Вт), рассеиваемый наружной поверхностью.

Для нахождения постоянных интегрирования с₁ и с₂ в уравнении (3.26) потребуется два дополнительных условия: граничное условие третьего рода для наружной поверхности стенки

(3.31)

и условие максимума температуры на внутренней поверхности стенки

(3.32)

Решением системы уравнений (3.23), (3.31), (3.32) является уравнение температурного поля t = f(r) в виде

(3.33)

где r – текущий радиус.

Расчетные формулы для вычисления максимальной температуры (t_max), наружной поверхности стенки (t_C²) можно получить, если в (3.33) подставить r = r_1, r = r₂ соответственно.

Тепловой поток, рассеиваемый наружной поверхностью стенки,

Q₂ = q_v·V (3.34)

где – тепловыделяющий объем.

Охлаждение только по внутренней поверхности (рис. 3.5)

Дано: r₁, r₂, l, q_v, .

Определить: t = f(r), Q_1, Вт.

Граничное условие третьего рода для внутренней поверхности стенки запишется в виде

(3.35)

Условие максимума температуры на наружной поверхности стенки

(3.36)

Решением системы уравнений (3.23), (3.35), (3.36) является уравнение температурного поля t = f(r)

(3.37)

Расчетные формулы для t _max и можно получить, если в (3.37) подставить r = r₂ и r = r₁ соответственно.

Тепловой поток Q₁, рассеиваемый внутренней поверхностью стенки, рассчитывается по уравнению (3.34).

Охлаждение по внутренней и наружной поверхностям (рис. 3.6)

Дано: r₁, r₂, l, q_v, λ, t_с , t_с .

Определить: t = f(r), радиус максимальной температуры r_о, тепловые потоки Q₁, Q₂.

Для нахождения постоянных интегрирования с₁ и с₂ в уравнении (3.26) и радиуса максимальной температуры r_о потребуется три дополнительных условия: граничные условия первого рода на поверхностях стенки

при r = r₁ t = t_с , (3.38)

при r = r₂ t = t_с (3.39)

и условие максимума температуры при r = r_о

(3.40)

Решением системы уравнений (3.23), (3.38) – (3.40) являются уравнение температурного поля стенки t = f (r)

(3.41)

где r – текущий радиус, и формула для расчета радиуса максимальной температуры

(3.42)

Формулы для расчета перепадов температуры в стенке получены на основании (3.41):

(3.43)

(3.44)

Потоки теплоты Q₁ и Q₂, рассеиваемые поверхностями стенки, рассчитываются по формулам

(3. 45)

(3.46)

Суммарный тепловой поток

. (3.47)

Контрольные задания

1 Рассчитайте объемную плотность внутреннего тепловыделения (q_v, Вт/м³; стальной шины с размерами 3x100x1000 мм при допустимой нагрузке l = 300 А Удельное электрическое сопротивление материала шины ρ = 0, 13 .

Ответ: q_v = l, 310⁵ Bт/м³.

Сделайте подстановку значения t_c в уравнение (3.10) и убедитесь, что правые части уравнений (3.10) и (3.11) одинаковы.

Запишите формулы для расчета температур , и t на поверхностях пластины при несимметричных условиях ее охлаждения и граничных условиях третьего рода, используя уравнение температурного поля (3.15).

Запишите формулу для расчета максимальной температуры (t_max) пластины при несимметричных условиях охлаждения и граничных условиях первого рода, используя уравнение температурного поля (3.21).

Рассчитайте плотность внутреннего тепловыделения (q_v, Вт/м³), тепловой поток (Q, Вт), рассеиваемый поверхностью цилиндрического нихромового стержня диаметром d = 5 мм, длиной l = 420 мм при напряжении U = 10 В и электрическом сопротивлении R = 0, 025 Ом.

Ответы: q_v = 4, 83-10⁸ Вт/м³; Q = N = 4000 Вт.

6.Для цилиндрической стенки с охлаждением только по наружной поверхности, используя уравнение температурного поля (3.33), получите расчетные формулы для t_max, , t_max, t .

7.Для цилиндрической стенки с охлаждением только по внутренней поверхности, используя уравнение температурного поля (3.37), получите расчетные формулы для t_max, t , t_max - t .

8.Сделайте вывод формул (3.43) и (3.44), и убедитесь в их правильности.

Задачи для самостоятельного решения

Задача № 1. По электрическому нагревателю, выполненному из константановой ленты сечением 1x6 мм² и длиной 1м протекает электрический ток l = 20 А, U = 200 В.

Определить температуру поверхности ленты (t_c и середины сечения по толщине (t_max), если коэффициент теплоотдачи на поверхности нагревателя α = 1000 Вт/м²·К, температура среды t_Ж ⁼ 100 °С, коэффициент теплопроводности константа λ = 20 Вт/м·К.

Рассчитать плотность теплового потока (q, Вт/м², ), отводимого от поверхности нагревателя.

Примечание. Необходимые формулы для расчета содержатся в разделе 3.1.

Ответы: t_С = 433, 4 ^оС; t_max = 437 ^оC; q = 3, 34·10⁵ Вт/м².

Задача № 2. Тепловыделяющий элемент ядерного реактора выполнен из смеси карбида урана и графита в виде цилиндрического стержня диаметром d = 10 мм. Плотность внутреннего тепловыделения q_v = 3, 88·10⁸ Вт/м³. Теплопроводность материала стержня λ = 58 Вт/м·К.

Определить температуру (t_c) и плотность теплового потока (q, Вт/м²) на поверхности стержня, если его максимальная температура 2000 °С.

Примечание. Формулы, необходимые для расчета, содержатся в разделе 3.2.

Ответы: t_c = 1939, 8 °C; q = l, 164·10⁶ Вт/м².

Пример решения задачи

Тепловыделяющий элемент выполнен из урана (λ = 31 Вт/м·К) в форме трубы (рис. 3.7) с внутренним диаметром d₁ = 14 мм, наружным d₂ = 24 мм.

Объемная плотность тепловыделения q_v = 5·1О⁷ Вт/м³. Поверхности ТВЭЛа покрыты плотно прилегающими оболочками из нержавеющей стали (λ _с = 20 Вт/м·К) толщиной δ = 0, 5 мм. ТВЭЛ охлаждается двуокисью углерода (СО₂) по внутренней и наружной поверхностям оболочек с t =200 °C и t = 240 ^оС. Коэффициенты теплоотдачи от поверхностей оболочек к газу α ₁ = 520 Вт/м^2·К, α ₂ = 560 Вт/м²·К. Определить максимальную температуру ТВЭЛа (t_max) температуры на поверхностях оболочек ( и t ) и на поверхностях урана (t₁ и t₂), а также потоки тепла (Q₁ и Q₂), отводимые от поверхности ТВЭЛа в расчете на длину l = 1м.

Решение

Тепловыделяющий элемент представляет собой цилиндрическую стенку с внутренним тепловыделением, охлаждаемую по наружной и внутренней поверхностям (раздел 3.3). При наличии стальных оболочек на поверхностях ТВЭЛа и с учетом исходных данных можно записать следующую систему уравнений:

(3.48)

 

(3.49)

 

(3.50)

 

(3.51)

(3.52)

Система уравнений (3.48) – (3.52) содержит пять неизвестных: Q₁, Q₂, t₁, t₂, r₀ и решается методом взаимных подстановок. В результате решения определяются искомые величины:

Q₁ = 6286 Вт; Q₂ = 10199 Вт; t₁ = 459 °С; t₂ = 458 ^оС; r_о = 10, 2 мм.

Температуры на поверхностях стальных оболочек ( ), а также максимальная температура ТВЭЛа (t_max) рассчитываются по формулам

и равны = 457 °C, = 455 °C, t_max = 463 ^оС.

Ответы: Q₁ = 6 286 Вт; Q₂ = 10 199 Вт; t₁ = 459 °C; t₂ = 458 ^оC; r_о = 10, 2 мм;

= 457 °C; = 455 °С_; t_max = 463 ^оС.

ТЕПЛООБМЕН ИЗЛУЧЕНИЕМ

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Если отсутствуют апроксимальные стенки или герметизация апроксимальных пломб не состоятельна, то обязательно восстановление периметра зуба. (см выше)
2. Желудок, его положение, форма, отделы. Строение стенки желудка, железы желудка.
3. Кесарево сечение (КС) – хирургическая операция, при которой плод и послед извлекаются через разрез брюшной стенки и матки.
4. Особенности клеточной стенки грамположительных и грамотрицательных бактерий
5. Перфорация стенки кариозной полости
6. Расчет зубьев цилиндрической передачи
7. Теплопередача через оребренные стенки
8. Теплопроводность плоского однородного ограждения