Алгоритм нахождения производной сложной функции

1. Выделить внешнюю функцию. Поскольку внешняя функция – это последняя операция, которая выполняется при вычислении значения функции, следует выписать последовательность, в которой происходит вычисление значения функции, и обозначить аргумент последней операции буквой U: После введения новой переменной должна получиться функция, имеющаяся в таблице производных.

2. Выписать производную сложной функции как произведение производной внешней функции на производную ее аргумента.

3. Вернуться к исходному аргументу. При необходимости, повторить проделанные операции.

Пример. Найти производную функции:

a)

► Выделим внешнюю функцию : x → x² → x² + 1 → ;

б) у=sin(2x+1)

y'=cos(2x+1)(2x+1)'= 2cos(2x+1) ◄

Частная производная функции в точке по переменной

- производная функции одной переменной при фиксированных значениях других переменных, правила вычисления частной производной и свойства те же;

- она характеризует скорость изменения ФНП в направлении данной координатной оси при фиксированных значениях других координат.

Значение частной производной функции в точке по переменной показывает, на сколько примерно изменится значение функции, если значение аргумента увеличится на единицу, а значения других аргументов не изменятся (это верно, если можно считать приращение аргумента достаточно малым).

Градиент ФНП в точке – вектор, координаты которого равны частным производным функции в этой точке

Свойства градиента

· Градиент указывает направление и величину максимальной скорости возрастания функции в точке

· Градиент функции в точке перпендикулярен (ортогонален) поверхности уровня, проходящей через данную точку.

· Если приращения аргумента достаточно малы, функция возрастает (убывает) только в тех направлениях, которые составляют острый (тупой) угол с градиентом

· Функция практически не меняется для приращений, ортогональных градиенту.

Производственная функция (ПФ ) задаетфункциональную зависимость между количеством используемых в производстве ресурсов и объемом выпускаемой продукции.

ПФ типа Кобба – Дугласа
где Q – объем производства, , ,
K – капитал, L – рабочая сила, a, b – коэффициенты эффективности ресурсов.

Пример 5. ПФ небольшого цеха, изготавливающего рамы для картин, имеет вид:

где x₁ – отработанные человеко-часы,

x₂ – отработанные машино-часы,

q – число изготовленных рам,

– план производства по затратам ресурсов.

► Вычислим первый и второй предельный продукты (предельную отдачу первого и второго ресурса) для плана – это частные производные ПФ:

Экономический смысл частных производных ПФ

Предельный продукт первого ресурса при данном плане равен 3/4, это означает, что при увеличении затрат первого ресурса на единицу и неизменных затратах второго выпуск продукции увеличится примерно на 3/4 ед.

Построим изокванту - уровень производственной функции. Изоквантой называется множество планов производства, дающих одинаковый объем выпускаемой продукции.

Затраты первого и второго ресурсов для всех планов производства, обеспечивающих выпуск 96 единиц продукции, связаны уравнением:

Отсюда

Графиком полученной функции в пространстве ресурсов является изокванта, соответствующая выпуску 96 единиц продукции. ◄

Рис.15. Изокванта ПФ типа Кобба-Дугласа

 

Задачи оптимизации

 

Рассмотрим функцию n переменных . Аргумент функции F(x) может принимать значения из множества . Функция F(x) называется целевой функцией , X - допустимым множеством (ОДР-область допустимых решений ), – допустимой точкой (вектором), – оптимизируемыми переменными.

Задачи, в которых требуется найти все точки глобального минимума (максимума) либо показать, что их не существует, записываются в виде

(1)

(2)

задача нахождения и точек глобального максимума, и точек глобального минимума:

. (3)

Задачи 1–3 называются задачами математического программирования (ЗМП).

Решения задач 1 и 2 называются оптимальными решениями и обозначаются соответственно

, ,

причем запись часто опускается. Числа , являются наименьшим и наибольшим значением целевой функции на допустимом множестве Х и обозначаются , .

ЗМП решена, если

1) найдено ее решение, либо

2) показано, что решения не существует.

Возможны следующие случаи отсутствия решения ЗМП:

a) Æ (ОДР пуста),

b) неограничена на X (сверху ¾ для задачи снизу ¾ для задачи ),

c) точная верхняя (для задачи ) или нижняя (для задачи ) грань множества значений , не достигается на X. Например: не существует наименьшего .

Математическая теория дает признаки только локального экстремума, в основном все методы нацелены на отыскание локального экстремума.

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Популярное:

1. III. Основные функции и полномочия Управления
2. PR – отношения с общественностью. Цели, задачи, функции, методы
3. Абсолютные и относительные ссылки. Стандартные формулы и функции. Логические функции
4. Алгоритм введения желудочного зонда через рот
5. Алгоритм взятия биохимического анализа крови.
6. Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин
7. Алгоритм выполнения практических заданий
8. Алгоритм вычисления расстояния рабочей точки до границы помпажа
9. Алгоритм исторического развития ЭВМ
10. Алгоритм методики исследования органов дыхания у детей.
11. АЛГОРИТМ ОКАЗАНИЯ НЕОТЛОЖНОЙ ПОМОЩИ ПРИ АНАФИЛАКТИЧЕСКОМ ШОКЕ