Балансовые модели. Модель Леонтьева.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 6Следующая ⇒

Рассмотрим экономическую систему, состоящую из n взаимосвязанных отраслей производства, каждая из которых производит свой однородный продукт.

Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление (конечный продукт), а частично используется в качестве сырья, полуфабрикатов или других средств производства в других отраслях, в том числе и в данной (производственное потребление). Поэтому каждая отрасль, с одной стороны, является производителем, а с другой стороны – потребителем продукции.

Задача состоит в том, чтобы установить связь между отраслями через выпуск и потребление продукции разного вида.

Обозначим

x_i – общий объем продукции i-ой отрасли (ее валовый выпуск);

x_ij – объем продукции i-ой отрасли, потребляемый j-ой отраслью при производстве объема продукции x_j;

y_i – объем продукции i-ой отрасли, предназначенный для реализации (потребления) в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления. К нему относятся личное потребление населения, удовлетворение общественных потребностей, образование запасов и т.д.

Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит в том, что валовый выпуск i-ой отрасли должен быть равным сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах, то есть балансовые соотношения имеют вид:

х_i = x_i1+х_i2+…+x_in+ y_i, i=1, 2, …, n. (9.1)

Поскольку продукция разных отраслей имеет разные измерения, в дальнейшем будем иметь в виду стоимостный баланс.

Введем в рассмотрение векторы – столбцы объемов произведенной продукции (вектор валового выпуска ) и объемов продукции конечного потребления (вектор конечного потребления )

Зависимость между этими двумя векторами определяется балансовыми равенствами (9.1).

Однако они не дают возможности определить по заданному, например, вектору необходимый для его обеспечения вектор , так как, кроме искомых неизвестных x_j, содержат n² неизвестных x_ij, которые в свою очередь зависят от x_j. Поэтому преобразуем балансовые равенства (9.1).

Рассчитаем величины a_ij из соотношений (i, j=1, 2, …, n). Величины a_ij называются коэффициентами прямых затрат.

Они определяют затраты продукции i-ой отрасли, используемые j - ой отраслью на изготовление единицы ее продукции, и зависят главным образом от технологии производства в этой j - ой отрасли.

Технология производства остается на одном и том же уровне довольно длительное время и, следовательно, объем потребления j-й отраслью продукции i-ой отрасли при производстве своей продукции объема x_j есть технологическая константа. Поэтому с некоторым приближением можно полагать, что коэффициенты a_ij постоянны в некотором промежутке времени. Исходя, из этого имеем,

х_ij = a_ij x_j ; (i, j=1, 2, …, n), (9.2)

т.е. затраты i- ой отрасли в j-ю отрасль пропорциональны ее валовому выпуску, или, другими словами, зависят линейно от валового выпуска x_j.

Равенство (9.2) называют условием линейности прямых затрат. Рассчитав коэффициенты прямых затрат a_ij по формуле (9.2) (например, используя данные об исполнении баланса за предшествующий период времени), получим матрицу

, которую называют матрицей коэффициентов прямых затрат. Все элементы матрицы a_ij неотрицательны. Подставляя значения во все уравнения системы (9.1), получим балансовую модель:

или

(9.3)

Система уравнений (9.3) может быть записана, компактнее если использовать матричную форму записи уравнений:

, (9.4)

где E- единичная матрица n-го порядка.

Если существует обратная матрица (Е - А)^-1, то существует и единственное решение уравнения (9.4):

Матрица (Е-А)^-1 называется матрицей полных затрат. Матрица А, все элементы которой неотрицательны, называется продуктивной, если для любого вектора с неотрицательными компонентами существует решение уравнения (9.4)-вектор , все элементы которого неотрицательны.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А. Первый критерий продуктивности: матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е - А)^-1 существует и ее элементы неотрицательны. Второй критерий продуктивности: матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы , причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Уравнение баланса (9.3) можно использовать, например, когда требуется рассчитать вектор конечного потребления , если известен вектор валового выпуска . Кроме того, уравнение баланса используется для целей планирования со следующей формулировкой задачи: для периода времени Т (например, год) известен вектор конечного потребления и требуется определить вектор валового выпуска.

Здесь необходимо решать систему линейных уравнений (9.4) с известной матрицей А и заданным вектором .

Рассмотрим задачу.

В таблице приведены данные по балансу за некоторой промежуток времени между тремя отраслями промышленности. Требуется:

1. Проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат.

2. Определить объем валового выпуска каждого вида продукции (ден. ед.)

№ п/п	Отрасли	Приемные затраты	Конечный продукт

	Станкостроение	0, 3	0, 1	0, 2
	Машиностроение	0, 2	0, 3	0, 1
	Автомобильная промышленность	0, 2	0, 2	0, 6

Решение.

1.Выпишем матрицу А - матрицу коэффициентов прямых затрат

Все элементы матрицы А положительные и сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит 1. Следовательно, матрица А удовлетворяет второму критерию продуктивности.

Запишем матрицу (Е-А):

Найдем матрицу (Е-А)^-1.

Элементы матрицы (Е-А)^-1 неотрицательные. Следовательно, и первый критерий продуктивности для матрицы А выполняется.

2. Выпишем вектор конечного потребления :

Обозначим неизвестный вектор валового выпуска :

Компоненты x₁, x₂, x₃ неизвестного вектора находятся из системы уравнений, которая согласно (9.3) имеет вид:

или в матричной форме: .

Так как существует обратная матрица (Е-А)^-1, то существует и единственное решение уравнения. Найдем его.

Следовательно, x₁=300, x₂=200, x₃=400.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 Следующая ⇒