Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.

Итак, при исследовании остатков e_i должно проверяться наличие следующих пяти предпосылок МНК:

1) случайный характер остатков;

2) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от х_i;

3) гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения e_i одинакова для всех значений х_i;

4) отсутствие автокорреляции остатков – значения остатков e_i распределены независимо друг от друга;

5) остатки подчиняются нормальному распределению.

Если распределение случайных остатков e_i не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

В случае нарушения первых двух предпосылок необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии.

Пятая предпосылка о нормальном распределении остатков позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью критериев t, F. Однако и при нарушении пятой предпосылки МНК оценки регрессии обладают достаточной состоятельностью.

Совершенно необходимым для получения по МНК состоятельных оценок параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой предпосылок.

Если не соблюдается гомоскедастичность, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности может привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии, а также к уменьшению их эффективности. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно, t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющихся. В этом случае рекомендуется применять обобщенный метод наименьших квадратов, который заключается в том, что при минимизации суммы квадратов отклонений (5) отдельные ее слагаемые взвешиваются: наблюдениям с большей дисперсией придается пропорционально меньший вес. Чтобы убедиться в гетероскедастичности остатков и, следовательно, в необходимости использования обобщенного МНК, обычно не ограничиваются визуальной проверкой гетероскедастичности, а проводят ее эмпирическое подтверждение, в частности, используют метод Гольдфельда – Квандта. Проиллюстрируем его на примере (табл.7).

Таблица 7.

Поступления налогов в бюджет (y_i – млн.руб.) в зависимости

от численности работающих (х_i – тыс.чел).

№ п/п	хi	yi	ŷ х	ei
		4, 4	-1, 0	5, 4
		8, 1	2, 5	5, 6
		12, 9	4, 9	8, 0
		20, 8	16, 6	4, 2
		15, 5	19, 0	-3, 5
		28, 8	22, 5	6, 3
		37, 5	41, 4	-3, 9
		48, 7	53, 2	-4, 5
		68, 6	66, 1	2, 5
		104, 6	82, 6	22, 0
		90, 5	88, 5	2, 0
		88, 3	107, 4	-19, 1
		132, 4	120, 4	12, 0
		122, 0	127, 4	-5, 4
		99, 1	131, 0	-31, 9
		114, 2	142, 7	-28, 5
		150, 6	151, 0	-0, 4
		156, 1	171, 0	-14, 9
		209, 5	180, 5	29, 0
		342, 9	327, 8	15, 1
итого		1855, 5	1855, 5	0, 0

По выборочным данным строим уравнение регрессии

ŷ _х = – 4, 565 + 1, 178х.

Теоретические значения ŷ _х и отклонения от них фактических значений e_i приведены в четвертой и пятой колонке табл.7. Очевидно, что остаточные величины e_i обнаруживают тенденцию к росту по мере увеличения х и у. Этот вывод подтверждается и по критерию Гольдфельда – Квандта. Для его применения необходимо выполнить следующие шаги:

- упорядочить n наблюдений по мере возрастания переменной х (выполнено);

- исключить из рассмотрения k центральных наблюдений (рекомендовано при n=60 принимать k=16, при n=30 принимать k=8, при n=20 принимать k=4), в данном случае исключаем строки 9–12;

- разделить совокупность на две группы (по ń =(n – k): 2=8 наблюдений соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определить по каждой из групп уравнения регрессии (результаты в табл.8.);

- определить остаточные суммы квадратов для первой (S₁) и второй (S₂) групп и найти их отношение R=S₂: S₁. Чем больше величина R превышает табличное значение F–критерия с ń –2 степенями свободы (приложение 2), тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин, т.е. наблюдается гетероскедастичность остатков.

Таблица 8.

№ п/п	хi	yi	ŷ х	ei	ei2
		4, 4	5, 7	–1, 3	1, 69
		8, 1	8, 5	–0, 4	0, 16
		12, 9	10, 3	2, 6	6, 76
		20, 8	19, 6	1, 2	1, 44
		15, 5	21, 4	–5, 9	34, 81
		28, 8	24, 2	4, 6	21, 16
		37, 5	38, 9	–1, 4	1, 96
		48, 7	48, 1	0, 6	0, 36
Уравнение регрессии: ŷ х = 2, 978 + 0, 921х. Сумма S1=68, 34
		132, 4	110, 7	21, 7	470, 89
		122, 0	118, 7	3, 3	10, 89
		99, 1	122, 7	–23, 6	556, 96
		114, 2	136, 1	–21, 9	479, 61
		150, 6	145, 4	5, 2	27, 04
		156, 1	168, 2	–12, 1	146, 41
		209, 5	178, 9	30, 6	936, 36
		342, 9	346, 1	–3, 2	10, 24
Уравнение регрессии: ŷ х = 31, 142 + 1, 338х. Сумма S2 =2638, 4

Величина R=2638, 4: 68, 34=38.6 существенно превышает табличное значение F-критерия 4, 28 при 5%-ном и 8, 47 при 1%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 8 – 2 = 6, подтверждая тем самым наличие гетероскедастичности.

Нарушение четвертой предпосылки МНК – автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подинтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции во многом сходны с последствиями гетероскедастичности. Среди них при применении МНК обычно выделяются следующие.

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок.

2. Дисперсии оценок являются смешенными. Часто дисперсии, вычисленные по стандартным формулам, являются заниженными, что влечет за собой увеличение t-статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые в действительности таковыми могут не являться.

3. Оценка дисперсии регрессии является смещенной оценкой истинного значения дисперсии, во многих случаях занижая его.

В силу вышесказанного выводы по t- и F-статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.

Для обнаружения автокорреляции необходимо наблюдения упорядочить по значению фактора х (как в предыдущем примере) и составить ряды с текущими и предыдущими остатками. Коэффициент корреляции r_eiej между e_i и e_j, где e_i – остатки текущих наблюдений, e_j – остатки предыдущих наблюдений (например, j=i–1) определяется по обычной формуле линейного коэффициента корреляции (2).Рассмотрим расчет коэффициента корреляции между e_i и e_j, взяв в качестве примера данные из табл.7 и перенеся их в табл. 9 (n=19).

Таблица 9.

№ п/п	ei	ei-1	eiei-1
	5, 6	5, 4	30.24
	8, 0	5, 6	44.8
	4, 2	8, 0	33.6
	–3, 5	4, 2	–14.7
	6, 3	–3, 5	–22.05
	–3, 9	6, 3	–24.57
	–4, 5	–3, 9	17.55
	2, 5	–4, 5	–11.25
	22, 0	2, 5
	2, 0	22, 0
	–19, 1	2, 0	–38.2
	12, 0	–19, 1	–229.2
	–5, 4	12, 0	–64.8
	–31, 9	–5, 4	172.26
	–28, 5	–31, 9	909.15
	–0, 4	–28, 5	11.4
	–14, 9	–0, 4	5.96
	29, 0	–14, 9	–432.1
	15, 1	29, 0
итого	–5.3998	–15.1031	922.09
среднее	–0, 2842	–0, 7949	48.5311

σ _ei =15.1347, σ _ej =14, 7663 и в соответствие с (2)

r_eiej =(48, 5311 – (–0, 2842)(–0, 7949))/15, 1347/14, 7663=0, 2161,

что при 17 степенях свободы явно незначимо и демонстрирует отсутствие автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, причину следует искать в формулировке модели, которая может не включать существенный фактор, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего они оказываются автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени, поэтому проблема автокорреляции остатков весьма актуальна при исследовании динамических рядов, что мы рассмотрим в соответствующем разделе.

⇐ Предыдущая45678910111213Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Авторское видение роли специалиста по ОРМ в обеспечении социальной безопасности молодежи: итоги авторских исследований, проектов, модели.
2. Анализ исходных данных и разработка математической модели
3. Анализ модели Брат-Крама-Нельсона
4. Анализ рентабельности собственного капитала. Использование модели Дюпона в финансовом управлении.
5. Базовый состав информационной модели здания. Стадии разработки информационной модели здания
6. Балансовые модели. Модель Леонтьева.
7. Бестарифные модели оплаты труда
8. Билет 20 Математическое моделирование как
9. Билет Классическая и обобщенная модели множественной линейной регрессии.
10. Бюджетно-налоговая политика в модели кейнсианского креста
11. Бюджетно-налоговая политика и её воздействие на равновесие в модели IS–LM.
12. Вид «Конкурсное моделирование».