Равносильные уравнения. Теоремы о равносильности уравнений

Определение. Два уравнения f₁(х) = g₁(х) и f₂(х) = g₂(х) называют­ся равносильными, если множества их корней совпадают.

Например, уравнения х² - 9 = 0 и (2 х + 6)( х - 3) = 0 равносильны, так как оба имеют своими корнями числа 3 и -3. Равносильны и урав­нения (3х + 1)-2 = х²- + 1 и х² + 1 = 0, так как оба не имеют корней, т.е. множества их корней совпадают.

Определение. Замена уравнения равносильным ему уравнением на­зывается равносильным преобразованием.

Выясним теперь, какие преобразования позволяют получать рав­носильные уравнения.

Теорема 1. Пусть уравнение f(х) и g(х)задано на множестве и h(x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда уравнения f(х) = g(х) (1)и f(х) + h(x) = g(х) + h(x) (2) равносильны.

Доказательство. Обозначим через Т₁ - множество решений уравнения (1), а через Т₂ - множество решений уравнения (2). Тогда уравнения (1) и (2) будут равносильны, если Т₁ = Т₂. Чтобы убедиться в этом, необходимо показать, что любой корень из Т₁ является корнем уравнения (2) и, наоборот, любой корень из Т₂ является корнем урав­нения (1).

Пусть число а - корень уравнения (1). Тогда a ? Т₁, и при подста­новке в уравнение (1) обращает его в истинное числовое равенство f(a) = g(a), а выражение h(х) обращает в числовое выражение h(a), имеющее смысл на множестве X. Прибавим к обеим частям истинно­го равенства f(a) = g(a) числовое выражение h(a). Получим, согласно свойствам истинных числовых равенств, истинное числовое равенст­во f(a) + h(a) = g(a) + h(a), которое свидетельствует о том, что число а является корнем уравнения (2).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (1) является корнем и уравнения (2), т.е. Т₁ с T₂.

Пусть теперь а - корень уравнения (2). Тогда а ? T₂ и при подста­новке в уравнение (2) обращает его в истинное числовое равенство f(a) + h(a) = g(a) + h(a). Прибавим к обеим частям этого равенства чис­ловое выражение -h(a), Получим истинное числовое равенство f(х) = g(х), которое свидетельствует о том, что число а - корень уравнения (1).

Итак, доказано, что каждый корень уравнения (2) является и кор­нем уравнения (1), т.е. T₂ с Т₁.

Так как Т₁ с Т₂ и Т₂ с Т₁, то по определению равных множеств Т₁ = Т₂, а значит, уравнения (1) и (2) равносильны.

Данную теорему можно сформулировать иначе: если к обеим частям уравнения с областью определения X прибавить одно и то же выраже­ние с переменной, определенное на том же множестве, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые используются при решении уравнений:

1. Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то лее число, то получим уравнение, равносильное данному.

2. Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Теорема 2. Пусть уравнение f(х) = g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, которое определено на том же множестве и не об­ращается в нуль ни при каких значениях х из множества X. Тогда уравнения f(х) = g(х) и f(х) · h(x) = g(х) · h(x) равносильны.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.

Теорему 2 можно сформулировать иначе: если обе части уравнения с областью определения X умножить на одно и то же выражение, кото­рое определено на том же множестве и не обращается на нем в нуль, то получим новое уравнение, равносильное данному.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части уравнения ум­ножить (или разделить) на одно и то же число, отличное от нуля, то получим уравнение, равносильное данному.

 

Решение уравнений с одной переменной

Решим уравнение 1- x/3 = x/6, x? R и обоснуем все преобразования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования	Обоснование преобразования
1. Приведем выражения, стоящие в левой и правой частях уравнения, к общему знаменателю: (6-2х)/ 6 = х/6	Выполнили тождественное преобразование выражения в левой части уравнения.
2. Отбросим общий знаменатель: 6-2х = х	Умножили на 6 обе части уравнения (теорема 2), получили уравнение, равносильное данному.
3. Выражение -2х переносим в правую часть уравнения с проти­воположным знаком: 6 = х+2х.	Воспользовались следствием из теоремы 1, получили уравнение, равносильное предыдущему и, значит, данному.
4. Приводим подобные члены в правой части уравнения: 6 = 3х.	Выполнили тождественное пре­образование выражения.
5. Разделим обе части уравнения на 3: х = 2.	Воспользовались следствием из теоремы 2, получили уравнение, равносильное предыдущему, а значит, и данному

 

Так как все преобразования, которые мы выполняли, решая данное уравнение, были равносильными, то можно утверждать, что 2 - ко­рень этого уравнения.

Если же в процессе решения уравнения не выполняются условия теорем 1 и 2, то может произойти потеря корней или могут появиться посторонние корни. Поэтому важно, осуществляя преобразования уравнения с целью получения более простого, следить за тем, чтобы они приводили к уравнению, равносильному данному.

Рассмотрим, например, уравнение х(х - 1) = 2х, х ? R. Разделим обе части на х, получим уравнение х - 1 = 2, откуда х = 3, т. е. данное уравнение имеет единственный корень - число 3. Но верно ли это? Не­трудно видеть, что если в данное уравнение вместо переменной х подставить 0, оно обратится в истинное числовое равенство 0· (0 - 1) = 2· 0. А это означает, что 0 - корень данного уравнения, который мы поте­ряли, выполняя преобразования. Проанализируем их. Первое, что мы сделали, - это разделили обе части уравнения на х, т.е. умножили на выражение1/x , но при х = О оно не имеет смысла. Следовательно, мы не выполнили условие теоремы 2, что и привело к потере корня.

Чтобы убедиться в том, что множество корней данного уравне­ния состоит из двух чисел 0 и 3, приведем другое его решение. Пере­несем выражение 2х из правой части в левую: х(х - 1) - 2х = 0. Выне­сем в левой части уравнения за скобки х и приведем подобные члены: х(х - 3) = 0. Произведение двух множителей равно нулю в том и толь­ко в том случае, когда хотя бы один из них равен нулю, поэтому x= 0 или х - 3 = 0. Отсюда получаем, что корни данного уравнения - 0 и 3.

В начальном курсе математики теоретической основой решения уравнений является взаимосвязь между компонентами и результатами действий. Например, решение уравнения (х· 9): 24 = 3 обосновывается следующим образом. Так как неизвестное находится в делимом, то, чтобы найти делимое, надо делитель умножить на частное: х · 9 = 24· 3, или х· 9 = 72.

Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель: х = 72: 9, или х = 8, следовательно, корнем данного уравнения является число 8.

Упражнения

1. Установите, какие из следующих записей являются уравнениями с одной переменной:

а) (х -3)· 5 = 12х; г) 3 + (12-7)· 5 = 16;

б) ( х -3)· 5 = 12; д) (х-3)· y =12х;

в) (х-3)· 17 + 12; е) х²- 2х + 5 = 0.

2. Уравнение 2 х ⁴ + 4 х ² -6 = 0 задано на множестве натуральных чисел. Объясните, почему число 1 является корнем этого уравнения, а 2 и -1 не являются его корнями.

3. В уравнении (х +...)(2 х + 5) - (х - 3)(2 х + 1) = 20 одно число стерто и заменено точками. Найдите стертое число, если известно, что корнем этого уравнения является число 2.

4. Сформулируйте условия, при которых:

а) число 5 является корнем уравнения f(х) = g(х);

б) число 7 не является корнем уравнения f(х) = g(х).

5. Установите, какие из следующих пар уравнений равносильны на множестве действительных чисел:

а) 3 + 7 х = -4 и 2(3 + 7л х) = -8;

6)3 + 7 х = -4 и 6 + 7 х = -1;

в)3 + 7 х = -4 и л х + 2 = 0.

6. Сформулируйте свойства отношения равносильности уравнений. Какие из них используются в процессе решения уравнения?

7. Решите уравнения (все они заданы на множестве действительных чисел) и обоснуйте все преобразования, выполняемые в процессе их упрощения:

a)(7x+4)/2 – x = (3x-5)/2;

б) x –(3x-2)/5 = 3 – (2x-5)/3;

в)(2- х)2- х (х + 1, 5) = 4.

8. Учащийся решил уравнение 5 х + 15 = 3 х + 9 следующим образом: вынес за скобки в левой части число 5, а в правой число 3, полу­чил уравнение 5(х + 3) = 3(х + 3), а затем разделил обе части на вы­ражение х + 3. Получил равенство 5 = 3 и сделал вывод – данное уравнение корней не имеет. Прав ли учащийся?

9. Решите уравнение 2/(2-x) – ½ = 4/((2-x)x); х ? R. Является ли число 2 корнем этого уравнения?

10. Решите уравнения, используя взаимосвязь между компонентами и результатами действий:

а) (х + 70)· 4 = 328; в) (85 х + 765): 170 = 98;

б) 560: (х + 9) - 56; г) (х - 13581): 709 = 306.

11. Решите задачи арифметическим и алгебраическим способами:

а) На первой полке на 16 книг больше, чем на второй. Если с каж­дой полки снять по 3 книги, то на первой полке книг будет в полтора раза больше, чем на второй. Сколько книг на каждой полке?

б) Весь путь от турбазы до станции, равный 26 км, велосипедист проехал за 1 ч 10 мин. Первые 40 мин этого времени он ехал с одной скоростью, а остальное время - со скоростью на 3 км/ч меньше. Най­дите скорость велосипедиста на первом участке пути.

⇐ Предыдущая18192021222324252627Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Вопрос 2 Численные методы решения линейных и нелинейных уравнений
2. Геометрический смысл теоремы Лагранжа
3. Для решения этих уравнений необходимо установить условия однозначности, которые включают начальные и граничные условия.
4. Закон больших чисел. Предельные теоремы. Неравенство Чебышева. Теоремы Чебышева. Теорема Бернулли.
5. Запишите определение узла и ветви разветвленной электрической схемы. Как выражается число уравнений,составляемых МКТ через узлы и ветви эл.схемы
6. Запишите определение узла и ветви разветвленной электрической схемы. Как выражается число уравнений,составляемых МУН через узлы и ветви эл.схемы
7. Исследование системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
8. Метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.
9. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
10. Методы решения систем эконометрических уравнений
11. Предельные теоремы теории вероятностей
12. Приведение системы дифференцированных уравнений для заданной вероятностной модели предприятия.