Математическое представление распределений

 

Если интервалы размеров частиц Δ x_i, становятся очень малыми, то гистограмма будет приближаться к плавной кривой, которая может быть аппроксимирована некоторой функциональной зависимостью. Содержание частиц различных размеров в полидисперсной системе полностью определяется заданием ее дифференциальной функции счетного f(x) или массового g(x) распределения, где х - параметр, характеризующий размер индивидуальной частицы (радиус, диаметр, объем, масса, некоторый эквивалентный размер для несферической частицы и т.д.).

Наряду с функцией распределения для описания дисперсных сред широко используются осредненные характеристики, большинство из которых определяется следующим выражением:

(3.3)

где m, n— целые числа, означающие порядок момента функции распределения.

Наиболее распространенными из них являются следующие средние размеры:

x₁₀ - среднеарифметический;

x₂₀ - среднеквадратический;

x₃₀ - среднекубический (среднеобъемный);

x₃₂ - средний объемно-поверхностный;

x₄₃ - среднемассовый.

 

Расчет средних размеров с использованием гистограмм.

 

Приведем порядок расчета средних размеров частиц в соответствии с формулой (3.3), которая записывается в следующем виде (интегралы заменяются суммами):

, (3.4)

где k - количество столбцов в гистограмме.

Рассчитываются следующие суммы:

; ; ;

; ; (3.5)

С помощью полученных значений сумм рассчитываются средние размеры частиц по формулам:

среднеарифметический: ; (3.6)

среднеквадратический ; (3.7)

среднеобъемный ; (3.8)

средний объемно-поверхностный ; (3.9)

среднемассовый . (3.10)

Рассмотрим порядок расчета на следующем примере.

Пример 3.1. В табл. 3.2. приведены результаты измерений размеров наноструктурированного порошка.

В табл. 3.2 заносятся следующие столбцы:

i - номер интервала размеров частиц;

х_i1, х_i2 - левая и правая границы интервала;

- средняя точка интервала;

- ширина интервала;

n_i - количество частиц в этом интервале.

 

Таблица 3.2

Результаты измерений размеров наноструктурированного порошка

 

i	xi1, мкм	xi2, мкм	xi, мкм	Δ xi, мкм	ni, мкм		fi, мкм-1
			1.5			0.15	0.15
			2.5			0.45	0.45
			4.0			0.25	0.125
			7.5			0.1	0.02
						0.05	0.005

 

Решение. 1. Нормируя n_i, на единицу, находим - долю общего количества частиц в интервале:

(3.11)

2. Находим значение функции распределения для каждой фракции:

(3.12)

3. По формулам (3.5) рассчитываются соответствующие суммы и заносятся в табл.3.3.

Таблица 3.3

Результаты расчетов

i	xi, мкм	fi, мкм-1	Δ xi, мкм		, мкм	, мкм2	, мкм3	, мкм4
	1.5	0.15		0.15	0.225	0.338	0.506	0.759
	2.5	0.45		0.45	1.125	2.818	7.031	17.578
	4.0	0.125		0.25	1.000	4.000	16.000	64.00
	7.5	0.02		0.10	0.750	5.625	42.188	316.406
		0.005		0.05	0.750	11.250	168.750	2531.25

 

С помощью табл.3.3 по формулам (3.6)-(3.10) рассчитываются средние размеры частиц:

;

;

=6.2 мкм;

;

= 12.5 мкм

3.2.2. Расчет удельной поверхности порошка.

 

Одной из характеристик дисперсности порошка является его удельная поверхность S_уд, определяемая как отношение суммарной поверхности частиц к их массе. Для частиц сферической формы диаметром х величина Syд рассчитывается по формуле:

(3.13)

где ρ _р - плотность материала частиц.

В соответствии с выражением для средних размеров (3.4), получим:

. (3.14)

Для монодисперсных систем с частицами диаметром х:

. (3.15)

В табл.3.4 приведены значения S_уд, для порошков алюминия (плотность алюминия ρ _р=2700 кг/м³ ). Микрофотографии данных порошков приведены на рис.3.3.

 

 

Таблица 3.4

Марка	АСД-1	АСД-4	АСД-6	АСД-8	ALEX
х32, мкм	17.4	4.34	3.01	1.60	0.16
Syд, м2/г	0.128	0.512	0.739	1.389	13.889

В результате расчетов получим S_уд =0, 228 см²/г.

 

Рис. 3.3. Микрофотографии порошков алюминия: а - порошок АСД-4; б - порошок ALEX

Глава 4. Решение контрольных заданий

Решение контрольных заданий по теме «Определение

Удельной поверхности наноматериалов адсорбционным

Методом Ленгмюра»

 

Номер варианта указывает преподаватель (при получении работы по электронной почте номер варианта определяется на основе табл.4.1 по двум последним цифрам номера зачетной книжки). В тех заданиях, в которых указывается только один вариант, он является общим для всех студентов.

Таблица 4.1

Выбор варианта контрольной работы

Две последние цифры шифра	Вариант
00 – 01 - 02 - 03 - 04
05 – 06 - 07 - 08 - 09
10 – 11 - 12 - 13 - 14
15 – 16 - 17 - 18 - 19
20 – 21 - 22 - 23 - 24
25 – 26 - 27 - 28 - 29
30 – 31 - 32 - 33 - 34
35 – 36 - 37 - 38 - 39
40 – 41 - 42 - 43 - 44
45 – 46 - 47 - 48 - 49
50 – 51 - 52 - 53 - 54
55 – 56 - 57 - 58 - 59
60 – 61 - 62 - 63 - 64
65 – 66 - 67 - 68 - 69
70 – 71 - 72 - 73 - 74
75 – 76 - 77 - 78 - 79
80 – 81 - 82 - 83 - 84
85 – 86 - 87 - 88 - 89
90 – 91 - 92 - 93 - 94
95 – 96 - 97 - 98 – 99

Для исходных данных для своего варианта выполнить следующие задания.

 

4.1.1. Контрольные задания.

Задание 1. Решить пример 2.1 по исходным данным, приведенном в нем.

Постройте изотерму адсорбции в линейных координатах. Графически определите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Сравните полученные результаты с результатами, приведенными в примере 2.1.

Задание 2. По экспериментальным данным адсорбции, указанным в исходных данных для своего варианта, вычислите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность вещества, указанного в варианте задания, S_уд. Алгоритм решения приведен в примере 2.1.

Задание 3. Решить пример 2.2 по исходным данным, приведенном в нем.

По полученным данным построить график в координатах уравнения Ленгмюра в линейной форме P/a=f(P).Рассчитать площадь, занимаемую молекулой бензола в плотном монослое. Сравнить полученные результаты.

Задание 4. По экспериментальным данным адсорбции, указанным в исходных данных для своего варианта, вычислите значения Р/а. По полученным данным построить график в координатах уравнения Ленгмюра в линейной форме P/a=f(P). Рассчитайте площадь, занимаемую молекулой газа. Алгоритм решения приведен в примере 2.2.

Указания. 1. Все расчеты проводятся на ПК с использованием табличного процессора Microsoft EXCEL и созданием формульных зависимостей в соответствующих ячейках таблиц.

2. Построение диаграмм и гистограмм проводятся на ПК с использованием табличного процессора Microsoft EXCEL.

3. По результатам работы проводится анализ, и делаются выводы.

4. Результаты расчетов, в том числе и в электронном виде, представляются преподавателю на проверку во время защиты контрольной работы.

5. Защита письменных отчетов проводится согласно расписанию.

Задание 5. Дать письменные ответы на вопросы.

1. Расскажите о методе сорбции и капиллярной конденсации газов.

2. Приведите основные определения теории адсорбции.

3. Расскажите о явлении сорбции.

4. Расскажите об изотермах адсорбции – десорбции.

5. Расскажите об уравнении изотермы адсорбции Генри.

6. Расскажите об уравнении изотермы адсорбции Ленгмюра. Приведите основные ограничения на ее применение.

7. Приведите изотерму адсорбции Ленгмюра. Поясните ее вид.

8. Приведите порядок проведения расчетов и построения линейная форма уравнения Ленгмюра и изотермы адсорбции Ленгмюра.

9. Расскажите о порядке расчета удельной поверхности материалов.

 

Варианты контрольных заданий.

К заданию 2.

Вариант 1. По экспериментальным данным адсорбции углекислого газа СО₂ на активированном угле вычислите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Для СО₂ V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 187 нм².

р·103, Па	9.9	49.7	99.8	200.0	297.0
а, см3/г	32, 0	70.0	91, 0	102.0	107.3

 

Вариант 2. По экспериментальным данным адсорбции аргона на активированном угле вычислите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Указание. Необходимо выразить a в см³/г. Использовать формулу а (см³/г) =a(моль/г)∙ (M/ρ ) Для аргона М= 0, 040 кг/моль, ρ =1, 784 кг/м³. ω =0, 176 нм².

р·103, Па	2.5	3.43	7, 42	13.10	17.20
а∙ 104, моль/г	1.68	2.27	4.47	6.97	8.19

Вариант 3. По экспериментальным данным адсорбции СО₂ на древесном угле при 273 К вычислите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность древесного угля S_уд. Указание. Необходимо выразить a в см³/г. Использовать формулу а (см³/г) =a(моль/г)∙ (M/ρ ) Для СО₂ М=0, 044 кг/моль, ρ = 1, 977 кг/м³.ω =0, 187 нм².

р, мм.рт.ст.
а∙ 104, моль/г	46.2	113.4	164.6	185.6	205.6

 

Вариант 4. По экспериментальным данным адсорбции паров воды H₂O макропористым силикагелем вычислите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность силикагеля S_уд. Указание. Необходимо выразить a в см³/г. Использовать формулу а (см³/г) =a(моль/г)∙ (M/ρ ) Для паров воды М= 0, 018 кг/моль, ρ = 0, 880 кг/м³ (при 100 С), ω =0, 125 нм². V_M = 18∙ 10^-3 м³/моль.

р·103, Па	3.04	7, 72	11.69	14.03	17, 77
а, моль/кг	4, 44	9.22	11.67	13.22	14.89

 

Вариант 5. По экспериментальным данным адсорбции бензола на поверхности непористой сажи вычислите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность сажи S_уд. Указание. Необходимо выразить a в см³/г. Использовать формулу а (см³/г) =a(моль/г)∙ (M/ρ ) Для бензола М= 78, 11 г/моль, ρ =0, 879 г/см³. ω =0, 49 нм². V_M = 89∙ 10^-3 м³/моль

р, Па	1.03	1.29	1.74	2.50	6.67
а∙ 102, моль/кг	1.57	1.94	2.55	3.51	4.58

 

Вариант 6. По экспериментальным данным адсорбции углекислого газа СО₂ на активированном угле вычислите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Для СО₂ V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 187 нм².

р·103, Па	9.9	49.7	99.8	200.0	297.0
а, см3/г	32.0	70.0	91, 0	102.0	107.3

 

Вариант 7. По экспериментальным данным адсорбции углекислого газа СО₂ на цеолите при 293 К графически определите (или вычислите) константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность цеолита S_уд. Для СО₂ V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 187 нм².

р·103, Па	1.0	10.0	75, 0	200.0
а, см3/г	35.0	112.0	174.0	188.0

 

Вариант 8. По экспериментальным данным адсорбции углекислого газа СО₂ на активированном угле графически определите (или вычислите) константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Для СО₂ V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 187 нм².

р·103, Па	10, 0	44.8	144.0	250.0
а, см3/г	32, 3	66.7	117, 2	145.0

 

Вариант 9. По приведенным ниже опытным данным адсорбции N₂O на древесном угле графически определите (или вычислите) константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность древесного угля S_уд. Для N₂O V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 185 нм².

р, Па	1.90	5.88	12.06	16.82
а, см3/г	0.160	0.189	0.199	0.200

 

Вариант 10. По приведенным ниже опытным данным адсорбции этилена на древесном угле графически определите (или вычислите) константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность древесного угля S_уд. Для этилена V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ρ =1, 261 кг/м³.ω =0, 64 нм².

р, Па	1, 62	3, 44	6.70	10.13
а, см3/г	0, 130	0.154	0.169	0.172

Вариант 11. По приведенным ниже опытным данным адсорбции N₂O на древесном угле графически определите (или вычислите) константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность древесного угля S_уд. Для N₂O V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 185 нм².

р, Па	1, 61	3.55	7.40	12.06
а, см3/г	0.150	0.183	0.191	0.199

 

Вариант 12. По экспериментальным данным адсорбции углекислого газа СО₂ на активированном угле найдите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Для СО₂ V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 187 нм².

р·103, Па	9.9	99.8	297, 0	398.5
а, см3/г	32.0	91.0	107, 3	108.0

 

Вариант 13. По экспериментальным данным адсорбции углекислого газа СО₂ на цеолите при 293 К определите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность цеолита S_уд. Для СО₂ V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 187 нм².

р·103, Па	5, 0	10.0	30, 0	75, 0	100.0
а, см3/г	86.0	112.0	152, 0	174.0	178, 0

Вариант 14. По экспериментальным данным адсорбции CO₂ на активированном угле найдите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Для СО₂ V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 187 нм².

р·103, Па	10.0	100.0	250.0	452.0
а, см3/г	32.3	96.2	145.0	177.0

 

Вариант 15. По экспериментальным данным адсорбции углекислого газа СО₂ на активированном угле найдите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Для СО₂ V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω =0, 187 нм².

р·103, Па	49, 7	99.8	200.0	297.0	398.5
а, см3/г	70.0	91.0	102.0	107.3	108.0

 

Вариант 16. По экспериментальным данным адсорбции азота на активированном угле при 273 К найдите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Для азота V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω = 0.162 нм². 760 мм рт. ст. = 1, 01325· 10⁵ Па.

Р, мм. рт. ст.	3, 93	12, 98	22, 94	34, 01	56, 23
а, см3/г	0, 987	3, 04	5, 08	7, 04	10, 31

 

Вариант 17. По экспериментальным данным адсорбции азота на активированном угле при 194, 4 К найдите константы а_m и К уравнения Ленгмюра, пользуясь которыми, постройте изотерму Ленгмюра. Определите удельную поверхность активированного угля S_уд. Для азота V_M = 22, 41 л/моль=22, 41∙ 10^-3 м³/моль, ω = 0.162 нм².

р·103, Па	1, 86	6, 12	17, 96	33, 65	68, 89
а, см3/г	5, 06	14, 27	23, 61	32, 56	40, 83

 

К заданию 4

Вариант 1. При адсорбции углекислого газа на саже с удельной поверхностью 73, 7·10³ м²/кг были получены следующие данные:

р·10³, Па 9, 9 49, 7 99, 8 200, 0

а∙ 10², моль/кг 7, 27 15, 9 20, 67 23, 17

Рассчитайте площадь, занимаемую молекулой углекислого газа в плотном монослое.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Анализ исходной информации и ее представление
2. Билет 20 Математическое моделирование как
3. Бой на Мархфельде (при Штильфриде) в 1278 г. дает наиболее полное представление о способах ведения боя в период господства на полях сражений Европы рыцарской конницы.
4. Виды распределений непрерывной случайной величины.
5. ВИЗУАЛИЗАЦИЯ, ИЛИ МЫСЛЕННОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
6. ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДАННЫХ
7. Графическое представление основных элементов чертежей
8. Графическое представление пространственной информации гис
9. И все же математическое ожидание?
10. ИНФОРМАЦИЯ (informatio — ознакомление, представление — лат.)
11. Историческое представление о морали
12. Критические точки распределений