Описание связей между макроэкономическими переменными.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели рассчитываются по формулам

Э _{ŷ х1(х2)} = а₁х₁ / у; Э _{ŷ х2(х1)}= а₂х₂ / у. (14)

Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если изменить один из факторных признаков на один процент не меняя значения остальных.

В рассматриваемом выше примере 3 Э_{ŷ х1(х2)}=0, 06815·6080, 5/1313, 9=0, 315; Э_{ŷ х2(х1)}=380.47·3, 1/1313, 9=0, 898. Это означает, что при увеличении душевого дохода на один процент и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0, 315 процента, а увеличение на один процент (условно) размера семьи при неизменном душевом доходе приведет к росту расходов на питание на 0, 898 процента.

Пример 4. Как размер платы за квартиру зависит от площади квартиры и от количества человек, прописанных в данной квартире.

Данные приведены в табл. 4.

Таблица 4

N	Квартплата, руб.	Площадь квартиры, м2	Количество человек
y	x1	x2
	244, 19	46, 0
	450, 50	80, 2
	199, 86	43, 8
	192, 00	48, 9
	98, 50	12, 0
	356, 59	59, 8
	381, 54	51, 9
	118, 48	18, 0
	324, 40	53, 8
	182, 50	16, 0
	=254, 86	1=43, 04	2=2, 5

Построим линейную аддитивную модель в виде ŷ =а₀+а₁x₁+а₂x₂. Необходимые данные для расчета модели сведем в табл. 5.

Таблица 5

N	yx1	yx2	x12	x22	x1x2
	11232, 74	732, 57
	36130, 1	1351, 5	6432, 04		240, 6
	8753, 87	199, 86	1918, 44		43, 8
	9388, 8		2391, 21		97, 8
		98, 5			12, 0
	21324, 08	1069, 77	3576, 04		179, 4
	19801, 93	1526, 16	2693, 01		207, 6
	2132, 64	236, 96
	17452, 72	973, 2	2894, 44		161, 4
		547, 5			48, 0
	1=13031, 9	2=712	=2274, 58	=7, 1	х1х 2=116, 46

 

Для решения линейной двухфакторной модели строим следующую систему уравнений:

а₀+ ₁a₁+ ₂a₂ =

₁а₀+ a₁+ х₁х ₂a₂ = ₁

₂а₀+ х₁х ₂a₁+ a₂ = _2.

Нам нужно решить систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными и найти значения коэффициентов модели а₀, а₁ и а₂.

Подставляя в данную систему найденные числовые данные, получим систему

а₀+43, 04 a₁+2, 5 a₂ = 254, 86

43, 04 а₀+2274, 58 a₁+116, 46 a₂ = 13031, 89

2, 5 а₀+116, 46 a₁+7, 1 a₂ = 712.

Для того чтобы решить данную систему уравнений методом Крамера, найдем сначала значение определителя основной матрицы. Этот определитель определяется равенством

∆ =

43, 04 2, 5

43, 04 2274, 58 116, 46

2, 5 116, 46 7, 1

= 1

2274, 58 116, 46

116, 46 7, 1

- 43, 04

43, 04 2, 5

116, 46 7, 1

 

+ 2, 5

43, 04 2, 5

2274, 58 116, 46

=1× (16149, 518-13562, 93)-43, 04× (305, 58-291, 1)+2, 5×

× (5012, 44–5686, 45)=2586, 586 – 621, 07 – 1685, 025=280, 49.

Получили, что ∆ =280, 49≠ 0, значит, система уравнений имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера

 

∆ а₀ ∆ а₁ ∆ а₂

а₀ =, а₁ =, а₂ =.

∆ ∆ ∆

∆ а0 =

254, 86 13031, 89

43, 04 2274, 58 116, 46

2, 5 116, 46 7, 1

= 254, 86

2274, 58 116, 46

116, 46 7, 1

– 43, 04×

 

13031, 89

116, 46 7, 1

+ 2, 5

13031, 89

2274, 58 116, 46

= 254, 86× (16149, 52-13562, 93)-

- 43, 04× (92526, 42–82919, 52) + 2, 5× (1517693, 9–1619500, 96) = 659218, 33 –

– 413480, 98–254515, 25= –8777, 9.

∆ а1=

43, 04 2, 5

254, 86 13031, 89

2, 5 116, 46 7, 1

=1

13031, 89

116, 46 7, 1

– 254, 86

43, 04 2, 5

116, 46 7, 1

 

+ 2, 5

43, 04 2, 5

13031, 89

=1× (92526, 42–82919, 52)–254, 86× (305, 58–291, 15)+2, 5×

 

× (30644, 48–32579, 72)=9606, 9–3677, 63–4838, 1=1091, 2.

∆ а2=

43, 04 2, 5

43, 04 2274, 58 116, 46

254, 86 13031, 89

= 1

2274, 58 116, 46

13031, 89

– 43, 04×

 

43, 04 2, 5

13031, 89

+ 254, 86

43, 04 2, 5

2274, 58 116, 46

= 1× (1619500, 96–1517693, 91) –

– 43, 04 × (30644, 48 – 32579, 73) + 254, 86 × (5012, 44 –5686, 45) =

=101807, 05+83293, 16–171778, 19=13322, 02.

Теперь мы можем найти значения коэффициентов модели а₀, а₁ и а₂.

а₀ = –8777, 9/280, 49= –31, 3;

а₁ = 1091, 2/280, 49= 3, 89;

а₂ = 13322, 02/280, 49= 47, 5,

следовательно, линейная аддитивная модель имеет следующий вид:

ŷ = –31, 3+3, 89 x₁+47, 5 x_2.

Коэффициент регрессии модели а₁ =3, 89 показывает, что каждый метр площади квартиры повышает квартплату на 3, 89 руб., а коэффициент а₂=47, 5 показывает, что каждый прописанный человек повышает квартплату на 47, 5 руб.

Найдем теоретические значения ŷ и их отклонения от априорных (данные приведены в табл.6).

Таблица 6.

номер	y	(y - )2	ŷ	ε =ŷ - у	ε 2
	244, 19	113, 85	290, 14	45, 9	2106, 8
	450, 50	38275, 01	423, 1	–27, 4	750, 8
	199, 86		186, 52	–13, 3	176, 9
	192, 00	3951, 38	253, 88	61, 9	3831, 6
	98, 50	24448, 45	62, 88	–35, 6	1267, 4
	356, 59	10348, 99	343, 79	–12, 8	163, 8
	381, 54	16047, 82	360, 61	–20, 9	436, 8
	118, 48	18599, 50	133, 74	15, 3	234, 1
	324, 40	4835, 81	320, 47	–3, 9	15, 2
	182, 50	5235, 97	173, 5	–9
∑ /n	=254, 86	12488, 18			906, 4

Совокупный коэффициент детерминации

R² = 1 – 906, 4/12488, 18= 0, 927.

Значение данного коэффициента близко к 1, что очень хорошо.

3.5. Формирование регрессионных моделей на компьютере с помощьюППП Excel

Однофакторная регрессия.

С татистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии у=ах+b. Порядок вычисления следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) выделите область пустых ячеек 5´ 2 (5 строк, 2 столбца) длявывода результатов регрессионной статистики или область 1´ 2 – для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3) активизируйте Мастер функций любым из способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Функция;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

4) в окне Категория выберите Статистические, в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

5) заполните аргументы функции:

Известные_значения_у – диапазон, содержащий данные резуль­тативного признака;

Известные_значения_х – диапазон, содержащий данные факто­ров независимого признака;

Константа - логическое значение, которое указывает на нали­чие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Кон­станта = 1, то свободный член рассчитывается обычным обра­зом, если Константа = 0, то свободный член равен 0;

Статистика – логическое значение, которое указывает, выво­дить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация выводится, если Статистика = 0, то выводятся только оценки параметров уравнения.

Щелкните по кнопке ОК;

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите клавишу < F2>, а затем – на комбинацию клавиш < CTRL> +< SHIFT> +< ENTER>.

Регрессионная статистика представляется в выделенной области в следующем порядке:

Значение коэффициента a	Значение коэффициента b
Среднеквадратическое отклонение a	Среднеквадратическое отклонение b
Коэффициент детерминации R2	Среднеквадратическое отклонение y
F-статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

Многофакторная регрессия.

Построение линейной многофакторной модели производится с помощью инструментов пакета анализа данных Корреляция и Регрессия. Корреляция используется для расчета матрицы парных коэффициентов корреляции. С помощью Регрессии, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок Пакет анализа;

2) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

3) в главном меню выберите пункты Сервис/Анализ данных / Корреляция;

4) заполните диалоговое окно входных данных и параметров вывода:

Входной интервал – диапазон, содержащий анализируемые данные (все столбцы или строки);

Группирование – по столбцам или по строкам;

Метки – флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку диапазона;

5) результаты вычислений – матрица парных коэффициентов корреляции, анализ которых позволяет выполнить первый этап процесса моделирования, описанный в 2.4;

6) в главном меню выберите пункты Сервис/Анализ данных / Регрессия;

7) заполните диалоговое окно входных данных и параметров вывода как в пункте 4, только интервал для результативного признака Y и для факторов Х надо задавать отдельно (причем входной интервал Х должен включать все столбцы, содержащие значения факторных признаков);

8) в результате получаем регрессионную статистику, таблицу дисперсионного анализа и таблицу коэффициентов модели, в которой первая строка (Y-пересечение) соответствует коэффициенту а₀, а следующие строки описывают коэффициенты регрессии а_i.

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. F) разность между выручкой и переменными расходами
2. I. О различии между чистым и эмпирическим познанием
3. II. Описание экспериментальной установки.
4. III Международного детско-юношеского пленэра
5. III. Описание мнении (doxography)
6. IV Международная научная конференция
7. IX Международного научно-спортивно-творческого фестиваля
8. IX Международном фестивале-конкурсе «СОЧИ. АРТ. МИР» («SOCHI.ART.WORLD»)
9. V Международного фестиваля-конкурса
10. V. Сира (Жизнеописание Пророка Мухаммада (да благословит его Аллах и приветствует)
11. XXI МЕЖДУНАРОДНАЯ НАУЧНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
12. Анализ международного сотрудничества