Некоторые случайные процессы.

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

Процессы массового обслуживания.К числу случайных процессов, изучаемых методом имитационного моделирования относятся, в частности, процессы, связанные с формированием и обслуживанием очередей. Простейшая задача данного класса такова. Имеется система массового обслуживания с одним узлом обслуживания (магазин с одним продавцом, ремонтная зона в автохозяйстве, травмпункт с одним врачом, телефонная станция с одним входом, сервер с одним входным каналом и т.д.). К услугам системы клиенты прибегают случайным образом (с заданной функцией распределения отрезков времени между приходами). Если система свободна, то начинает обслуживать клиента сразу, иначе ставит его в очередь. Длительность обслуживания каждого клиента — случайная величина с известным законом распределения.

В ходе решения данной задачи требуется дать ответ на вопросы типа: какова функция распределения вероятностей времени ожидания клиента в очереди? Времени простоя системы в ожидании клиентов? Если сами эти функции определять сложно, то каковы их наиболее важные характеристики (т.е. математическое ожидание, дисперсия и т.д.)?

Задача Бюффона. Французский натуралист, биолог, математик, естествоиспытатель и писатель XVIII века Жорж-Луи Леклерк де Бюффон аналитически нашел, что если на поле, разграфленное параллельными прямыми, расстояние между которыми L, бросается наугад игла длиной l, то вероятность того, что игла пересечет хотя бы одну прямую, определяется формулой . Эта задача дала способ имитационному определению числа p. Действительно, если L=2l, то .

«Бросок иглы» моделируется генерированием трех случайных чисел – координат одного из концов иглы X, Y и угла наклона иглы к положительному направлению оси абсцисс α. Координаты второго конца иглы вычисляются из прямоугольного треугольника с гипотенузой l и острым углом α (или π -α ). Для простоты можно считать, что прямые проведены через точки 0, 1, 2, … Тогда условием пересечения иглой какой-либо прямой будет неравенство целых частей ординат концов иглы.

Процесс случайного одномерного блуждания (модель «пьяницы»). В начальный момент времени точка находится на нулевой отметке числовой прямой. Блуждание задается по правилу: если случайное число из отрезка [0, 1] меньше 0, 5, то делается шаг вправо на расстояние h, в противном случае ¾ влево. Распределение случайных чисел принимается равновероятным. Обычно ставятся следующий вопрос: какова вероятность удаления точки на расстояние k от начального положения через n шагов. Обобщение данной модели на плоскость и на большое количество точек позволяет моделировать процессы, происходящие в жидкостях и газах.

Пример выполнения задания

Задача.На междугородней телефонной станции две телефонистки обслуживают общую очередь заказов. Очередной заказ обслуживает та телефонистка, которая первой освободилась. Если обе в момент поступления заказа заняты, то звонок аннулируется. Смоделировать процесс, считая входной поток пуассоновским, а длительность обслуживания постоянной.

Решение. В задаче требуется смоделировать систему массового обслуживания с двумя каналами, с отказами. Время будем измерять в минутах. Длительность обслуживания заявки каждой из телефонисток примем равным 0, 2 и поместим это значение в ячейку I2 (Рис.2). В качестве случайной величины возьмем интервал времени между поступлением заявок.

В диапазоне B2: B101 получены целые случайные числа, распределенные по пуассоновскому закону (Данные-Анализ данных- Генерация случайных чисел- Число переменных=1, Число случайных чисел=100, Распределение= Пуассона, Лямбда=10, Выходной интервал=$B$2- OK). В диапазоне С2-С101 –те же числа, поделенные на 100 с тем, чтобы сделать интервалы времени дробными. В ячейке D3 – формула =D2+C3 для вычисления момента поступления очередного звонка. В ячейку E3 введем условие, при котором звонок обслуживается первой телефонисткой: =ЕСЛИ(МАКС($E$2: E2)< D3; D3+$I$2; 0), в ячейку F3 – условие обслуживания звонка второй телефонисткой: =ЕСЛИ(И(МАКС($F$2: F3)< D4; E4=0); D4+$I$2; 0). В ячейках G3 и H3 проверяется, обслужена заявка или нет: =ЕСЛИ(И(E3=0; F3=0); 0; 1) и =ЕСЛИ(И(E4=0; F4=0); 1; 0) соответственно. Введенные формулы копируются на весь диапазон.

Рис.2 Начало таблицы, моделирующей работу системы с отказами

Пронаблюдав за системой в течение примерно 10 минут (ячейка D101 на рис.3), делаем вывод: при выбранных значениях входных параметров система обслуживает 77% поступающих заявок.

Рис.3 Конец таблицы. В ячейках G102 и H102 получены выходные параметры модели: количество обслуженных заявок и количество отказов.

Задание к лабораторной работе

1. Произвести моделирование указанного случайного процесса в среде Excel

2. Оценить значения указанных в варианте выходных параметров модели

3. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

- постановку задачи и описание модели;

- результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

- качественный анализ результатов.

Вариант 1.

Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при равновероятных законах распределения описанных выше случайных величин: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей, оценить их достоверность. Оценить характер функции распределения величин g и h.

Вариант 2.

Провести то же моделирование при пуассоновских законах распределения вероятностей входных событий: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).

Вариант 3.

Провести то же моделирование при нормальном законе распределении вероятностей входных событий: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).

Вариант 4.

В рассмотренной выше системе может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если покупатели заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), то очередь начинает нарастать, и в рассматриваемой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис.

Найти величины a_max и b_vax), отражающие указанную критическую ситуацию, при равновероятном распределении входных событий.

Вариант 5.

На травмопункте работает один врач. Длительность лечения больного и промежутки времени между поступлениями больных — случайные величины, распределенные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три категории, поступление больного любой категории — случайное событие с равновероятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяжелыми травмами, затем, если таковых нет, — больными с травмами средней тяжести и лишь затем — больными с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий.

Вариант 6.

Реализовать имитационную модель статистического моделирования для решения задачи Бюффона. В ходе моделирования выполнить расчет приближенного значения числа π.

Вариант 7.

Разработать модель случайного одномерного блуждания (модель «пьяницы»). Ответить на вопрос: какова вероятность при таком блуждании удалиться от начальной точки на n шагов?

Вариант 8.

В условиях задачи из предыдущего варианта получить ответ на вопрос: какова вероятность «пьянице» вернуться через n шагов в начальную точку?

Вариант 9.

В игре участвуют игрок и маклер. У игрока имеется начальный капитал K монет. Он желает в ходе игры удвоить свой капитал. Маклер бросает монету. Если выпал герб, то маклер выплачивает игроку сумму, равную ставке, назначаемой игроком. При выпадении цифры та же сумма выплачивается маклеру игроком. Игра прекращается, если у игрока не осталось монет или он смог удвоить свой капитал. Смоделировать описанную игру. Ответить на вопрос: какова оптимальная ставка при фиксированном значении K?

Вариант 10.

Смоделировать игру, описанную в варианте 9. Ответить на вопрос: Вероятность какого события больше: разорения игрока или его выигрыша?

Вариант 11.

Двое играют в следующую игру: каждый игрок по очереди бросает 2 игральные кости, суммируя выпавшие очки. Выигрывает тот, кто первым наберет более 100 очков. Смоделировать описанную игру, ответить на вопрос: есть ли преимущество у того, кто ходит первым?

Вариант 12.

Смоделируйте известную игру «Спортлото» 6 из 49. В качестве исходных данных введите сведения о 100 заполненных билетах. Проведите розыгрыш одного тиража. Подсчитайте количество билетов, в которых угадано 3, 4, 5, 6 номеров и соответствующие вероятности.

Литература

1. Введение в математическое моделирование: учебное пособие/ Под ред. П.В.Трусова. –М.: Логос, 2004.- 440 с. (Электронный ресурс. - Режим доступа: http: //www.knigafund.ru/books/42503).

2. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Знание, 1991.

3. ГулдХ., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т. 1, 2. - М.: Мир, 1990.

4. Гусева Е.Н и др. Информатика: учебное пособие.-М.: Флинта, 2011. - 260 с. (Электронный ресурс. - Режим доступа: http: //www.knigafund.ru/books/116085).

5. Дьяконов В.П и др. Новые информационные технологии: учебное пособие. – М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2008. - 640 с. (Электронный ресурс. - Режим доступа: http: //www.knigafund.ru/books/55343).

6. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в информатику с позиций математического моделирования. — М.: Наука, 1988

7. Могилев А.В. Информатика: учеб. пособ. для вузов. - М.: Академия, 2008. – 325 с. (Библиотека УлГПУ).

8. Могилев А.В. Практикум по информатике: учеб. пособие для вузов. - М.: Академия, 2001. – 606 с. (Библиотека УлГПУ).

⇐ Предыдущая 1 2 34