Построение компьютерной модели

Лабораторная работа №1

Построение компьютерной модели

Краткие теоретические сведения

Понятие компьютерной модели и моделирования. Моделью называют идеальный или реальный объект, заменяющий собой другой объект в процессе его познания. Модель является представлением объекта в некоторой форме, отличной от формы его реального существования.

Моделирование – это изучение объектов путем построения и исследования моделей.

Классификация моделей. В моделировании есть два заметно разных пути – натурное и абстрактное моделирование.

Натурная модель – копия реального объекта, выполненная в другом масштабе, из другого материала, с отсутствием ряда деталей.

Абстрактная модель- представление, словесное или формализованное описание объекта.

Абстрактные модели делятся на вербальные и знаковые. Знаковые в свою очередь делят на математические, графические, информационные.

Вербальная модель представляет собой последовательности предложений какого-либо естественного языка, описывающую объект (например, протокол осмотра места происшествия, инструкция пользования прибором и т.п.)

Математическая модель – это совокупность исходных данных, результатов и связей между ними, выраженных в математической форме.

Информационная модель описывает объект в виде информационных процессов, происходящих в нем.

Компьютерное математическое моделирование связано с информатикой технологически. В настоящее использование компьютера и соответствующих процессов обработки информации является неотъемлемой стороной математического моделирования.

Этапы построения компьютерной модели. Технологическая цепочка процесса решения задачи методом компьютерного моделирования включает следующие этапы:

I. Определение цели моделирования

II. Формализация задачи. Выделение существенных свойств объекта в соответствие с поставленной целью. Постановка задачи на формальном языке.

III. Построение математической модели (исходные данные, результаты, связь между ними).

IV. Выбор метода исследования. Построение компьютерной модели (написание программы или табличного алгоритма)

V. Исследование, интерпретация результатов и проверка на адекватность. Если модель не адекватно отражает реальность, возврат ко второму этапу, коррекция модели.

VI. Использование модели для достижения поставленной цели, а возможно, и для других целей.

Пример компьютерной модели «Биоритмы»

Постановка задачи. Существует гипотеза, что жизнь человека подчиняется трем циклическим процессам, называемым биоритмами. Эти циклы описывают три стороны самочувствия человека: физическую, эмоциональную и интеллектуальную. Биоритмы характеризуют подъемы и спады нашего самочувствия. За точку отсчета всех трех биоритмов берется день рождения человека.

Физический биоритм характеризует жизненные силы человека, т.е. его физическое самочувствие. Периодичность его составляет 23 дня.

Эмоциональный биоритм характеризует внутренний настрой человека, его способность эмоционального восприятия окружающего. Продолжительность периода эмоционального цикла равна 28 дням.

Интеллектуальный биоритм характеризует мыслительные способности, интеллектуальное состояние человека. Цикличность его – 33 дня.

Требуется осуществить моделирование биоритмов для конкретного человека от указанной текущей даты (дня отсчета) на месяц вперед.

I этап. Цели моделирования.

1. На основе анализа индивидуальных биоритмов прогнозировать неблагоприятные дни, выбирать благоприятные дни для разного рода деятельности.

2. На основе анализа биоритмов двух человек проверить их физическую или эмоциональную или интеллектуальную совместимость.

II этап. Формализация задачи.

Объектом моделирования в этой задаче является любой человек или группа людей, для которых известна дата рождения.

Исходные данные: дата рождения, день отсчета, длительность прогноза.

Расчетные данные: количество прожитых дней.

Результаты: физический, эмоциональный, интеллектуальный биоритмы.

Задача: исследовать зависимость трех вышеуказанных характеристик от времени, принимая за минимум их значение, равное минус единице и за максимум – единице.

III этап. Построение математической модели.

Предположим, что состояния человека меняются по синусоидальному закону с периодом 23, 28 и 33 дня соответственно. Пусть x – количество прожитых человеком дней, тогда

физический цикл ФИЗ(x)=sin(2px/23); (1)

эмоциональный цикл ЭМО(x)=sin(2px/28); (2)

интеллектуальный цикл ИНТ(x)=sin(2px/33) (3)

V этап. Проверка модели на адекватность

Проверим модель на адекватность, введя свою дату рождения и сопоставляя результаты моделирования и собственные ощущения на основе уже прожитого периода.

VI этап. Использование модели.

1. Определим свои благоприятные и неблагоприятные дни для разного рода деятельности на ближайший месяц.

Задание к лабораторной работе

1. Осуществить моделирование собственных биоритмов

2. Построить модель своей совместимости с другим человеком в одном из аспектов (физическом, эмоциональном или интеллектуальном)

3. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

- постановку задачи и описание модели;

- результаты тестирования программы;

- результаты, полученные в ходе выполнения заданий (в различных формах);

- качественный анализ результатов.

Лабораторная работа №2

Моделирование физических процессов в среде табличного процессора.

Использование модели

Данная модель позволяет решать не только описательные, но и оптимизационные задачи, например:

- Найти оптимальную с точки зрения безопасности высоту раскрытия парашюта;

- Найти оптимальные размеры парашюта;

- Найти максимальную высоту, с которой можно спрыгнуть без парашюта и не пострадать и т.д.

Задание к лабораторной работе

1. Определить цель моделирования

2. Провести формализацию задачи: сделать предположения, определить состав параметров, характеризующих объект, сформулировать задачу математически.

3. Построить математическую модель (определить состав набора входных и выходных параметров, их конкретные числовые значения, записать уравнения).

4. Выбрать метод решения уравнений (в данном случае –один из численных методов). Записать решение уравнений в виде рекуррентных вычислительных схем.

5. Определить значения параметров модели, начальные значения меняющихся в ходе движения величин, условия окончания вычислительных циклов.

6. Построить компьютерную модель физического процесса в среде табличного процессора.

7. Произвести проверку модели на адекватность.

8. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

9. Качественно проанализировать результаты моделирования.

Варианты заданий

Вариант 1.

Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую 10 м/с)?

Вариант 2.

Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.

Вариант 3.

Промоделировать падения тела с заданными характеристиками (масса, форма) в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно велика, чтобы линейной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать (на большей части пути).

Вариант 4.

Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 5.

Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).

Вариант 6.

Промоделировать полет ракеты.

Провести исследование соотношения входных параметров m₀и F_тяги, при которых ракета достигнет первой космической скорости 7, 8 км/с? (и в соответствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фиксировать произвольно. Порядки входных параметров: m₀ ˜ 10⁷ кг, m_кон ˜ 10⁵кг, a ˜ 10⁵ кг/c, F_тяги˜ 10⁸ н.

Вариант 7.

Промоделировать полет тела, брошенного под углом к горизонту. Исследовать зависимость горизонтальной длины полета тела от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры.

Вариант 8.

Найти траекторию полета кометы, залетевшей в Солнечную систему, у которой на расстоянии от Солнца 100 астрономических единиц (1 а.е. = 1, 50 ^. 10¹¹м ¾ расстояние от Земли до Солнца) скорость v=10 км/с и направлена под углом a = 30^о к оси «комета-Солнце». Является ли эта траектория замкнутой? Если да, то сколько длится для нее период полета? Подобрать то значение угла a, при котором траектория из незамкнутой превращается в замкнутую (скорость v фиксирована).

Вариант 9 .

Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость второго закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.

Вариант 10.

Проверить в компьютерном эксперименте выполнимость третьего закона Кеплера, определяющего движение небесных тел по замкнутой траектории.

Вариант 11.

Найти траекторию движения тела массой 1 г., несущего заряд величиной q=1 ^. 10^-² к, в поле заряда величиной Q = 5 ^. 10^-² к. Начальное расстояние между зарядами 1 м, начальная скорость равна 1 ^. 10^-¹ м/с и направлена под углом 30^о к оси, соединяющей заряды. Провести моделирование для случая зарядов одного знака.

Вариант 12.

Имеется неподвижная заряженная частица с зарядом Q и экран (см. рис.7.2). В точке А экрана находится мишень. При каких соотношениях величины начальной скорости v₀движущейся частицы (заряд q) и угла прицеливания a она попадет в мишень? Расстояния обозначены на рисунке. Заряды частиц ¾ разных знаков.

Лабораторная работа №3

Задание к лабораторной работе

1. Построить графическую модель движения тела согласно варианту лабораторной работы №2.

2. Определить значения исследуемых параметров модели.

Варианты заданий

Варианты 1-6. Зависимость скорости движущегося тела от времени

Варианты 7-12. Траектория движения тела

Лабораторная работа №4

Задание к лабораторной работе

4. В среде Lazarus имитировать движение тела согласно варианту лабораторной работы №2.

5. Исследовать зависимость характера движения от параметров модели.

6. Создать текстовый отчет по лабораторным работам №2-4, включающий:

- постановку задачи и описание модели;

- результаты тестирования программы;

- результаты, полученные в ходе выполнения заданий (в различных формах);

- качественный анализ результатов.

Лабораторная работа №5

Задание к лабораторной работе

1. Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.

2. Спроектировать таблицу для представления результатов моделирования, предусмотрев в ней области ввода исходных данных, параметров модели и вывода результатов.

3. Выбрать метод интегрирования дифференциальных уравнений модели, разработать самостоятельно табличный алгоритм интегрирования с заданной точностью.

4. Произвести отладку и тестирование алгоритма в среде табличного процессора.

5. Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.

6. Качественно проанализировать результаты моделирования.

7. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

- постановку задачи и описание модели;

- результаты тестирования программы;

- результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

- качественный анализ результатов.

Варианты заданий.

Вариант 1.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при фиксированных значениях параметров b, R, N₀ в зависимости от значения параметра а. Подобрать значения а, дающие качественные различия в характере эволюции.

Вариант 2.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при фиксированных значениях параметров a, R, N₀в зависимости от значения параметра b в диапазоне. Подобрать значения b, дающие качественные различия в характере эволюции.

Вариант 3.

Изучить характер эволюции популяции, описываемый моделью (1), при фиксированных значениях параметров a, b, N₀в зависимости от значения параметра R . Подобрать значения R, дающие качественные различия в характере эволюции.

Вариант 4.

Для модели (1) найти сочетания значений параметров b и R, дающих режимы монотонного и колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы. Прочие параметры модели фиксированы.

Вариант 5.

Для модели (1) сочетания значений параметров b и R, дающих режим колебательного установления стационарной численности популяции изучаемой системы и режим устойчивых предельных циклов. Прочие параметры модели фиксированы.

Вариант 6.

Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (3) при фиксированных значениях параметров r₁, r₂, β ₁, β ₂, α ₁, α ₂. Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений их начальной численности

Вариант 7.

Реализовать моделирование межвидовой конкуренции по формулам (3) при значениях параметров r₁, r₂, β ₁, β ₂, . Проанализировать зависимость судьбы популяций от соотношения значений коэффициентов конкуренции a₁ и a ₂.

Вариант 8.

Подобрать значения обеспечивающие какие-либо два режима эволюции конкурирующих популяций (в соответствии с моделью (3)). Остальные параметры модели выбрать произвольно.

Вариант 9.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при фиксированных значенияхпараметров α , β, γ, δ. Проанализировать зависимость исхода эволюции от соотношения значений параметров N₀и C₀.

Вариант 10.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при фиксированных значенияхпараметров α , β, γ, N₀, C₀. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра δ.

Вариант 11.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при фиксированных значенияхпараметров α , β, δ, N₀, C₀. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра γ .

Вариант 12.

Провести моделирование динамики численности популяций в системе «хищник-жертва» (модель (4)) при фиксированных значенияхпараметров β, γ, δ, N₀, C₀. Проанализировать зависимость результатов моделирования от значения параметра α .

Лабораторная работа №6

Задание к лабораторной работе

1. Произвести моделирование указанного случайного процесса в среде Excel

2. Оценить значения указанных в варианте выходных параметров модели

3. Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:

- постановку задачи и описание модели;

- результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах);

- качественный анализ результатов.

Вариант 1.

Провести моделирование очереди в магазине с одним продавцом при равновероятных законах распределения описанных выше случайных величин: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров). Получить устойчивые характеристики: средние значения ожидания в очереди покупателем и простой продавца в ожидании прихода покупателей, оценить их достоверность. Оценить характер функции распределения величин g и h.

Вариант 2.

Провести то же моделирование при пуассоновских законах распределения вероятностей входных событий: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).

Вариант 3.

Провести то же моделирование при нормальном законе распределении вероятностей входных событий: приход покупателей и длительность обслуживания (при некотором фиксированном наборе параметров).

Вариант 4.

В рассмотренной выше системе может возникнуть критическая ситуация, когда очередь неограниченно растет со временем. В самом деле, если покупатели заходят в магазин очень часто (или продавец работает слишком медленно), то очередь начинает нарастать, и в рассматриваемой системе с конечным временем обслуживания наступит кризис.

Найти величины a_max и b_vax), отражающие указанную критическую ситуацию, при равновероятном распределении входных событий.

Вариант 5.

На травмопункте работает один врач. Длительность лечения больного и промежутки времени между поступлениями больных — случайные величины, распределенные по пуассоновскому закону. По тяжести травм больные делятся на три категории, поступление больного любой категории — случайное событие с равновероятным распределением. Врач вначале занимается больными с максимально тяжелыми травмами, затем, если таковых нет, — больными с травмами средней тяжести и лишь затем — больными с легкими травмами. Смоделировать процесс и оценить средние времена ожидания в очереди больных каждой из категорий.

Вариант 6.

Реализовать имитационную модель статистического моделирования для решения задачи Бюффона. В ходе моделирования выполнить расчет приближенного значения числа π.

Вариант 7.

Разработать модель случайного одномерного блуждания (модель «пьяницы»). Ответить на вопрос: какова вероятность при таком блуждании удалиться от начальной точки на n шагов?

Вариант 8.

В условиях задачи из предыдущего варианта получить ответ на вопрос: какова вероятность «пьянице» вернуться через n шагов в начальную точку?

Вариант 9.

В игре участвуют игрок и маклер. У игрока имеется начальный капитал K монет. Он желает в ходе игры удвоить свой капитал. Маклер бросает монету. Если выпал герб, то маклер выплачивает игроку сумму, равную ставке, назначаемой игроком. При выпадении цифры та же сумма выплачивается маклеру игроком. Игра прекращается, если у игрока не осталось монет или он смог удвоить свой капитал. Смоделировать описанную игру. Ответить на вопрос: какова оптимальная ставка при фиксированном значении K?

Вариант 10.

Смоделировать игру, описанную в варианте 9. Ответить на вопрос: Вероятность какого события больше: разорения игрока или его выигрыша?

Вариант 11.

Двое играют в следующую игру: каждый игрок по очереди бросает 2 игральные кости, суммируя выпавшие очки. Выигрывает тот, кто первым наберет более 100 очков. Смоделировать описанную игру, ответить на вопрос: есть ли преимущество у того, кто ходит первым?

Вариант 12.

Смоделируйте известную игру «Спортлото» 6 из 49. В качестве исходных данных введите сведения о 100 заполненных билетах. Проведите розыгрыш одного тиража. Подсчитайте количество билетов, в которых угадано 3, 4, 5, 6 номеров и соответствующие вероятности.

Литература

1. Введение в математическое моделирование: учебное пособие/ Под ред. П.В.Трусова. –М.: Логос, 2004.- 440 с. (Электронный ресурс. - Режим доступа: http: //www.knigafund.ru/books/42503).

2. Горстко А.Б. Познакомьтесь с математическим моделированием. - М.: Знание, 1991.

3. ГулдХ., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: Пер. с англ. Т. 1, 2. - М.: Мир, 1990.

4. Гусева Е.Н и др. Информатика: учебное пособие.-М.: Флинта, 2011. - 260 с. (Электронный ресурс. - Режим доступа: http: //www.knigafund.ru/books/116085).

5. Дьяконов В.П и др. Новые информационные технологии: учебное пособие. – М.: СОЛОН-ПРЕСС, 2008. - 640 с. (Электронный ресурс. - Режим доступа: http: //www.knigafund.ru/books/55343).

6. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент: Введение в информатику с позиций математического моделирования. — М.: Наука, 1988

7. Могилев А.В. Информатика: учеб. пособ. для вузов. - М.: Академия, 2008. – 325 с. (Библиотека УлГПУ).

8. Могилев А.В. Практикум по информатике: учеб. пособие для вузов. - М.: Академия, 2001. – 606 с. (Библиотека УлГПУ).

Лабораторная работа №1

Построение компьютерной модели

Краткие теоретические сведения

Моделирование – это изучение объектов путем построения и исследования моделей.

Абстрактная модель- представление, словесное или формализованное описание объекта.

Информационная модель описывает объект в виде информационных процессов, происходящих в нем.

I. Определение цели моделирования

III. Построение математической модели (исходные данные, результаты, связь между ними).

IV. Выбор метода исследования. Построение компьютерной модели (написание программы или табличного алгоритма)

VI. Использование модели для достижения поставленной цели, а возможно, и для других целей.

Пример компьютерной модели «Биоритмы»

I этап. Цели моделирования.

12 3 4 Следующая ⇒