Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Признаки существования экстремума



. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2δ точки х=с:

1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.

. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности точки x = с:

1) функция f(x) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с по­ложительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

. Так же можно доказать, что если в окрестности 2δ точки х = с:

1) функция f(x) непрерывна, 2) производная f '(x) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции.

. Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.

. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f '(х) равна нулю, называются стационарными точками.

Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная состав­ляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее. В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее.

 

 

Правило нахождения экстремума

 

. Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками;

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

5) затенить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

 

 

Направление вогнутости кривой

Пусть две точки M1 и M2 имеют одну и ту же абсциссу. Если при этом ордината точки M1 более (менее) ординаты точки M2, то говорят, что точка M1 лежит выше (ниже) точки M2. Говорят также, что в промежутке а< х< b линия y = f(x) лежит выше (ниже) линии у=φ (х), если в этом промежутке каждая точка первой линии лежит выше (ниже) соответствующей ей точки второй линии, т. е. если

f(x)> φ (x) [или f(x)< φ (x)].

Определение. В промежутке а < х < b криваяграфик дифференцируемой функции y=f(x) — называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а < х < b и вогнутой вниз в промежутке b < х < с.

. В более подробных курсах анализа доказывается, что если производная f '(х) — возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х < b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.

Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.)

произвольно ряд точек и проведем через каждую из них

прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием абсциссы намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к неко­торой кривой линии [tgφ = f '(x)], построим эту кривую линию. Мы видим, что она может лежать только выше каждой из проведенных касательных.

. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке а< х< b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз).

Действительно, если в промежутке а< х< b вторая производная f " (x), например, положительна, за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то первая производная f '(х)—возрастающая функция, а кривая y = f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.

Если f " (x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежутке, то в этом промежутке f '(x) — постоянная функция, a f(x) — линейная функция, график ее — прямая линия, и говорить о вогнутости не имеет смысла.

 

Точки перегиба

. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая график дифференцируемой функции y = f(x) имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.

Точку М кривой (черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая точка, как Р, в которой единственной касательной не имеется, точкой перегиба не является.

. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости кривой y=f(x) разного направления, то вторая производная f " (x) имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем, что в точке перегиба она равна нулю, т. е.

f(c) = 0.

. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:

1) найти вторую производную данной функции;

2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;

3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;

4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

4°. Примеры. Найти точки перегиба и определить проме­жутки вогнутости вверх и вниз кривых:

1) у = lп х.

Решение. Находим вторую производную:

y '=1/x; y ''= -1/x2.

При всяком значении x = (0 < х < +∞ ) у" отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью вниз.

2) у = sin x.

Решение. Находим вторую производную:

y' =cos x, y'' = -sin x.

Полагая - sin x = 0, находим, что x = kπ , где k - целое число.

Если 0 < x< π , то sin x положителен и y '' отрицательна, если же π < x< 2π , то sin x отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки перегиба 0, π, 2π ,...

В первом промежутке 0 < x< π она обращена вогнутостью вниз, во втором - вогнутостью вверх и т. д.

 

 


Поделиться:



Популярное:

  1. Аналог, прототип, существенные признаки, формула изобретения
  2. Анатомо-физические и антропологические, наследственно-генетические признаки – это признаки
  3. Бытие, его структура, формы и способы существования.
  4. Взаимосвязь программ есть принцип совершенных установок бытия, где параллельность развития объёмов сохраняет и содержит ряд прогрессий с общим объединяющим коэффициентом существования.
  5. Власть, политика и государство. Основные признаки, исторические типы и формы государства.
  6. Вопрос 8. Сознание;определелие,структура,признаки и свойства
  7. Вопрос: Понятие предприятия, как хозяйствующего субъекта. Основные правовые признаки предприятия, как юридического лица
  8. ВОПРОС: Сущность, признаки, характеристики и классификация недвижимого имущества.
  9. Глава 2 Основные морфологические признаки почвы
  10. ГЛАВА 2 Состояние существования.
  11. ГЛАВА 7Двойная фаза существования будущего.
  12. ГЛАВА II. Отражение выявленных особенностей фотомонтажа в разное время его существования.


Последнее изменение этой страницы: 2016-06-04; Просмотров: 384; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.016 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь