Деление многозначных чисел на однозначные

Стр 1 из 4Следующая ⇒

В процессе изучения деления многозначных чисел учащиеся должны освоить основные устные и письменные приемы деления; овладеть соответствующими вычислительными умениями и навыками; расширить, углубить и систематизировать знания о действии деления, его свойствах, о взаимосвязях между результатами и компонентами действий, об изменении частного при изменении одного из компонентов.

Деление многозначных чисел целесообразно давать параллельно с умножением.

Письменное деление на однозначное число.

1) До начала изучения письменного деления следует провести подготовительную работу. Прежде всего учащиеся повторяют знания о действии деления: «Деление связано с умножением, разделить 54 на 18 - значит найти число, которое при умножении на 18 дает 54. Это число 3, значит 54: 18 = 3.» Если учащиеся достаточно подготовлены, то можно это обобщить, пользуясь буквенной символикой: а: в = х; (а = х ^.в).

Большое внимание надо уделить повторению случаев деления с единицей и нулем:

а: а = 1; а: 1 = а; 0: а = 0 и невозможности деления на нуль.

Алгоритм письменного деления складывается из многих операций: преобразование единиц одного разряда в единицы другого, сложение, умножение и др. Эти операции и должны явиться предметом внимания учащихся во время подготовительной работы.

В устные упражнения следует чаще включать деление с остатком, случаи внетабличного умножения и деления.

Большое место в подготовительной работе должно быть отведено устным случаям деления многозначных чисел вида: 800: 4 и 60000: 6, 240: 6 и 35000: 7, 560: 4 и 96000: 4, 505: 5 и 6006: 6.

2) При изучении всех случаев письменного деления используется правило деления суммы на число. Вначале дается теоретическое обоснование приема:

648: 3 = (600 + 30 + 18): 3 = 600: 3 + 30: 3 + 18: 3 = 200 + 10 + 6 = 216.

При изучении письменного деления на однозначное число ученики должны усвоить алгоритм деления: уметь образовывать неполное делимое, устанавливать число цифр частного, понимать смысл каждой вычислительной операции. При объяснении письменного деления пользуются следующей схемой:

1) Прочитайте и запишите пример.

2) Выделите первое неполное делимое.

3) Установите высший разряд и число цифр в частном.

4) Разделите, чтобы найти первую цифру частного.

5) Умножьте, чтобы узнать, сколько единиц этого разряда разделили.

6) Вычтите, чтобы узнать, сколько единиц этого разряда осталось.

7) Проверьте, правильно ли подобрана цифра частного.

8) Если есть остаток, выразите его в единицах следующего за ним низшего разряда и прибавьте к ним единицы этого разряда.

9) Продолжайте деление, пока не решите пример до конца.

Эта схема постепенно сокращается и учащиеся ограничиваются кратким пояснением.

Большое внимание надо уделить частным случаям деления, когда при делении получаются нули на конце или в середине частного:

22720: 4 65325: 5 35762: 8

Деление многозначных чисел на числа, оканчивающиеся нулями

В подготовительной работе следует повторить случаи деления без остатка на 10, 100 и т.д. и случаи деления с остатком на эти же числа. 74: 10 = 7 (ост. 4)

До изучения деления на круглые десятки вводится правило деления числа на произведение, чтобы на его основе раскрыть прием последовательного деления. Дети формулируют правило: чтобы разделить число на произведение достаточно найти произведение и разделить число на полученный результат или разделить число на один из множителей и полученный результат - на другой множитель. При этом запись выглядит так: (продолжите ее)

12: (2 ^. 3) =

12: (2 ^. 3) = 12: 2

Это правило используется для раскрытия приема деления на круглые десятки, сотни и тысячи.

Сначала вводятся устные случаи деления без остатка, например:

240: 30 = 240: (10 ^. 3) = 240: 10: 3 = 8

Затем вводится деление на круглые десятки, сотни и тысячи с остатком:

440: 60 = 7 (ост. 20).

Чтобы разделить 440 на 60 надо сначала разделить это число на 10, а потом 44 разделить на 6. Возьмём по 7. Узнаем, какое число разделили. Это 420. Осталось разделить 440 - 420. Ответ: частное 7, остаток 20. Когда ученики овладеют подробным алгоритмом деления - упрощаем его (чтобы разделить 440 на 60, достаточно 44 разделить на 6).

После устного деления на круглые десятки, сотни переходят на деление 4-, 5-, 6-значных чисел с использованием алгоритма деления:

12750: 30 811200: 200

Наряду с общими случаями следует включать и особые, когда получаются нули в частном.

Деление многозначного числа на двузначное и трёхзначное число

Задачи изучения этой темы:

1) закрепить правило деления суммы на число,

2) для нахождения цифр частного научить использовать прием замены делителя круглым числом,

3) добиться овладения учащимися приемами подбора цифр частного.

При делении на двузначное или трёхзначное число используют правило деления суммы на число. Сначала решаются примеры на деление трёхзначных чисел без остатка и с остатком, когда в частном получается однозначное число, например: 342: 57. Объяснение такое:

Первое неполное делимое 342 единицы, значит, в частном будет одно цифра. Чтобы её подобрать, округлим делитель 57 до 50. Делим 342 на 10, получится 34. Делим 34 на 5, возьмём по 6. Это цифра неокончательная, а пробная. Проверяем: 57 ^. 6 = 342, значит частное равно 6. Дальнейшее объяснение выглядит короче «…чтобы подобрать цифру частного, достаточно 34 разделить на 5, берём по 6. Проверяем...»

При делении в примерах вида 568: 74 одной пробы недостаточно. Приходится проверять 2 или 3 пробных цифры.

Вопрос 19. Методика изучения числовых выражений и выражений, содержащих переменную.

Задачи изучения:

1. Научить читать, записывать и сравнивать числовые выражения.

2. Познакомить учащихся с правилами порядка выполнения действий в числовых выражениях и выработать умение вычислять значения выражений в соответствии с этими правилами.

3. Сформировать у учащихся умение читать, записывать буквенные выражения вида

a + b, c – d, 5 ^.d, c: 3, k ^.c, c: a и вычислять их значения при данных значениях букв.

4. Познакомить учащихся с уравнениями вида:

5 + x = 15, x – 3 = 7, 12 – x = 3, x ^.7=42, x: 4 = 5, 24: x =8

и сформировать умение решать их способом подбора, а также на основе знания взаимосвязи между компонентами и результатом арифметических действий.

Числовые выражения:

Числовые выражения рассматриваются в два этапа:

1) Выражения, содержащие одно действие 5 –3, 8 + 2 (1 класс); 5 ^. 3, 8: 2 (2 класс).

Первое выражение, с которым знакомятся дети, это выражение вида 8 + 2, где «+» означает «прибавить», «увеличить», «сложить», и он показывает, как это выражение читается и называется (суммой). Этот термин закрепляется в упражнениях вида: 1.Прочитайте эту запись…2. Запишите сумму чисел…3. Замените суммой число …

Аналогично проводится работа с терминами «разность», «произведение», «частное».

2) На втором этапе дети знакомятся с выражениями, содержащими скобки:

Первоначально изучаются выражения, содержащие два действия, которые выполняются по порядку:

8 – 4 + 2, 7 – 5 – 1.

Затем дети знакомятся со скобками. Введение скобок можно мотивировать так:

1) Задать два выражения, имеющие разные значения, т.к. порядок действия в них различный. Детям необходимо придумать знак, показывающий последовательность действий.

2) Записать решение задачи выражением из двух действий, которые должны выполняться не в том порядке, как они записаны, а в том, какой диктует логика решения задачи.

3) Учителю можно самому объяснить значение скобок..

Уже в первом классе дети знакомы с порядком выполнения действий, содержащих сложение и вычитание. Во втором классе знания детей обобщаются и в связи с изучением умножения и деления вводятся новые правила:

1) для выражений вида 15 ^.4: 5, в которых действия выполняются по порядку,

2) для выражений вида 30 –12: 4; 5 ^. 4 + 10, содержащих два или три арифметических действия, существует договоренность, что сначала выполняются умножение или деление, а затем – сложение или вычитание.

3) для выражений, содержащих скобки, например: 28 – 16: (2 + 6).

Дети учатся читать такие выражения и записывать под диктовку. Правила выполнения действий закрепляются в многократных упражнениях. Кроме того, даются задания творческого характера: Расставь знаки действий и скобки, чтобы равенства были верными, например:

38 ∙ 3 ^. 7 = 34, 38 ∙ 3 ∙ 7 = 28, 38 ∙ 3 ∙ 7 = 48, 38 ∙ 3 ∙ 7 = 42.

В третьем классе рассматриваются выражения, содержащие 3-4 действия с многозначными числами.

Сравнение выражений

Вначале рассматривается сравнение чисел с опорой на множества, и результат фиксируется с помощью знаков «больше», «меньше», «равно». После этого дети сравнивают число и выражение, найдя значение выражения, сравнивают его с данным числом.

Например, 5 ∙ 3 + 4, 5 ∙ 5 – 2. Желательно давать не только готовые выражения, но и составлять их, используя предметные действия с множествами. На третьем этапе дети сравнивают два выражения вида 10 – 5 и 3 + 4; 8 – 3 и 8 – 4. В таких выражениях сравнение можно производить не только нахождением их значений, но и наблюдением за компонентами действия. (Чем большее число мы отнимем от одного и того же числа, тем меньше будет остаток).

Работа по сравнению выражений и составлению верных равенств часто связана с преобразованием выражений на основе изучаемых свойств:

310 ^. 12 ∙ 310 ^. 10 + 310 ^. 2; 180: (10 ^. 3) ∙ 180: 10 ^. 3; (10 + 9) ^. 4 ∙ 10 ^. 4 + 9.

При сравнении выражений дети знакомятся с терминами «равенство» и «неравенство», которые могут быть верными или неверными.

В программе «Школа 2000» алгебраический материал не только связан с арифметическим материалом, но и является материалом для развития учащихся. Он намного богаче содержанием и вводится с первого класса.

Как и в традиции, составляются выражения (по рисункам), причем не только числовые, но и буквенные:

П + К а + б a + б = к, к – а = б

Рано вводятся термины «равенство», «неравенство», «выражение».

Сравнение выражений основано на рассуждении:

7 - 4 ∙ 7 + 1; а + д ∙ а – д, 8 – к ∙ 9 – к…

Правила о порядке выполнения действий рассматриваются с точки зрения алгоритмов (т.е. составление программ).

3 + (8 – 2) 3 + 8 – 2

Для закрепления правил выполняются такие упражнения

1) расставь скобки по заданной программе;

2) составь выражения по схеме-«дереву»;

3) составь программу действий в выражении

a: b – c ^. (d + k) ^. m: n

Выражение с переменной

Подготовительная работа заключается в решении задач с недостающими данными, например: Купили несколько дневников по пять рублей. Сколько заплатили за дневники?

В первом классе дети знакомятся с записями вида 12 -, где в пустой квадрат подставляются числа и вычисляются значения получившихся выражений. Здесь можно проследить зависимость разности от значения, вычитаемого и определить допустимые значения вычитаемого.

Во втором классе вместо  ставится буквы латинского алфавита, и дети учатся читать выражения вида c – d, k ^. 5, 28 + b и находить их значения при заданных значениях букв (переменных). Часто такие задания оформляются в виде таблицы.

Выражения с переменной очень широко используются для обобщения знаний:

1) Все законы и свойства записываются в общем виде:

(a ^.b ) ^.c = а^..(b ^.с) - сочетательный закон умножения,

а + b = b + а а ^.0=0 ^.а = 0 а ^.1 = а

2) Решения задач (из блиц-турниров) записываются в общем виде, с буквенными данными:

а ^. 4 + b

3) Вводятся условные обозначения величин и их формулы:

s = a ^. b; v = a ^. b ^. c; s = v ^. t

4) Производятся упрощения в выражениях: 3 + у + 10 + 5; 4 ^. а ^. 5.

Вопрос 20. Формирование представлений об уравнении. Методика обучения решению уравнений и задач, решаемых уравнением.

В начальной школе рассматриваются уравнения, содержащие только одно действие. Первоначально они решаются подбором. В дальнейшем уравнения решаются на основе зависимости между компонентами и результатами действий.

В традиционной школе уравнения вводятся во втором классе, а в других системах – с начала обучения. Дети знакомятся с терминами «уравнение» и «решение уравнения». Для закрепления этих понятий предлагаются упражнения: «Выбери среди данных записей уравнения», «Преврати (составь) уравнения». Кроме этого включаются задания такого вида:

«Угадай корни: 7 + х = 7; 7 – у = 0; n – 0 = 7; а – а = 7; b – b = 0».

Методом составления уравнения решаются некоторые простые задачи: Площадь прямоугольника 36 см², длина – 9 см. Найти его ширину.

В «Школе 2000» уравнения вводятся в 3 части 1 класса. Вначале выполняются привычные операции с множествами-«мешками»:

ooo + х = ooov х = v,

и вводится термин «уравнение».

Опорой для решения уравнений являются понятия части и целого. В течение подготовительного периода учащиеся осваивают эти понятия в операциях с множествами и усваивают их соотношения: чтобы найти одну часть надо от целого отнять другую часть.

Последовательность введения уравнений такая же, как и в традиционной программе, но на одном уроке при закреплении могут встречаться уравнения разных видов, т.к. основа их решения похожа.

Помощниками в решении уравнениях являются:

1) рисунки весов 2 + х = 4

2) схемы 5 – х = 4 х + 3 = 7

3) числовые отрезки

4) уравнения с линиями

Кроме уравнений на нахождение части и целого, включены нестандартные уравнения:

26 + 26 + 26 = 26 ^. у; у + у + у = 115 ^. 3;

145 ^. х = 145; 8 ^. х = 0; 5 ^. х = 45;

х: х = 1; х ^. 1 = х; 0 ^. х = 0; х: 0 = 0; х: 1 = х.

Во 2 классе. включены уравнения вида а ^. х = b, а: х = b, х: а = b

Основой для их решений является зависимость между сторонами прямоугольника и его площадью: чтобы найти сторону

х ^. 2 = 16

Структура уравнений во 2 кл. не меняется, только изменяется числовое множество: 200 ^.х = 600.

В 3 кл. происходит обобщение знаний по уравнениям: вводится термин „уравнение“, „решение уравнения“ и рекомендуется решать их с комментированием:

(х+3): 8 = 5

1. Неизвестное делимое х+3. Чтобы найти …

2. Упрощение…

3. Неизвестное…

Уравнения содержат 3-4 действия (m^.^.4+6): 9 = 2

При изучении дробей включены уравнения

, которые решаются аналогично.

В системе РОЗ (М1А, стр. 19) вводятся термины «равенства», «неравенства», с помощью рисунков составляются верные равенства и неравенства. Неверные неравенства превращаются в верные.

Во второй четверти вводятся уравнения - дается определение уравнения, его решения (« решить уравнение – значит найти такое число, при котором получается верное равенство»). Первоначально рассматриваются уравнения вида

х + 5 = 9, которые вводятся через задачу.

Уравнения могут быть не стандартными:

( 5 + х ) + 2 = 11, где надо догадаться при сравнении равенств,

( 5 + 4 ) + 2 = 11, чему равно неизвестное.

В конце первого класса, дети знакомятся с уравнениями вида:

13 – х = 5, 17 – а = 9, которые решаются на основе правил нахождения вычитаемого, а затем и уменьшаемого:

к – 4 = 7, к – 12 = 6.

Все виды этих уравнений даются в сравнении друг с другом:

а + 7 = 15, 15 – а = 7, а - 7 = 8,

надо выяснить связь этих уравнений и тогда найти решение.

Во втором классе продолжается работа над уравнениями, где надо найти самое большое число и воспользоваться обратными действиями:

а + 23 = 41 85 – к = 72

х ^. 7 = 56 е : 4 = 9

Уравнения, связанные с действиями умножения и деления решаются с помощью таблицы умножения (подбором).

Для решения уравнений другим способом изучаются основные свойства равенств:

1) а = b, ó a + c = b + c, ó a– c = b – c.

2) a = b, c 0 ó a ^. c = b ^.c, ó a: c = b: c.

12х – х - 55 = 0 11х – 55 = 0

5 у + 7 = 62 5у + 7 = 62

Уравнения вида 5х + 15 = 80 – 8 х, , 7^. (а – 1) = 3^.(а + 9) решаются на основе свойств равенств.

Вопрос 21. Методика изучения геометрического материала в начальной школе.

Математическое развитие школьников невозможно без приобщения их к геометрии. В начальных классах ставится задача расширить и уточнить представления учащихся о геометрических фигурах, а также развивать их пространственное мышление в процессе выполнения различных практических упражнений.

Для осуществления методической работы, направленной на решение этих задач, учителю необходимо знать, что геометрия как наука строится на базе основных понятий и аксиом, а новые факты вводятся дедуктивным путем. Школьный курс геометрии – это евклидова геометрия на плоскости и в пространстве. Эта геометрия опирается на понятие величины и ее измерения. Формирование представлений о геометрических фигурах в начальной школе связано с изучением длины и площади.

Основой формирования представлений о геометрических фигурах является способность детей воспринимать форму предмета. Эта способность позволяет узнавать, различать и изображать различные геометрические фигуры:

Основными геометрическими фигурами, изучаемыми в начальной школе, являются: точка, прямая и кривая линии, отрезок и ломаная, а затем угол, прямоугольник, квадрат, многоугольник, треугольник.

Чтобы дети имели представление об этих фигурах, их достаточно показать и назвать термином (остенсивное определение). Но ученик воспринимает фигуру как целостный объект и не выделяет свойства объекта, поэтому не всегда узнает знакомые фигуры, расположенные необычно:

«не «не квадрат» «не прямоугольник» «треугольник» «многоугольник»

В дальнейшем необходимо изучать существенные свойства объектов для точных представлений о них. Для этой цели геометрические фигуры изучают в определенной последовательности, выполняя с моделями различные практические действия.

Точка - след карандаша, ручки, мела. Через точку дети проводят различные линии: прямые и кривые. Убеждаются, что через точку можно провести сколько угодно прямых и кривых, а через две точки – только одну прямую и множество кривых.

Прямая - основное и неопределяемое понятие. Если согнуть лист бумаги, то линия сгиба будет моделью прямой. Прямую через одну или две точки можно проводить только по линейке. В процессе выполнения этих упражнений дети должны научиться различать такие понятия, как: «точка пересечения двух линий», «прямая проходит через точку», или «точка принадлежит прямой» и т.д. Учащиеся могут находить прямые и кривые линии на различных геометрических фигурах: «круг», «квадрат», «прямоугольник», «пирамида», «конус», «цилиндр», «шар» и т.д.

Отрезок – это часть прямой между двумя ее точками. Отрезок имеет начало и конец, любая его точка может быть и концом и началом. Отрезок имеет длину. Отрезки можно сравнивать, складывать и отнимать, измерять.

Ученику начальных классов трудно различать такие понятия как «прямая» и «отрезок» и идти к пониманию отрезка от прямой. В просторечии слово «отрезок» почти не употребляется, говорят: «прямая», «идти по прямой», но при этом никто не имеет в виду бесконечную прямую, как принято в геометрии. Бесконечную прямую нельзя изобразить на бумаге. В учебниках математики для начальной школы принято при изображении отрезка отмечать его начало и конец точками или штрихами, чего нет в изображении прямой.

Угол можно ввести как фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. Такой подход к введению понятия угла возможен там, где вводится понятие луча, как части прямой, имеющей начало, но не имеющей конца. (например, М1А). В учебнике М2П углом называют часть плоскости, заключенной между двумя лучами, исходящими из одной точки, причем называют меньшую часть, т.к. плоскость делится лучами на две части.

Такое представление о геометрических фигурах, как частях плоскости, сохраняется и в определениях треугольника, многоугольника, круга и т.п.

Или можно представить модели нескольких углов и назвать это «углами»:

12 3 4 Следующая ⇒