Признаки постоянства, возрастания и убывания функций

Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ≤ x ≤ b.

1°. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f '(х) равна нулю.

Иллюстрируем это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ≤ х ≤ b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной вточке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]

график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным.

2°. Если в промежутке a< x< b функция y=f(x) возрастающая, то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Δ x и Δ у положительны, отношение Δ y/Δ x положительно и при стремлении Δ x к нулю принимает только

положительные значения. Вследствие этого его предел — производная f '(х) — положительна или равна нулю

f '(x) ≥ 0

Если в промежутке а< х< b функция y=f(x) убывающая, то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Δ x положительно, приращение Δ y отрицательно, отношение Δ y/Δ x принимает только отрицательные значения и при стремлении Δ x к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.

f '(x) ≤ 0.

Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):

f '(x) = tgφ ,

и у возрастающей функции f '(x) = tgφ ≥ 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f '(х) = tgφ ≤ 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).

В промежутке a< x< b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ≤ х ≤ b₁(a< a₁< b₁< b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a₁ ≤ х ≤ b₁ то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р₁.

3°. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:

функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a< x< b, если:

1) производная f '(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке а< х< b,

f '(x) ≥ 0 (или f '(x) ≤ 0)

2) в этом промежутке не существует отрезка a₁ ≤ x ≤ b₁ (а< а₁< b₁< b), во всех точках которого производная f '(х) = 0.

4°. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции: у = х³ — х² — 8х + 2.

Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:

у' = Зх² — 2х — 8.

Разложим трехчлен второй степени на множители, так как гораздо легче судить о знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.

Корни трехчлена:

_______________ x=(1⁺√ 1+24)/3=(1⁺5)/3; x₁= - 4/3, x₂=2.

Отсюда:

у' =3(х+4/3)(х-2).

Множитель x + 4/3 отрицателен при х < - 4/3 и положителен при х > - 4/3. Множитель х - 2 отрицателен при х < 2 и положителен при х > 2. Знак произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на оси Ох относительно точек -4/3 и 2.

Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка;

1) — ∞ < x< -4/3, 2) -4/3< x< 2, 3)2< x< + ∞ .

Чтобы определить знак производной в каждом из промежутков, составим таблицу:

№ промежутка	Характеристика промежутка	Знак x+4/3	Знак x-2	Знак f ’(x)	Данная функция
	- ∞ < x< - 4/3	—	—	+	возрастает
	-4/3 < x < 2	+	—	—	убывает
	2 < х < + ∞	+	+	+	возрастает

Следовательно, данная функция возрастает в промежутках

- ∞ < x < -4/3 и 2 < x < + ∞ и убывает в промежутке — 4/3 < х < 2.

График данной функции представлен на черт.

5°.Функция у = х³ (черт.) имеет производную у = 3х², которая положительна при всяком значении х, отличном от нуля. При х = 0 производная у' = 0. Функция у = х³ возрастает в промежутке — ∞ < x< +∞ ; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0 х³ = 0, а при х < 0 х³ < 0 и при х > 0 х³ > 0.

Максимум и минимум функции

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.

Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

Термины " максимум" и " минимум" объединяются в один общий для них термин " экстремум".

Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x— 2х² (черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x (черт. 112), или иметь

максимум и минимум, как, например, функция у = х³— — х² — 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х³, y = ctgx, y = a^x не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от — ∞ до +∞ первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.

Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с₁М₁ и с₃М₂, а в точке с₀ значение, меньшее минимума c₂m₁, и c₄m₂, минимум c₄m₂ больше максимума с₁М₁. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.

12 Следующая ⇒