Тема 1. Функции нескольких переменных и задачи оптимизации

Тема 1. Функции нескольких переменных и задачи оптимизации

Локальные и глобальные экстремумы

В задачах математического программирования обычно разыскивается экстремум (максимум или минимум) целевой функции при некоторых ограничениях на значения ее переменных, которые записываются в виде системы уравнений и неравенств.

Точка называется локальным минимумом , если существует число такое, что для любой точки x из сколь угодно малой окрестности точки :

Аналогично определяется локальный максимум функции в точке.

В чем отличие локального минимума от глобального? Глобальный минимум – это точка x*, в которой целевая функция принимает значение не большее, чем в любой допустимой точке. Локальный минимум – это точка x*, в которой целевая функция принимает значение не большее, чем в любой достаточно " близкой" к x* допустимой точке.

Всегда можно легко перейти от задачи на максимум к задаче на минимум , и наоборот.

При этом решения этих двух задач достигаются в одной и той же точке, а значения целевых функций противоположны (см. рис. )

Рис.1. Переход от задачи на максимум к задаче на минимум

В некоторых случаях существование решения ЗМП гарантирует следующая теорема:

Теорема Вейерштрасса (TW). Если допустимое множество X замкнуто, ограничено и непусто, а целевая функция F(x) непрерывна на Х, то она достигает и наибольшего и наименьшего значения на этом множестве.

Обратите внимание на то, что невыполнение условий TW оставляет вопрос о существовании решения ЗМП открытым.

ПРИМЕР 1. Проиллюстрируем применение TW к следующим задачам:

► а) Допустимое множество задачи открыто и неограничено, что делает невозможным применение TW. Тем не менее целевая функция рассматриваемой ЗМП имеет глобальный минимум в точке .

b) Функция непрерывна на ограниченном, замкнутом множестве. Это означает, что в силу TW на рассматриваемом промежутке целевая функция задачи достигает своего наибольшего и наименьшего значения.

c) Допустимое множество задачи замкнуто и ограничено, однако целевая функция терпит разрыв на данном промежутке в точке , и TW в данном случае неприменима. Целевая функция данной ЗМП не имеет глобального минимума и максимума. ◄

Функция нескольких переменных (ФНП)

Обычно целевая функция является функцией нескольких переменных (ФНП) . Обозначим её , , где - точка (вектор) в n–мерном пространстве, взятая из Х – области определения функции (допустимой области ОДР). Пусть функция F(х) дифференцируема необходимое нам количество раз.

Рассмотрим более подробно частный случай ФНП при , допускающий наглядную геометрическую интерпретацию:

Функция двух переменных , её область определения – область на плоскости XOY, значение функции z – аппликата точки на поверхности.

Эта функция описывает некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Изобразим рельеф этой поверхности линиями уровня. Проведем равноотстоящие плоскости, параллельные координатной плоскости XOY и найдем линии их пересечения с поверхностью. Проекции этих линий на плоскость ХОУ называют линиями уровня.

Рис.14. Построение линий уровня функции двух переменных.

Семейство полученных кривых задается уравнениями вида

Изобразить поверхность на плоскости XOY можно, нарисовав несколько линий уровня. Направление возрастания функции будем указывать стрелкой (точнее, вектором-градиентом).

Повторение

Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции в точке х₀к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю.

lim = lim

Правила дифференцирования 1. Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных:.

или

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

. 3. Производная произведения двух функций равна:

4. Производная частного двух функций равна:

Пример:

5. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную ее аргумента.

ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ Постоянная

Линейная

Степенная функция

Показательная функция

Логарифмическая функция

Тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции

Дифференцирование степенных функций:

Пример. Найти производные функций:

а)

используем правило вычисления алгебраической суммы функций: производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных: ,

затем вычислим каждое слагаемое отдельно, по правилу вычисления производной степенной функции: и, учитывая, что постоянный множитель можно выносить за знак производной:

используем правило вычисления производной произведения двух функций:

Свойства градиента

· Градиент указывает направление и величину максимальной скорости возрастания функции в точке

· Градиент функции в точке перпендикулярен (ортогонален) поверхности уровня, проходящей через данную точку.

· Если приращения аргумента достаточно малы, функция возрастает (убывает) только в тех направлениях, которые составляют острый (тупой) угол с градиентом

· Функция практически не меняется для приращений, ортогональных градиенту.

Производственная функция (ПФ ) задаетфункциональную зависимость между количеством используемых в производстве ресурсов и объемом выпускаемой продукции.

ПФ типа Кобба – Дугласа
где Q – объем производства, , ,
K – капитал, L – рабочая сила, a, b – коэффициенты эффективности ресурсов.

Пример 5. ПФ небольшого цеха, изготавливающего рамы для картин, имеет вид:

где x₁ – отработанные человеко-часы,

x₂ – отработанные машино-часы,

q – число изготовленных рам,

– план производства по затратам ресурсов.

► Вычислим первый и второй предельный продукты (предельную отдачу первого и второго ресурса) для плана – это частные производные ПФ:

Задачи оптимизации

Рассмотрим функцию n переменных . Аргумент функции F(x) может принимать значения из множества . Функция F(x) называется целевой функцией , X - допустимым множеством (ОДР-область допустимых решений ), – допустимой точкой (вектором), – оптимизируемыми переменными.