Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел

В аксиоматической теории деление определяется как операция, обратная

а-Ь = с

умножению, поэтому между делением

а- с: г)

и умножением устанавливается тесная взаимосвязь. Если а× b = с, то, знаяпроизведение с и один из множителей, можно при помощи деления найти другой множитель.

Выясним теоретико-множественный смысл полученных частных с: b и с: а.

Произведение а × b = с с теоретико-множественной точки зрения представляет собой число элементов в объединении b попарно непересекающихся множеств, в каждом из которых содержится а элементов, т.е.

а× b = n(А₁ È А₂ È ... È Аb), где n(А₁ ) = n(А₂ )=…= n(Аb). Так как множества попарно не пересекаются, а при их объединении получается множество - назовем его А, - в котором с элементов, то можно говорить о разбиении множества А на равночисленные подмножества А₁, А₂, ..., Аb. Тогда частное с: а - это число подмножеств в разбиении множества А, а частное с : b - число элементов в каждом подмножестве этого разбиения.

Мы установили, что с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением конечного множества на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества и с его помощью решаются две задачи: отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения (деление на равные части) и отыскание числа таких подмножеств (деление по содержанию).

Таким образом, если а = п(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества и если:

b - число элементов в каждом подмножестве, то частное а: b - это число таких подмножеств;

b - число подмножеств, то частное а: b- это число элементов в каждом подмножестве.

Взаимосвязь деления натуральных чисел с разбиением конечных множеств на классы позволяет обосновывать выбор действия деления при решении задач, например, такого вида: «12 карандашей разложили в 3 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке? »

В задаче рассматривается множество, в котором 12 элементов. Это множество разбивается на 3 равночисленных подмножества. Требуется узнать число элементов в каждом таком подмножестве. Это число, как установлено выше, можно найти при помощи деления – 12: 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи -в каждой коробке по 4 карандаша.

Если дана задача: «В коробке 12 карандашей, их надо разложить в коробки, по 3 карандаша в каждую. Сколько коробок понадобится'? », - то для решения выбор действия деления можно обосновать следующим образом. Множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Его можно найти при помощи деления - 12: 3. Вычислив значение этого выражения, получаем ответ на вопрос задачи - понадобится 4 коробки.

Используя теоретико-множественный подход к действиям над целыми неотрицательными числами, можно дать теоретико-множественное истолкование правила деления суммы на число: если частные а: с и b: с существуют, то (а + b): с = а: с + b: с. Пусть а = п{А) и b = п(В), причем А Ç В = Æ. Если множества А и В можно разбить на равночисленные подмножества, состоящие из с элементов каждое, то и объединение этих множеств допускает такое же разбиение. Если при этом множество А состоит из а: с подмножеств, а множество В - из b: с подмножеств, то А È В состоит из а: с + b: с подмножеств. Это и значит, что (а + b ): с =а: с + b: с.

Аналогично проводятся рассуждения и в случае, когда с рассматривается как число равночисленных подмножеств в разбиении множеств А и В.

С теоретико-множественной точки зрения можно рассмотреть и смысл отношений «больше в» и «меньше в», с которыми младшие школьники встречаются при решении текстовых задач.

В аксиоматической теории определение этих отношений вытекает из определения деления натуральных чисел: если а: b = с, то можно говорить, что «а больше b в с раз» или что «b меньше а в с раз». И чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого, надо большее число разделить на меньшее.

Если же а = п(А), b = п(В) и известно, что «а меньше b в с раз», то поскольку а < b, то в множестве В можно выделить собственное подмножество, равномощное множеству А, но так как а меньше b в с раз, то множество В можно разбить на с подмножеств, равномощных множеству А.

Так как с - это число подмножеств в разбиении множества В, содержащего b элементов, а в каждом подмножестве - а элементов, то с = b: а.

Теоретико-множественным смыслом отношения «а больше (меньше) b в с раз» можно воспользоваться при обосновании выбора действий при решении задач. Рассмотрим, например, такую задачу: «На участке растут 3 ели, а берез в 2 раза больше. Сколько берез растут на участке? »

В задаче речь идет о двух множествах: множестве елей (А) и множестве берез (В). Известно, что п(А) = 3 и что в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А. Требуется найти число элементов в множестве В, т.е. п(В).

Рис. 116

Так как в множестве В элементов в 2 раза больше, чем в множестве А, то множество В можно разбить на 2 подмножества, равномощных множеству А (рис. 116). Поскольку в каждом из подмножеств содержится по 3 элемента, то всего в множестве В будет 3 + 3 или 3× 2 элементов. Выполнив вычисления, получаем ответ на вопрос задачи: на участке растет 6 берез.

Теоретико-множественное истолкование можно дать и делению с остатком. Напомним, что разделить натуральное число а на натуральное число b с остатком - ото значит найти такие натуральные целые неотрицательные числа q и r, что а = b q + r, где 0 £ r < b.

Пусть а = n(А) и множество А разбито на множества А₁, А₂, ..., Аq, R, так, что множества А₁, А₂, ..., Аq равночисленны, а множество R содержит меньше элементов, чем каждое из множеств А₁, А₂, ..., Аq. Тогда, если n(А₁ )= n(А₂ )=…= n(Аq) = b, а n(R) = r, где 0 £ r < b, причем число q равночисленных множеств является неполным частным при делении а на b, а число элементов в R - остатком при этом делении.

Упражнения

1. Используя теоретико-множественный смысл частного, объясните смысл выражений:

а) 10: 2; 6)5: 1; в) 5: 5.

2. Объясните, почему нижеприведенные задачи решаются при помощи деления.

а) 15 редисок связали в пучки по 5 редисок в каждом. Сколько получилось пучков?

б) 15 тетрадей раздали поровну 5 ученикам. Сколько тетрадей получил каждый?

3. Назовите отношения, которые рассматриваются в задачах, решите задачи арифметическим методом, выбор действий обоснуйте.

а) Для украшения елки девочка вырезала 4 звездочки, а флажков в 3 раза больше. Сколько флажков вырезала девочка?

б) У Коли в 4 раза больше открыток, чем у Вовы. А у Лены их на 20 меньше, чем у Коли. Сколько открыток у Лены, если у Вовы их 7?

в) Миша поймал 48 окуней. Саша - на 6 меньше, чем Миша, а Коля - в 7 раз меньше, чем Саша. Сколько окуней поймали все мальчики?

4. Какое правило является обобщением различных арифметических способов решения задачи.

а) В коробке лежало 12 зеленых и 20 красных хлопушек. Все хлопушки раздали детям, по 4 каждому. Сколько ребят получили хлопушки?

б) В лапту играли 8 девочек и 6 мальчиков. Они разделились на 2 команды. Сколько человек было в каждой команде?

5. Обоснуйте с теоретико-множественной позиции выбор действия при решении задачи.

В мастерской было 7 колес для велосипедов. При ремонте поставили на каждый велосипед по 2 колеса. На сколько велосипедов поставили колеса и сколько колес осталось в мастерской?

75. Основные выводы § 15

Изучая материал данного параграфа, установили, что натуральное число как характеристику количества можно рассматривать и как результат счета элементов конечного множества, и как общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Число «нуль» с теоретико-множественных позиций - это число элементов пустого множества: n(Æ ) = 0.

Если отношение «меньше» рассматривать с теоретико-множественной точки зрения, то:

1) а < b < => Nа Ì Nb, где N а ={1, 2,..., а}, Nb = {1, 2,..., b};

2) а < b < => А - В₁, где В₁ Ì В и В₁ ¹ В, В₁ ¹ Æ , а = п(В), b = п(В).

Так как количественные натуральные числа связаны с конечными тожествами, то действия над числами оказались связанными с действиями над множествами:

сложение чисел - с объединением конечных непересекающихся множеств;

вычитание чисел - с дополнением подмножества;

умножение чисел - с объединением равночисленных попарно непересекающихся множеств;

деление чисел - с разбиением множества на попарно непересекающиеся подмножества.

Так как действия над числами получили теоретико-множественную трактовку, то такую же трактовку оказалось возможным дать и их свойствам.

⇐ Предыдущая 23 24 25 26 272829 30 31 32 Следующая ⇒