Лекция 27. Неравенства с одной переменной

План:

1. Понятие неравенства с одной переменной

2. Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

3. Решение неравенств с одной переменной

4. Графическое решение неравенств с одной переменной

5. Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

6. Основные выводы

Неравенства с одной переменной

Предложения 2х + 7 > 10-х, х²+7х < 2, (х + 2)(2х-3)> 0 называют неравенствами с одной переменной.

В общем виде это понятие определяют так:

Определение. Пусть f(х) и g(х) - два выражения с переменной х и областью определения X. Тогда неравенство вида f(х) > g(х) или f(х) < g(х) называется неравенством с одной переменной. Мно­жество X называется областью его определения.

Значение переменной x из множества X, при котором неравенство обращается в истинное числовое неравенство, называется его решени­ем. Решить неравенство - это значит найти множество его решений.

Так, решением неравенства 2 x + 7 > 10 -х, х ? R является число x = 5, так как 2· 5 + 7 > 10 - 5 - истинное числовое неравенство. А множест­во его решений - это промежуток (1, ∞ ), который находят, выполняя преобразование неравенства: 2 x + 7 > 10- x => 3 x > 3 => x > 1.

 

Равносильные неравенства. Теоремы о равносильности неравенств

В основе решения неравенств с одной переменной лежит понятие равносильности.

Определение. Два неравенства называются равносильными, если их множества решений равны.

Например, неравенства 2 x + 7 > 10 и 2 x > 3 равносильны, так как их множества решений равны и представляют собой промежуток (2/3, ∞ ).

Теоремы о равносильности неравенств и следствия из них аналогич­ны соответствующим теоремам о равносильности уравнений. При их доказательстве используются свойства истинных числовых неравенств.

Теорема 3. Пусть неравенство f(х) > g(х)задано на множестве X и h(x) - выражение, определенное на том же множестве. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)+ h(x) > g(х) + h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекают следствия, которые часто используются при решении неравенств:

1) Если к обеим частям неравенства f(х) > g(х)прибавить одно и то же число d, то получим неравенство f(х) + d > g(х)+ d, равно­сильное исходному.

2) Если какое-либо слагаемое (числовое выражение или выражение с переменной) перенести из одной части неравенства в другую, поме­няв знак слагаемого на противоположный, то получим неравенство, равносильное данному.

Теорема 4. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х из множества X выражение h(х) принимает положительные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х) · h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же положительное число d, то по­лучим неравенство f(х)· d > g(х) · d, равносильное данному.

Теорема 5. Пусть неравенство f(х) > g(х) задано на множестве X и h(х) - выражение, определенное на том же множестве, и для всех х их множества X выражение h(х) принимает отрицательные значения. Тогда неравенства f(х) > g(х) и f(х)· h(x) > g(х)· h(x)равносильны на множестве X.

Из этой теоремы вытекает следствие: если обе части неравенства f(х) > g(х) умножить на одно и то же отрицательное число d и знак неравенства поменять на противоположный, то получим неравенство f(х)· d > g(х) · d, равносильное данному.

 

Решение неравенств с одной переменной

Решим неравенство 5х - 5 < 2х - 16, х ? R, и обоснуем все преоб­разования, которые мы будем выполнять в процессе решения.

Преобразования	Обоснование преобразования
1. Приведем выражении 2x в левую часть, а число -5 в правую, поменяв их знаки на противоположные: 5x-2x < 16+5	Воспользовались следствием 2 из теоремы 3, получили неравенство, равносильное данному
2. Приведем подобные члены в левой и правой частях неравенства: 3х< 21	Выполнили тождественные преобразования выражений в левой и правой частях неравенства - они не нарушили равносильности неравенств: данного и исходного.
3. Разделим обе части неравенст­ва на 3: х< 7.	Воспользовались следствием из теоремы 4, получили неравенство, равносильное исходному

 

Решением неравенства х < 7 является промежуток (-∞, 7) и, сле­довательно, множеством решений неравенства 5х - 5 < 2х + 16 яв­ляется промежуток (-∞, 7).

Упражнения

1. Установите, какие из следующих записей являются неравенства­ми с одной переменной:

а) -12 - 7х < 3x + 8; г) 12х + 3(х- 2);

б) 15(x + 2)> 4; д) 17-12· 8;

в) 17-(13 + 8) < 14-9; е) 2х² + 3x-4> 0.

2. Является ли число 3 решением неравенства 6(2х + 7) < 15(х + 2), х ? R? А число 4, 25?

3. Равносильны ли на множестве действительных чисел следующие пары неравенств:

а) -17х< -51 и х > 3;

б) (3x-1)/4 > 0 и 3х-1> 0;

в) 6-5x > -4 и х< 2?

4. Какие из следующих высказываний истинны:

а) -7 х < -28 => x> 4;

б) x < 6 => x < 5;

в) х < 6 => х < 20?

5. Решите неравенство 3(x - 2) - 4(х + 1) < 2(х - 3) - 2 и обоснуйте все преобразования, которые будете при этом выполнять.

6. Докажите, что решением неравенства 2(х + 1) + 5 > 3 - (1 - 2х) является любое действительное число.

7. Докажите, что не существует действительного числа, которое являлось бы решением неравенства 3(2 - х) - 2 > 5 - 3х.

8. Одна сторона треугольника равна 5 см, а другая 8 см. Какой может быть длина третьей стороны, если периметр треугольника:

а) меньше 22 см;

б) больше 17 см?

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕН­НОЙ. Для графического решения неравенства f (х) > g (х) нужно построить гра­фики функций

у = f (х) = g (х) и выбрать те проме­жутки оси абсцисс, на которых график функции у = f (х) расположен выше графика функции у = g (х).

Пример 17.8. Решите графически неравенство х² - 4 > 3х.

У - х* - 4

Решение. Построим в одной системе координат графи­ки функций

у = х²- 4 и у = Зх (рис. 17.5). Из рисунка видно, что графики функций у = х² - 4 расположен выше графика функции у = 3х при х < -1 и х > 4, т.е. множество решений исходного неравенства есть множество

(- ¥; -1) È (4; + оо).

Ответ: х Î (- оо; -1) и ( 4; + оо ).

Графиком квадратичной функции у = ах² + bх + с является парабола с ветвя­ми, направленными вверх, если а > 0, и вниз, если а < 0. При этом возможны три случая: парабола пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня); парабола касается оси х (т.е. уравнение ах² + bх + с = 0 имеет один корень); парабола не пересекает ось Ох (т.е. уравнение ах² + bх + с = 0 не имеет корней). Таким образом, возможны шесть положений параболы, служа­щей графиком функции у = ах² + bх + с (рис. 17.6). Используя эти иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

 

Пример 17.9. Решите неравенство: а) 2х^г + 5х - 3 > 0; б) -Зх² - 2х - 6 < 0.

Решение, а) Уравнение 2х² + 5х -3 = 0 имеет два корня: х, = -3, х₂ = 0, 5. Парабола, служащая графиком функции у = 2х² + 5х -3, показана на рис. а. Неравенство 2х² + 5х -3 > 0 выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси Ох: это будет при х < х_х или при х > х_г> т.е. при х < -3 или при х > 0, 5. Значит, множество решений исходного неравенства есть множество (- ¥; -3) и (0, 5; + ¥ ).

б) Уравнение -Зх² + 2х- 6 = 0 не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = - 3х² - 2х - 6, показана на рис. 17.6 Неравенство -3х² - 2х - 6 < О выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси Ох. По­скольку вся парабола лежит ниже оси Ох, то множество решений исходного неравенства есть множество R.

НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ. При решении данных неравенств следует иметь в виду, что:

| f(х) | =

f(х), если f(х) ³ 0,

- f(х), если f(х) < 0,

При этом область допустимых значений неравенства следует разбить на ин­тервалы, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохра­няют знак. Затем, раскрывая модули (с учетом знаков выражений), нужно решать неравенство на каждом интервале и полученные решения объединять в множество решений исходного неравенства.

Пример 17.10. Решите неравенство:

|х -1| + |2- х| > 3+х.

Решение. Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства (17.9) на три интервала: х < 1, 1 £ х £.2, х > 2. Решим данное неравенство на каждом из них. Если х < 1, то х - 1 < 0 и 2 – х > 0; поэтому |х -1| = - (х - I), |2 - х | = 2 - х. Значит, неравенство (17.9) принимает вид: 1- х + 2 - х > 3 + х, т.е. х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.

Если 1 £ х £.2, то х - 1 ³ 0 и 2 – х ³ 0; поэтому | х- 1| = х - 1, |2 - х| = 2 – х..Значит, имеет место система:

1 £ х £.2

х – 1 + 2 – х > 3 + х,

или

1 £ х £.2

х < - 2

 

Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на интервале [ 1; 2] множество решений неравенства (17.9) пусто.

Если х > 2, то х - 1 > 0 и 2 – х < 0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:

х > 2,

х -1 + х – 2 > 3+х,

или

х > 2,

х > 6 или

х > 6

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ неравенства (17.9), получаем его решение - множество (-¥; 0) È (6; +оо).

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой | а | означает расстояние точки а коор­динатной прямой от начала отсчета О, а | а - b | означает расстояние между точка­ми а и b на координатной прямой. Кроме того, можно использовать метод возве­дения в квадрат обеих частей неравенства.

Теорема 17.5. Если выражения f (х) и g (х) при любых х принимают толь­ко неотрицательные значения, то неравенства f (х) > g (х) и f (х) ² > g (х) ² равносильны.

 

 

58. Основные выводы § 12

В данном параграфе мы определили следующие понятия:

- числовое выражение;

- значение числового выражения;

- выражение, не имеющее смысла;

- выражение с переменной (переменными);

- область определения выражения;

- тождественно равные выражения;

- тождество;

- тождественное преобразование выражения;

- числовое равенство;

- числовое неравенство;

- уравнение с одной переменной;

- корень уравнения;

- что значит решить уравнение;

- равносильные уравнения;

- неравенство с одной переменной;

- решение неравенства;

- что значит решить неравенство;

- равносильные неравенства.

Кроме того, мы рассмотрели теоремы о равносильности уравнений и неравенств, являющиеся основой их решения.

Знание определений всех названных выше понятий и теорем о рав­носильности уравнений и неравенств - необходимое условие методи­чески грамотного изучения с младшими школьниками алгебраическо­го материала.

⇐ Предыдущая19202122232425262728Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритм нахождения производной сложной функции
2. Анализ исходной информации и ее представление
3. Анализ одной из новелл Боккаччо. Мастерство Боккаччо – новеллиста
4. В создании водной среды, необходимой для развития зародыша человека,
5. Влекут наложение административного штрафа в размере от одной тысячи пятисот до двух тысяч рублей.
6. Влияние жидких грузов со свободной поверхностью на остойчивость судна. Способы уменьшения их воздействия на остойчивость судна.
7. Влияние международной миграции на рынки труда отправляющей и принимающей стран
8. Внешняя среда международной компании.
9. Во Франции в 1594 г. Барл-ле-Дюк издал книгу «Изложение искусства фортификации». Фортификация становилась одной из отраслей военного искусства.
10. Все заводы CHOFU сертифицированы в соответствии с ISO9001 Международной организации по стандартизации.
11. Выездной туризм – путешествия резидентов одной страны в какую-либо иную страну.
12. Геометрический смысл производной