Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками.



Итак, при исследовании остатков ei должно проверяться наличие следующих пяти предпосылок МНК:

1) случайный характер остатков;

2) нулевая средняя величина остатков, не зависящая от хi;

3) гомоскедастичность – дисперсия каждого отклонения ei одинакова для всех значений хi;

4) отсутствие автокорреляции остатков – значения остатков ei распределены независимо друг от друга;

5) остатки подчиняются нормальному распределению.

Если распределение случайных остатков ei не соответствует некоторым предпосылкам МНК, то следует корректировать модель.

В случае нарушения первых двух предпосылок необходимо либо применять другую функцию, либо вводить дополнительную информацию и заново строить уравнение регрессии.

Пятая предпосылка о нормальном распределении остатков позволяет проводить проверку параметров регрессии и корреляции с помощью критериев t, F. Однако и при нарушении пятой предпосылки МНК оценки регрессии обладают достаточной состоятельностью.

Совершенно необходимым для получения по МНК состоятельных оценок параметров регрессии является соблюдение третьей и четвертой предпосылок.

Если не соблюдается гомоскедастичность, то имеет место гетероскедастичность. Наличие гетероскедастичности может привести к смещенности оценок коэффициентов регрессии, а также к уменьшению их эффективности. Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы, получаемые при стандартных проверках качества оценок, могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели. Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно, t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющихся. В этом случае рекомендуется применять обобщенный метод наименьших квадратов, который заключается в том, что при минимизации суммы квадратов отклонений (5) отдельные ее слагаемые взвешиваются: наблюдениям с большей дисперсией придается пропорционально меньший вес. Чтобы убедиться в гетероскедастичности остатков и, следовательно, в необходимости использования обобщенного МНК, обычно не ограничиваются визуальной проверкой гетероскедастичности, а проводят ее эмпирическое подтверждение, в частности, используют метод Гольдфельда – Квандта. Проиллюстрируем его на примере (табл.7).

Таблица 7.

Поступления налогов в бюджет (yi – млн.руб.) в зависимости

от численности работающих (хi – тыс.чел).

№ п/п хi yi ŷ х ei
4, 4 -1, 0 5, 4
8, 1 2, 5 5, 6
12, 9 4, 9 8, 0
20, 8 16, 6 4, 2
15, 5 19, 0 -3, 5
28, 8 22, 5 6, 3
37, 5 41, 4 -3, 9
48, 7 53, 2 -4, 5
68, 6 66, 1 2, 5
104, 6 82, 6 22, 0
90, 5 88, 5 2, 0
88, 3 107, 4 -19, 1
132, 4 120, 4 12, 0
122, 0 127, 4 -5, 4
99, 1 131, 0 -31, 9
114, 2 142, 7 -28, 5
150, 6 151, 0 -0, 4
156, 1 171, 0 -14, 9
209, 5 180, 5 29, 0
342, 9 327, 8 15, 1
итого 1855, 5 1855, 5 0, 0

По выборочным данным строим уравнение регрессии

ŷ х = – 4, 565 + 1, 178х.

Теоретические значения ŷ х и отклонения от них фактических значений ei приведены в четвертой и пятой колонке табл.7. Очевидно, что остаточные величины ei обнаруживают тенденцию к росту по мере увеличения х и у. Этот вывод подтверждается и по критерию Гольдфельда – Квандта. Для его применения необходимо выполнить следующие шаги:

- упорядочить n наблюдений по мере возрастания переменной х (выполнено);

- исключить из рассмотрения k центральных наблюдений (рекомендовано при n=60 принимать k=16, при n=30 принимать k=8, при n=20 принимать k=4), в данном случае исключаем строки 9–12;

- разделить совокупность на две группы (по ń =(n – k): 2=8 наблюдений соответственно с малыми и большими значениями фактора х) и определить по каждой из групп уравнения регрессии (результаты в табл.8.);

- определить остаточные суммы квадратов для первой (S1) и второй (S2) групп и найти их отношение R=S2: S1. Чем больше величина R превышает табличное значение F–критерия с ń –2 степенями свободы (приложение 2), тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин, т.е. наблюдается гетероскедастичность остатков.

Таблица 8.

№ п/п хi yi ŷ х ei ei2
4, 4 5, 7 –1, 3 1, 69
8, 1 8, 5 –0, 4 0, 16
12, 9 10, 3 2, 6 6, 76
20, 8 19, 6 1, 2 1, 44
15, 5 21, 4 –5, 9 34, 81
28, 8 24, 2 4, 6 21, 16
37, 5 38, 9 –1, 4 1, 96
48, 7 48, 1 0, 6 0, 36
Уравнение регрессии: ŷ х = 2, 978 + 0, 921х. Сумма S1=68, 34
132, 4 110, 7 21, 7 470, 89
122, 0 118, 7 3, 3 10, 89
99, 1 122, 7 –23, 6 556, 96
114, 2 136, 1 –21, 9 479, 61
150, 6 145, 4 5, 2 27, 04
156, 1 168, 2 –12, 1 146, 41
209, 5 178, 9 30, 6 936, 36
342, 9 346, 1 –3, 2 10, 24
Уравнение регрессии: ŷ х = 31, 142 + 1, 338х. Сумма S2 =2638, 4

Величина R=2638, 4: 68, 34=38.6 существенно превышает табличное значение F-критерия 4, 28 при 5%-ном и 8, 47 при 1%-ном уровне значимости для числа степеней свободы 8 – 2 = 6, подтверждая тем самым наличие гетероскедастичности.

Нарушение четвертой предпосылки МНК – автокорреляция остатков означает наличие корреляции между остатками текущих и предыдущих (последующих) наблюдений. Среди основных причин, вызывающих появление автокорреляции, можно выделить ошибки спецификации, инерцию в изменении экономических показателей, эффект паутины, сглаживание данных.

Ошибки спецификации. Неучет в модели какой-либо важной объясняющей переменной либо неправильный выбор формы зависимости обычно приводит к системным отклонениям точек наблюдений от линии регрессии, что может обусловить автокорреляцию.

Инерция. Многие экономические показатели (например, инфляция, безработица, ВНП и т.п.) обладают определенной цикличностью, связанной с волнообразностью деловой активности. Действительно, экономический подъем приводит к росту занятости, сокращению инфляции, увеличению ВНП и т.д. Этот рост продолжается до тех пор, пока изменение конъюнктуры рынка и ряда экономических характеристик не приведет к замедлению роста, затем остановке и движению вспять рассматриваемых показателей. В любом случае эта трансформация происходит не мгновенно, а обладает определенной инертностью.

Эффект паутины. Во многих производственных и других сферах экономические показатели реагируют на изменение экономических условий с запаздыванием (временным лагом). Например, предложение сельскохозяйственной продукции реагирует на изменение цены с запаздыванием (равным периоду созревания урожая). Большая цена сельскохозяйственной продукции в прошедшем году вызовет (скорее всего) ее перепроизводство в текущем году, а следовательно, цена на нее снизится и т.д.

Сглаживание данных. Зачастую данные по некоторому продолжительному временному периоду получают усреднением данных по составляющим его подинтервалам. Это может привести к определенному сглаживанию колебаний, которые имелись внутри рассматриваемого периода, что в свою очередь может послужить причиной автокорреляции.

Последствия автокорреляции во многом сходны с последствиями гетероскедастичности. Среди них при применении МНК обычно выделяются следующие.

1. Оценки параметров, оставаясь линейными и несмещенными, перестают быть эффективными. Следовательно, они перестают обладать свойствами наилучших линейных несмещенных оценок.

2. Дисперсии оценок являются смешенными. Часто дисперсии, вычисленные по стандартным формулам, являются заниженными, что влечет за собой увеличение t-статистик. Это может привести к признанию статистически значимыми объясняющие переменные, которые в действительности таковыми могут не являться.

3. Оценка дисперсии регрессии является смещенной оценкой истинного значения дисперсии, во многих случаях занижая его.

В силу вышесказанного выводы по t- и F-статистикам, определяющим значимость коэффициентов регрессии и коэффициента детерминации, возможно, будут неверными. Вследствие этого ухудшаются прогнозные качества модели.

Для обнаружения автокорреляции необходимо наблюдения упорядочить по значению фактора х (как в предыдущем примере) и составить ряды с текущими и предыдущими остатками. Коэффициент корреляции reiej между ei и ej, где ei – остатки текущих наблюдений, ej – остатки предыдущих наблюдений (например, j=i–1) определяется по обычной формуле линейного коэффициента корреляции (2).Рассмотрим расчет коэффициента корреляции между ei и ej, взяв в качестве примера данные из табл.7 и перенеся их в табл. 9 (n=19).

Таблица 9.

№ п/п ei ei-1 eiei-1
5, 6 5, 4 30.24
8, 0 5, 6 44.8
4, 2 8, 0 33.6
–3, 5 4, 2 –14.7
6, 3 –3, 5 –22.05
–3, 9 6, 3 –24.57
–4, 5 –3, 9 17.55
2, 5 –4, 5 –11.25
22, 0 2, 5
2, 0 22, 0
–19, 1 2, 0 –38.2
12, 0 –19, 1 –229.2
–5, 4 12, 0 –64.8
–31, 9 –5, 4 172.26
–28, 5 –31, 9 909.15
–0, 4 –28, 5 11.4
–14, 9 –0, 4 5.96
29, 0 –14, 9 –432.1
15, 1 29, 0
итого –5.3998 –15.1031 922.09
среднее –0, 2842 –0, 7949 48.5311

σ ei =15.1347, σ ej =14, 7663 и в соответствие с (2)

reiej =(48, 5311 – (–0, 2842)(–0, 7949))/15, 1347/14, 7663=0, 2161,

что при 17 степенях свободы явно незначимо и демонстрирует отсутствие автокорреляции остатков.

Автокорреляция остатков может быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу. Во-первых, иногда она связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака. Во-вторых, причину следует искать в формулировке модели, которая может не включать существенный фактор, влияние которого отражается в остатках, вследствие чего они оказываются автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени, поэтому проблема автокорреляции остатков весьма актуальна при исследовании динамических рядов, что мы рассмотрим в соответствующем разделе.


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-05-30; Просмотров: 1404; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.019 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь