От направленного отрезка к вектору

 

Обозначения:

Eⁿ – прямая при n = 1, плоскость при n = 2, пространство при n = 3 (с евклидовой геометрией)

Rⁿ =

Î Rⁿ – упорядоченный столбец n× 1

A ( ) – координаты точки A в декартовой системе координат в Eⁿ

 

Определение. Направленным отрезком в Eⁿ будем назвать отрезок, у которого упорядочены концы (то есть один конец отрезка – первый, другой – второй)

 

Обозначение направленного отрезка:

A

- направленный отрезок AB, у которого первый конец (начало) – точка A, второй конец (конец) – точка B.

Изображение направленного отрезка : (точка A – начало, точка B - конец) РИС. 19

B

 

Вырожденный отрезок, у которого оба конца совпадают, будем понимать как направленный отрезок, начало и конец которого совпадают. Например, направленный отрезок

 

Определение. Длиной направленного отрезка называется расстояние между его началом и концом.

Обозначение: | | - длина направленного отрезка .

 

Пусть в Eⁿ введена некоторая декартова система координат w.

Определение. Координаты направленного отрезка в системе координат w – это разность координат конца направленного отрезка и начала.

То есть если A( _a), B( _b), то координаты = ( _b- _a).

 

Замечание. Вычисление длины направленного отрезка в декартовой системе координат осуществляется по той же формуле, что и расстояние между точками. Если же координаты направленного отрезка уже известны, то квадрат его длины равен сумме квадратов координат этого отрезка.

 

Наблюдение. Все координаты направленного отрезка, у которого начало и конец совпадают, в любой декартовой системе координат равны нулю. Более того, если все координаты некоторого направленного отрезка в некоторой системе координат равны нулю, то начало и конец этого отрезка совпадают.

 

Пусть и – направленные отрезки в Eⁿ.

Определение. Будем говорить, что направленный отрезок равен направленному отрезку , если в системе координат w координаты отрезка равны координатам отрезка .

Обозначение равенства направленных отрезков: = .

Замечания.

1) В вышеизложенном определении равенство направленных отрезков зависит от системы координат w. Естественно возникает вопрос, возможно ли, что направленные отрезки равны в одной декартовой системе координат и не равны в другой системе координат? (То есть возникает вопрос о корректности определения).

2) Для любых двух точек A, B Î Eⁿ в любой системе координат = .

 

Лемма. Пусть и – направленные отрезки в Eⁿ, и пусть в Eⁿ введена некоторая декартова система координат w. = тогда, и только тогда когда середины отрезков AD и BC совпадают (то есть отрезки AD и BC имеют общую середину).

Доказательство:

= Û _b- _a= _d - _c Û _b+ _c= _a+ _d Û 1/2( _b+ _c ) = 1/2 ( _a+ _d) Û середины отрезков AD и BC совпадают.

 

Корректность определения равенства направленных отрезков: Так как понятие середины отрезка и совпадение точек не зависит от выбора системы координат, то согласно доказанной лемме и равенство направленных отрезков тоже не зависит от выбора системы координат.

 

Следствие. (геометрический смысл равенства направленных отрезков).

Пусть точки A, B, C, D Î Eⁿ такие, что A, B и С не лежат на одной прямой.. Тогда для того, чтобы выполнялось равенство = необходимо и достаточного, чтобы четырехугольник ABDC был параллелограммом.

 

Теорема. Отношение равенства на множестве всех направленных отрезков в Eⁿ является отношением эквивалентности.

Доказательство:

Проверим, что отношение равенства направленных отрезков обладает свойствами рефлективности, симметричности и транзитивности.

1) Рефлективность. Для любых двух точек A, B Î Eⁿ = , так как =

2) Симметричность. Для любых точек A, B, C, D Î Eⁿ если = , то = , то есть = и =

3) Транзитивность Для любых точек A, B, C, D, E, F Î Eⁿ если = и = , то = и = , то есть = и =

 

Итак, множество всех направленных отрезков в Eⁿ разбивается на классы эквивалентности по данному отношению равенства.

 

Определение. Вектором (в Eⁿ) будем назвать класс эквивалентности равных направленных отрезков (в Eⁿ).

Направленный отрезок, принадлежащий данному классу (вектору), будем называть представителем этого вектора.

 

Обозначения.

Вектор будем обозначать маленькой латинской буквой с чертой: - «вектор a».

Формально запись того, что направленный отрезок является представителем вектора должна выглядеть следующим образом: Î , но принято менее формальное обозначение: = .

 

Определение. Вектор, представителем которого является направленный отрезок с совпадающими началом и концом (то есть отрезок вида ), будем называть нулевым вектором (нуль-вектором).

Обозначение: q - нулевой вектор.

Ясно, что если один из представителей вектора – отрезок вида, то и все остальные представители этого вектора – это отрезки такого же вида (то есть с совпадающими началом и концом).

 

Определение. Будем говорить, что два вектора равны, если они совпадают как классы эквивалентности (то есть представитель одного вектора равен представителю другого вектора).

 

Определение. Координатами вектора будем называть координаты любого его представителя.

 

Замечания.

1) Ясно, что вектор является нулевым тогда, и только тогда, когда все его координаты равны нулю (в любой системе координат).

2) Два вектора равны тогда, и только тогда когда равны их координаты в некоторой системе координат.

 

Определение. Длиной вектора будем называть длину любого его представителя.

Обозначение: | | - длина вектора a.

 

Ясно, что у всех представителей одно и того же вектора длины одинаковые (см. вычисление длины направленного отрезка в декартовой системе координат).

 

Обозначение: Множество всех векторов, представителями которых являются направленные отрезки в Eⁿ, обозначим как Vⁿ.

 

Определение. Будем говорить, что вектор Î Vⁿ отложен от точки A Î Eⁿ, если нашлась точка B Î Eⁿ такая, что = .

 

Теорема. Любой вектор из Vⁿ можно отложить от любой точки в Eⁿ, и при этом единственным образом (то есть для любого вектора Î Vⁿ и для любой точки AÎ Eⁿ существует и при том только одна точка BÎ Eⁿ такая, что = ).

Доказательство.

Введем в декартову систему координат. Пусть = ( ), A ( _A).

Существование точки B. Возьмем точку B с координатами _B = ( + _A ) (такая точка существует и притом только одна, так как декартова система координат определяет биекцию между Eⁿ и Rⁿ). Тогда координаты направленного отрезка будет равны + _A - _A = , то есть = .

Единственность точки B. Пусть точка B’ такая, что = . Найдем координаты точки B’: = _B’ - _A, то есть _B’ = + _A, следовательно _B = _B’ и точки B и B’ совпадают.

 

Упражнения.

1) Постройте направленный отрезок , найдите его координаты и длину, если

На прямой	M (-1), N(2)
M(0), N(-5)
M (-2), N(1)
На плоскости	M (1, -3), N(2, 4)
M (0, 5), N(2, 0)
M (-3, -4), N(7, -1)
В пространстве	M (-2, 4, 0), N(-2, 4, 3)
M (3, -2, 1), N(1, 1, 1)
M (5, 2, -1), N(0, 0, 0)

 

2) Вычислите длину вектора , отложите этот вектор от точек M, N и O, найдите координаты концов построенных направленных отрезков

На прямой	= (2), M(1), N(-4), O(0)
= (-3), M(-2), N(2), O(0)
На плоскости	= (-1, 1), M(1, -3), N(2, 2), O(0, 0)
= (0, 5), M(1, 4), N(4, -2), O(0, 0)
= (3, -2), M(-3, -2), N(2, 1), O(0, 0)
В пространстве	= (1, 2, 1), M(5, 5, -1), N(4, -3, 2), O(0, 0, 0)
= (2, 2, 0), M(1, -3, 0), N(0, 1, 4), O(0, 0, 0)

 

3) Является ли данное отношение r на множестве X отношением эквивалентности?

X – множество натуральных чисел, a b, если a < b

X – множество действительных чисел, a b, если a ≤ b

X – множество прямых на плоскости, a b, если a | | b.

X – множество целых чисел, a b, если (a - b) делится на 2

 

Умножение вектора на число

 

Пусть в Eⁿ введена декартова система координат.

Пусть Î Vⁿ, и координаты вектора = ( ).

 

Определение. Умножить вектор на действительное число l Î R означает найти вектор Î Vⁿ такой, что его координаты = l .

Обозначение: = l

 

Замечания.

1) Ясно, что определение умножения вектора на число сформулировано для фиксированной системы координат, и требуется доказательство корректности определения (то есть того, что результат умножения вектора на число не зависит от выбора системы координат).

2) В определении не утверждается существование вектора , этот факт требует отдельного доказательства.

3) Интересен вопрос о геометрическом смысле умножения вектора на число; как это умножение выглядит для представителей векторов – для направленных отрезков.

4) При умножении вектора на число ноль получится нуль-вектор не зависимо от системы координат, и при умножении нуль-вектора на любое число получится нуль-вектор не зависимо от системы координат.

 

Лемма. Любой вектор можно умножить на любое число, причем в данной системе координат результат определен однозначно.

Доказательство.

Существование.

Пусть Î Vⁿ, и координаты вектора = ( ), и пусть l Î R.

Найдем вектор = l .

Возьмем направленный отрезок , где точка O – начало координат, точка B (l ).

Координаты этого направленного отрезка равны = (l ).

Пусть вектор такой, что = .

Тогда по определению = l .

Единственность (в данной системе координат).

Пусть вектор такой, что = l , тогда его координаты по определению _’ = l , то есть _’ = и = .

 

Лемма (Простейшие свойства умножения вектора на число (в данной системе координат)).

1) Если = l , то | | = | l | | | для любых векторов , Î Vⁿ и любого числа l Î R.

2) 0 = q для любого вектора Î Vⁿ.

3) lq = q для любого числа l Î R.

4) 1 ´ = для любого вектора Î Vⁿ.

5) (l m) = l (m ) = m (l ) для любого вектора Î Vⁿ и любых чисел l, m Î R

Доказательство.

 

1. Пусть = l , и пусть координаты этих векторов =( ), = ( ). Тогда по определению = l .

Найдем длины этих векторов: | | = || ||, | | = || l || = | l | || || = | l | | |.

2. Пусть координаты вектора = ( ). Тогда координаты вектора 0 будут следующие: (0´ ) = q.

3. Так как все координаты нуль-вектора равны нулю, при умножении их на число l эти координаты останутся нулевыми, а значит, зададут нулевой вектор.

4. Координаты векторов и 1 ´ совпадают, так как координаты вектора при умножении число 1 не изменятся, следовательно, = 1 ´ .

5. Пусть координаты вектора = ( ). Найдем координаты векторов (l m) , l (m ) и m (l ): (l m) = (lm) , l (m ) = l( m )= (lm) , m (l ) = m (l ) = (l m) . Координаты данных векторов равны, следовательно и векторы равны друг другу.

 

Лемма. Пусть векторы , Î Vⁿ ( ≠ q) отложены от одной точки O так, что = , = . Тогда для того чтобы = l (l Î R) необходимо и достаточно, чтобы точка B делила OA в отношении l.

Доказательство.

1) Пусть = l и = , = .

Выразим координаты векторов и через координаты точек O, A и B:

координаты вектора : = -

координаты вектора : = -

Так как = l , то - = l ( - ), то есть = (1-l) + l .

Следовательно, точка B делит OA в отношении l.

2) Пусть точки O, A и B такие, что точка B делит OA в отношении l и = , = .

Так как B делит OA в отношении l, то = (1-l) + l , то есть

- = l ( - ), и координаты векторов и таковы, что = l .

Следовательно, = l .

 

Следствие. Если = , = и = l (l Î R), то точки O, A, B лежат на одной прямой, более того при ≠ q, l > 0 лучи OA и OB совпадают,

при ≠ q, l < 0 лучи OA и OB являются дополнительными друг к другу.

Доказательство (непосредственно по определению «деления в отношении», см. § …)

 

Следствие. Умножение вектора на число не зависит от выбора системы координат.

Доказательство.

Понятие умножения вектора на число сводится (свелось) к понятиям «откладывание вектора от точки» и «точка делит “отрезок” в отношении», которые не зависят от выбора системы координат.

 

Следствие. Пусть векторы , Î Vⁿ ( ≠ q, ≠ q) отложены от различных точек O и O’ так, что = , = . Тогда для того, чтобы существовало число l Î R, l ≠ 0 такое, что = l необходимо и достаточно, чтобы OA | | O’B.

Доказательство.

1) Пусть существует число l Î R, l ≠ 0 такое, что = l (l ≠ 0).

Отложим вектор от точки O’: = .

Тогда OO’A’A – параллелограмм (см. § 8), следовательно, O’A’ | | OA.

С другой стороны, точки O’, A’ и B лежат на одной прямой, поэтому OA | | O’B.

2) Пусть векторы = , = ( ≠ q, ≠ q) и OA | | O’B. Отложим вектор от точки O’: = . Тогда четырехугольник OO’A’A является параллелограммом и O’A’ | | OA, значит точки O’, A’ и B лежат на одной прямой.

Та как точки O’ и A’ различны ( ≠ q ), то существует такое число l Î R, что точка B делит O’A’ в отношении l. Следовательно, = l .

 

Определение. Будем называть векторы и коллинеарными, если существует такое число l Î R, что = l или = l .

Обозначение: | | .

 

Замечания.

1) Нуль-вектор коллинеарен любому вектору.

2) Как видно из геометрического «смысла» умножения вектора на число два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их представители лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

3) Как видно из определения коллинеарности векторов, векторы коллинеарны тогда, и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

 

Определение. Будем называть векторы и сонаправленными, если существует такое неотрицательное число l Î R (l ³ 0), что = l или = l .

Обозначение: ­­ .

 

Замечание.

1) Два не нулевых вектора и сонаправлены тогда и только тогда, когда при = , = лучи OA и OB совпадают.

2) Два не нулевых вектора и сонаправлены тогда и только тогда, когда при = , = точки A и B лежат по одну сторону от прямой OO’.

 

РИС. 20

 

Определение. Будем называть векторы и противоположно направленными, если существует такое неположительное число l Î R (l £ 0), что = l или = l .

Обозначение: ­¯ .

 

Определение. Два направленных отрезка будем называть коллинеарными (сонаправленными, противоположно направленными), если они являются представителями коллинеарных (сонаправленных, противоположно направленных) векторов.

 

Упражнения.

1. Является коллинеарность (сонаправленность) на множестве Vⁿ отношением эквивалентности?

2. Докажите, что два направленных отрезка равны тогда, и только тогда, когда они сонаправлены и имеют одинаковые длины.

Сумма векторов

 

Пусть в Eⁿ фиксирована декартова система координат.

 

Определение. Суммой векторов и ( , Î Vⁿ) будем называть вектор Î Vⁿ, координаты которого – это сумма координат векторов и , то есть = + .

Обозначение: = + - « вектор равен сумме векторов и .

 

Замечание. Определение суммы введено при фиксированной системе координат, и пока не ясно зависит ли результат суммы двух векторов от выбора системы координат.

 

Теорема. ( Свойства суммы векторов ).

1. Операция суммы векторов коммутативна, то есть + = + для любых векторов , Î Vⁿ.

2. Операция суммы векторов ассоциативна, то есть + ( + ) = ( + ) + для любых векторов , , Î Vⁿ.

3. Нуль-вектор является нейтральным элементом относительно операции суммы векторов, то есть + q = для любого вектора Î Vⁿ.

4. Для любого вектора Î Vⁿ существует вектор (- )Î Vⁿ такой, что + (- ) = q

5. l ( + ) = l + l для любых векторов , Î Vⁿ и любого числа l Î R.

6. (l + m) = l + m для любого вектора Î Vⁿ и любых чисел l, m Î R.

Доказательство.

1) Так как + = + , то + = + .

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Метод деления отрезка пополам.
2. Плотность древесины, фанеры и древесины из однонаправленного шпона
3. Построение перпендикуляра к середине отрезка
4. Проецирование отрезка прямой линии
5. Содержанию какого понятия соответствует следующее определение - процесс целенаправленного воздействия на объект -это?
6. Традиционная точка зрения против целенаправленного лидерства
7. Эксперимент 12: Исследование ложно направленного поведения