Это неоклассическая функция.

Количество кружек пива

Общая полезность

Количество бананов

Общая полезность

Пример: , где a > 0, b < 1

Общее положение: для описания поведения потребителя можно использовать особую функцию с перечисленными свойствами (неоклассическая функция потребления).

Экономический смысл: мы рассматриваем пространство товаров, в котором мы можем рассмотреть различные уровни полезности (C – значение полезности). q_i > 0 означает, что все товары необходимы. Свойство 2a показывает, как изменится полезность набора, если увеличить на единицу количество одного из благ – предельная полезность (U_j). В свойство 2b показывает: если в одном наборе мы последовательно наращиваем количество одного из благ, то предельная полезность уменьшается – закон Госсена.

Отныне мы можем считать, что каждый потребитель имеет собственную функцию полезности. С помощью этой функции он может определить полезность любого уровня благ. Если C – число, то возвращаемся к количественному подходу. Если C нельзя определить до числа, то остаемся в рамках порядкового подхода. Количественный и порядковый подход не противоречивы.

Глава 2: Формирование индивидуального рыночного спроса.

№1. АНАЛИЗ КРИВЫХ БЕЗРАЗЛИЧИЯ.

Требуется определить, как происходит эквивалентное замещение одного блага другим?

Условие задачи:

Пусть изменяется количество блага q₁. Необходимо определить, насколько должно измениться количество q₂, чтобы общая полезность набора не уменьшилась (q₂ –? ).

Решение задачи:

Мерой эквивалентной замены 2-х благ в потреблении является специальный показатель: – интервальная норма взаимной замены. Интервальная норма взаимной замены показывает, на сколько единиц нужно уменьшить потребление второго товара при увеличении первого товара на единицу при условии, что общая полезность неизменна. При последовательном увеличении количества одного и того же товара в наборе нам будет требоваться все меньшее количество второго товара для поддержания уровня полезности. Из этого следует два вывода:

· Ценность каждой единицы блага зависит от количества данного блага и от количества других благ, причем, чем больше данного блага в наборе, тем меньше ценность каждой последующей единицы и наоборот.

· Так как ценность благ существенно зависит от их количества, показатель интервальной нормы эквивалентной замены является очень грубым измерителем. Правильнее было бы измерять возможности эквивалентной замены благ в каждой точке кривой безразличия.

– предельная норма замещения.

MRS показывает, как изменится потребление 2-ого товара при небольшом изменение 2-ого товара при неизменном уровне полезности – та же интервальная норма, но только в точке.

О возможностях эквивалентной замены благ можно судить по показателю предельной нормы замещения. Видно, что MRS двух благ должна быть каким–то образом связана с величиной предельной полезности. Рассмотрим некоторую неоклассическую функцию U(q₁, q₂). Известна формула Эйлера:

Экономический смысл: если q₁ растёт, то MRS падает, а U₁ стремится к 0 и U₂ стремится к бесконечности Þ U₁/U₂ ® 0. Общая тенденция: q₁ растет Þ U₁ падает Þ MRS быстро падает.

№2. БЮДЖЕТНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ.

Условие задачи:

R – бюджет потребителя – количество денег, которым он обладает. Пусть известны цены товаров . Запишем условие полного расходования бюджета потребителя. Пусть потребитель приобрел набор q₁и q₂.

Требуется найти все комбинации товаров, которые потребитель может приобрести при данном бюджете и данных ценах.

Решение задачи:

Экономический смысл: рассмотрим различные наборы товаров, которые потребитель желает приобрести: набор А – может пробрести; набор D – может; B – нет. Бюджетное ограничение делит все пространство на 3 части.

Свойства:

1. Наклон бюджетной линии определяется соотношением цен. 

2. Если изменится бюджетная линия, например первый товар подешевеет при ceteris paribus, при этом же бюджете потребитель сможет купить больше Þ tg увеличится.

3. Если цены на товары неизменны, а R увеличится, бюджетная линия изменится, так что произойдет параллельный сдвиг прямой, угол останется тот же.

№3. РАВНОВЕСИЕ ПОТРЕБИТЕЛЯ.

При известных предпочтениях потребителя, заданной системе цен и бюджете надо определить оптимальный потребительский набор.

Эта задача имеет две постановки:

Условие задачи 1:

I) Известны цены, потребительский бюджет. Рассмотрим потребительские предпочтения. Они задаются системой (картой) кривых безразличия.

Решение 1:

Рассмотрим 3 кривых безразличия. Потребительские наборы, лежащие на 1-ой кривой недоступны. На 3-ей кривой доступны многие ситуации. На 2-ой кривой существует один набор, который можно купить. Обозначим его точкой Е. Заметим, что не существуют других наборов, которые достигают E в полезности и находятся в рамках бюджета. Все наборы на 2-ой кривой лучше, чем на 3-ей. Решением этой задачи будет точка, полученная в результате касания бюджетной линии и максимально удаленной от начала координат кривой безразличия. При заданном бюджете цель потребителя – найти максимально удаленную от начала координат кривую безразличия. Точка касания единственная, следовательно, задача решена и имеет единственное решение.

Условие задачи 2:

Известно предпочтение. Задан целевой уровень благосостояния.

Решение задачи 2:

При заданных ценах, потребительском бюджете и потребительском предпочтении существует единственный товарный набор, который доставляет наибольшую полезность при заданных условиях. Либо наоборот – обеспечивает заданную полезность при наименьшем бюджете – основная неоклассическая задача потребления. А точка Е дает нам равновесное решение или, иначе, называется равновесие потребителя.

Существует правило, которое называется условие равновесия потребителя:

отсюда

Экономический смысл: предложим, потребитель осуществил закупки 1–ого и 2–ого товаров. Рассмотрим последние закупленные единицы обоих товаров. При оптимальном плане закупок предельная полезность от закупки каждого товара в расчете на единицу затрат, должна быть постоянной – правило условия равновесия потребителя.

Надо найти потребительский набор, который возвращает максимум этой функции при заданном ограничении

Данная задача относится к классу задач нелинейного программирования. Это приложение математики было специально разработано для экономики. Задача решается на основании теоремы Куна-Таккера методом разрешающих множителей Лагранжа.

№4. СРАВНИТЕЛЬНАЯ СТАТИКА ПОТРЕБЛЕНИЯ.

Существуют 2 модели:

· Статическая модель – исследуют по методу при прочих равных условиях. Такой метод называется сравнительная статика.

· Динамическая модель – при этом применяется несколько управляющих элементов. Исследование динамики – очень сложный вопрос.

Условие задачи:

Дана неоклассическая задача потребления, т.е. известны потребительские предпочтения, заданы потребительский бюджет и система цен. Определить оптимальный план закупок для данного потребителя

Решение:

Решив соответствующую задачу получим график:

Что влияет на объем закупок отдельного товара q_j? Предпочтения не меняются. Тогда, в общем виде: – функция от (N+1) переменных.

Спрос на отдельно взятый товар – функция от цен и дохода – это функция покупательского спроса.

Метод сравнения статики заключается в следующем: берем один из аргументов, остальные считаем заданными: .

Рассмотрим влияние изменения дохода на покупательский спрос .

Давайте рассматривать непрерывное изменение дохода. Тогда мы много раз решаем неоклассическую задачу и находим точки равновесия.

Эта линия содержит точки равновесия, она называется «доход–потребление». Это ГМТ равновесия, полученных при решении задач при различных уровнях дохода. Каждая точка этой линии дает оптимальный покупательский набор для заданного значения дохода. Она также называется «кривая Энгеля».

Что можно сказать про соотношение q₁ и q₂?

При R₁ закупки примерно в одинаковой пропорции. До R₂ – некоторое предпочтение q₁. Начиная с R₂потребитель практически перестает потреблять q₂, т.е. происходит насыщение товаром q₂.

Если доход увеличивается на единицу и при этом стали потреблять q₁ больше, чем q₂, то q₁ ценнее. Ценность товара имеет относительное значение и в существенной мере определяется уже достигнутым уровнем потребления.

Можно построить другой график:

Задача Энгеля в интерпретации Торнквиста: необходимо рассмотреть всевозможные зависимости вида и определить характерный вид кривых Энгеля по группам товаров.

Торнквист вывел, что все товары можно грубо разделить на 3 группы:

· nовары первой необходимости;

· в точке А – переключение спроса, т.е., начиная с уровня R_A, товары первой необходимости перестают доминировать в его потребительской корзине (этот порог часто отождествил с уровнем бедности);

· предметы роскоши. Их потребление начинается на достаточно высоком уровне R и уже неограниченно. В точке B предмет роскоши начинает превалировать над (2).

№5. ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН НА ПОКУПАТЕЛЬСКИЙ СПРОС.

Задача вида , все остальные цены и доход заданы. Для простоты введем условие: p₁ уменьшается.

Теперь рассмотрим всевозможные изменения p₁. Получилась линия EE₁, которая сплошь состоит из точек равновесия; она называется линия «цена–потребление». Это ГМТ равновесия, полученных при решении задачи .

Построим еще один, дополнительный, график:

Получилась кривая спроса. Ее экономический смысл: любая точка кривой D соответствует решению задачи потребителя.

Условие:

Предположим, мы рассматриваем случай, когда изменяются и p₁, и p₂. Принимаем одну из цен за единицу измерения и рассматриваем относительную цену p₁/p₂. Анализ проводится по той же схеме, т.к. для построения бюджетной линии необходимо соотношение цен и абсолютный размер бюджета.

№6. ЭФФЕКТ ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ДОХОДА.

Условие задачи:

Мы уже решили неоклассическую задачу. Пусть p₁ изменилась, т.е. тот же самый товарный набор можно приобрести дешевле. Это равнозначно образованию некоторого дополнительного дохода. Можно предположить, что сохраненный доход будет направлен на увеличение закупок q₁, но это не обязательно. Он может быть направлен, например, на приобретение q₂.

Для анализа этой ситуации понадобятся термины: номинальный доход – доход, который выражается в сумме денег и реальный доход – доход. который выражается в количестве товаров, которые можно приобрести за данный потребительский бюджет при данных ценах.

Если цены упали, то номинальный доход не изменился, а реальный доход повысился за счет закупок 1–ого и 2–ого товаров.

Нам необходимо выявить:

1. Насколько потребитель увеличит закупки товара, который подешевел, т.е. эффект переключения спроса.

2. Эффект дополнительного дохода.

Решение задачи:

Рассмотрим эту ситуацию на графике:

Предположим, мы хотим остаться на первой кривой безразличия. Реальный доход на ней неизменен.

Цены были заданы углом   теперь – . Найдем такую линию бюджетного ограничения, которая имеет угол и касается первой кривой безразличия. Когда цены изменятся с на , а потребитель решит остаться на кривой безразличия, т.е. он сохранит реальный доход, то он перейдет из E в E^||, в этой реальный доход неизменен, а номинальный доход снижается. Переход из E в E^|| называется «эффект переключения D».

Перейдя из E в E^|| по кривой Энгеля, потребитель потратил изменение потребительского бюджета на прирост и q₁, и q₂.

Рассмотрим задачу в общем виде:

– данная функция. Нас интересует чистая прибыль.

Это задача Слуцкого-Хикса и формула Слуцкого.

Изменение спроса в ответ на изменение дохода:

Пусть доход повышается, этот товар ценный; малоценные; Среди малоценных товаров могут быть такие, спрос на которые в результате повышения цен растет (знак > 0). Это «эффект Гиффина».

Эффект Гиффина. Гиффин изучал потребление в Ирландии: цены на картофель повысились в результате действия правительства, но закупки картофеля возросли. Парадокс. Разгадка проста: картофель – малоценный продукт, но это основной продукт потребления у низкообеспеченных слоев

Упражнения и задачи

2.1. Объясните, почему кривые безразличия не пересекаются и имеют отрицательный наклон. Могут ли кривые безразличия иметь положительный наклон? Рассмотрите два «блага» – ожидаемый доход от акции и риск, связанный с ожиданием дохода. Объясните ситуацию с помощью графика. Нарисуйте кривые безразличия инвестора для этих двух благ.

2.2. Докажите общее условие равновесия потребителя. С какими особенностями потребительского выбора связано существование углового равновесия?

2.3. Студентка готовится к экзаменам по социологии и экономике. У нее есть время прочесть 40 стр. текста по экономике и 30 стр. текста по социологии. За это же время она могла бы прочесть 30 стр. текста по экономике и 60 стр. текста по социологии. Предполагая, что число страниц в час, которые она может изучить по обоим предметам, не зависит от распределения времени, определите, сколько страниц по экономике она могла бы прочесть, если все время потратит только на экономику? Сколько страниц текста по социологии она могла бы прочесть, если все время она потратит только на социологию?

2.4. Для некоторого потребителя функция полезности U(x₁, x₂)=x₁*x₂. Постройте кривую безразличия, проходящую через точку (3, 4), и найдите предельную норму замещения в этой точке.

2.5. Потребитель тратит имеющиеся у него деньги на покупку двух товаров – x и y. Функция полезности для него имеет вид: . Потребитель покупает 15 ед. товара x и 10 ед. товара y. Цена товара x равна 10 дол. Найдите доход потребителя. Каков наклон бюджетного ограничения в точке (15, 10)?

2.6. Функция полезности некоторого потребителя имеет вид: U(x1, x2)=4Ö x1+x2, где x1, x2 – два взаимозаменяемых блага. Обычно потребитель потребляет эти блага в количестве x1=9, x2=10. Найдите предельную норму замещения в этой точке. Допустим, потребление первого блага сократилось до 4 ед. Как должно измениться потребление второго блага, чтобы значение функции полезности не изменилось?

2.7. Потребитель имеет функцию полезности вида: U(X₁, X₂)=(X₁+2)(X₂+6). Напишите уравнение касательной, проходящей через набор потребительских благ X₁=4, X₂=6.

2.8. Функция полезности имеет вид U(x1, x2)=min{x1, 3x2}. Цена блага x1 равна 2, цена блага x2 равна 1. Доход потребителя равен 140. Определите координаты точки равновесия потребителя.

2.9. Некто потребляет два блага – яблоки (Ха) и бананы (Хb). Целевая функция равна U(Xa, Xb)=Xa*Xb, Pa=1, Pb=2, доход равен 40. Может ли значение целевой функции быть равно 150? 300? Обоснуйте свой ответ.

2.10. Задана функция полезности некоторого потребителя U(x1, x2)=x1²*x2² и цены двух благ – P1, P2. а) Найдите предельную норму замещения этих двух благ в точке (х1, х2).

б) какую долю дохода потребитель расходует на первое благо, если он выбирает наилучшее сочетание товаров? в) Если в общем виде U(x1, x2)=c*x1^a*x2^b, где c, a, b – положительные числа, то какую долю дохода потребитель тратит на первый товар.

2.11. У Кати есть выбор: съесть шоколадку или получить денежную компенсацию. Катя очень любит шоколад, но после 4–х шоколадок они превращаются для нее в «антиблаго», т.е. она согласна съесть еще одну шоколадку, если ей за это заплатят. Нарисуйте карту кривых безразличия для Кати.

2.12. Предельная полезность масла для потребителя задана уравнением MUм=40–5Qм, предельная полезность хлеба MUх=20–3Qх. Соответственно цена масла Рм=5, цена хлеба Рх=1. Общий доход равен 20. Найдите равновесное количество хлеба и масла для данного потребителя.

2.13. В набор потребителя входят два товара – пиво и бананы, общая полезность которых характеризуется следующими данными:

Цена кружки пива – 10, цена одного банана – 0, 5. Общий доход потребителя, который он тратит на эти два товара, равен 25. Найдите набор товаров в состоянии равновесия потребителя.

2.14. Функция полезности для данного потребителя имеет вид U(x1, x2)=4*x1*x2, а доход, выделенный им для покупки данных товаров, равен 24. В оптимальный набор вошли 2 ед. первого блага и 3 ед. второго блага. При каких ценах на товары потребитель сделал данный выбор?

2.15. На рис. показана одна из кривых безразличия потребителя и его бюджетная линия. Цена товара Y равна 12.

а) Каков доход потребителя?

б) Какова цена товара Х?

в) Как изменится положение бюджетной линии при увеличении цены товара Y до 15? При снижении до 10?

г) Напишите уравнение бюджетной линии для каждого варианта.

2.16. Допустим, потребитель имеет месячный доход М=200. на рис. показаны две бюджетные линии и соответствующие им кривые безразличия.

а) Какова цена товара Y?

б) Определите координаты двух точек линии спроса данного потребителя на товар Х?

в) Зависит ли положение данной линии спроса от цены товара Y, от дохода потребителя?

2.17. Потребитель приобретает товары X и Y. Товар Y продается по цене 2 дол. за единицу. Товар X продается по цен 10 дол. за единицу, если объем покупки не превышает 20 единиц, а за каждую следующую (сверх 20) покупатель платит 5 дол. Пусть доход М=300. Покажите графически бюджетное ограничение при этих условиях. Товары X и Y – нормальные. Укажите наиболее предпочтительный набор.

2.18.Предположим, потребитель выбирает между двумя товарами X и Y. При заданных начальных ценах товаров и доходах потребитель, максимизирующий полезность, делает следующий выбор: X=4, Y=5 ед. Допустим, цены товаров и доходов изменились таким образом, что бюджетная линия описывается уравнением: Y=14–0, 75Х. Увеличилась ли для потребителя максимально достижимая полезность? Объясните ответ графически.

2.19. Проанализируйте график на рис. и ответьте на вопросы:

а) Если доход потребителя равен 300, какова цена товаров X, Y?

б) Чему равна норма замещения в точке А?

в) Может ли предельная норма замещения в точке В равняться 5?

г) Если доход потребителя не меняется, как бы должны измениться цены товаров X, Y, чтобы точка В стала точкой равновесия потребителя?

2.20.Функция спроса на вино Q=0, 02M–2P, где М – доход, Р – цена бутылки вина, Q – количество бутылок вина. Пусть М=7500, Р=30.

а) Если цена вина вырастет до 40, то каким должен стать доход, чтобы спрос на вино оставался прежним? При этом доходе и новой цене сколько бутылок вина будет куплено?

б) Чему равен эффект замещения и эффект дохода при повышении цены на вино до 40?

2.21. Рассмотрите рис. и ответьте на вопросы:

а) Если доход М=300, Рх=4, Ру=10, сколько товара Х потребляется при этих условиях?

б) Если цена товара Х упадет до 2, 5 (при прочих неизменных условиях), каков будет спрос на товар Х?

в) Найдите эффект замены и эффект дохода в общем изменении спроса на товар Х.

г) Каким товаром – нормальным или низшим – является благо Х?

д) Нарисуйте на отдельном графике кривую Энгеля и кривую спроса для товара Х.

3. Тема: Теория производства и конкурентной фирмы

Глава 1: Абстрактная теория производства.

№1. ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ.

Пожалуй, самой простой формой представления производства является модель «чёрного ящика».

;

F – это земля, капитал, труд, предпринимательская способность. Но иногда удобнее рассматривать только один фактор, т.е. остальные не имеют значения. Функция может быть:

· однофакторная и однопродуктовая;

· однопродуктовая и многофакторная;

· многопродуктовая и многофакторная;

Производственная функция, если задана, описывает некоторую технологию. Если задана технология, значит, есть производственная функция. Если технология задана и если мы знаем затраты F, мы можем легко вычислить выпуск Q.

Конечно, существуют различные технологии, однако далее мы рассматриваем только эффективные технологии. Эффективная технология – наиболее производительная из существующих. Заданный объем выпуска – меньше ресурсов; задан объем ресурсов – больше выпуска.

Из всевозможных производственных функций основное внимание уделяется функциям с неоклассическими свойствами:

1. ;

2. Функция должна быть дважды дифференцируема;

3. – предельный продукт фактора (MPF);

4. – убывающая отдача дополнительных затрат фактора.

№2. ОДНОФАКТОРНАЯ ПРОИЗВОДСТВЕННАЯ ФУНКЦИЯ.

Рассмотрим однофакторную производственную функцию при условии нехватки труда. Остальные условия мы берем неизменными. Исследуем, как будет увеличиваться выпуск продукции в зависимости от труда.

На графике

А – точка перегиба.

Затраты от 0 до F_A дают по сравнению с предыдущей большую отдачу. Вторая производная больше 0. После F_A – постоянно уменьшающаяся отдача. В точке D полное насыщение производства. Это график стандартной технологии.

Условие задачи:

Пусть: – средний продукт (средняя производительность фактора)

– показатель предельной производительности.

МР показывает, насколько увеличится производство при затрате последней единицы фактора.

Пояснения к рисунку.

Каждая единица фактора имеет разную отдачу. Показатель AP характеризует отдачу от всех затрат, но очень важно знать тенденцию, т.е. как будет изменяться выпуск в зависимости от каждой следующей единицы затрат фактора. Об этом нам говорит MP.

Рассмотрим характеристики стандартной технологии с точки зрения последовательных затрат фактора. На интервале (1) каждая последовательная единица фактора дает нам все большую отдачу, следовательно, предельная производительность растет, а с ней растет и AP, вплоть до точки А

На участке (2) каждая последующая единица дает все меньшую отдачу, но, тем не менее, отдача каждой следующей единицы все еще выше, чем средняя отдача всех предшествующих затрат, следовательно, АР растет, вплоть до точки В.

Отдача от дополнительной единицы факторов в точке В равна отдаче от всех предшествующих затрат, следовательно, АР = МР.

На участке (3) каждая дополнительная единица фактора дает меньше отдачи, чем в среднем все предшествующие, поэтому понижение МР ведет к снижению АР до точки D. После точки D новые затраты фактора дают нулевой эффект.

Свойства графика:

· Максимальная отдача – в точке А.

· Максимальная средняя отдача – в точке В.

· Максимальный выпуск продукции – в точке D.

– если затраты фактора увеличить в n раз.

Мы анализируем «эффект масштаба производства». Нам надо сравнить n и m.

Если затраты F увеличить в n раз, а производство увеличится меньше, чем в n раз (m< n), то имеем потери от масштаба. Если m> n, то имеем экономию от масштаба – положительный эффект масштаба производства. Оптимальные размеры производства с точки зрения технологии связаны с эффектом масштаба. Для стандартной технологии положительный эффект масштаба производства, оптимальный режим, дальнейшее расширение – потери от масштаба.

№3. ОДНОПРОДУКТОВАЯ ДВУХФАКТОРНАЯ МОДЕЛЬ.

Нам необходимо рассмотреть эффекты взаимзаменяемости и взаимодополняемости факторов. Благодаря выводам, полученным при изучении двухфакторной модели, результаты этого изучения мы можем использовать для распространения на многофакторные модели.

Мы имеем дело с неоклассической функцией:

· ;

Возможности взаимной замены факторов несколько ограничены.

F (K₀, L₀) Þ Q₀ – выпуск продукции в точке А. Q₀= const. Требуется найти все комбинации F при которых объем выпуска будет постоянен и равен Q₀.

Изокванта производственной функции – это геометрическое место всех комбинаций ресурсов, при которых выпуск продукции остается постоянным.

Для данной технологии требуется рассмотреть все возможные значения выпуска в зависимости от затрат ресурсов.

Получаем семейство изоквант для данной технологии. В идеале мы должны считать, что изокванты непрерывны. Для одной и той же технологии изокванты не пересекаются. Для неоклассической производственной функции изокванты не пересекают оси координат. Чем больше выпуск Q, тем изокванта дальше от начала координат. Если мы движемся по изокванте, мы можем рассмотреть возможности взаимной замены ресурсов при постоянном выпуске Q в условиях данной технологии.

– интервальная норма замещения.

– очень маленькое приращение в окрестностях одной точки.

Предельная норма технического замещение (MRTS) показывает возможности замещения ресурсов в каждой точке.

Показатель MRTS должен быть связан с МР:

Виды изоквант:

1. Ресурсы абсолютно взаимодополняемые – изокванта 1.

2. Ресурсы абсолютно взаимозаменяемы – изокванта 2.

3. Все остальные случаи (например, 3) промежуточные ситуации (изокванты неоклассических производственных функций).

Для теории производства вид изокванты имеет большее значение. Поэтому важно найти характеристику, которая показывает степень изогнутости изокванты. Мы можем измерить эластичность взаимной замены факторов, а именно, соотношение факторов хотелось бы представить как функцию .

Эластичность этой функции будет показывать, на сколько процентов изменится K/L, если MRTS изменится на 1%.

12 3 4 5 6 Следующая ⇒