Декартова система координат в пространстве

Введем в пространстве E³ дополнительную структуру (°):

1) Зафиксируем произвольную точку O Î E³;

2) Зафиксируем упорядоченную тройку взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке O.

3) На каждой из трех фиксированных прямых выберем один из двух лучей, на которые точка O разделила эту прямую, и назовем его положительным лучом.

 

На каждой из фиксированных прямых определена декартова система координат с началом координат в точке O, то есть для каждой точки лежащей на первой, на второй или на третьей прямой однозначно определено число по правилу, описанному в пункте 1.1.

Обозначим декартову систему координат на первой прямой w_x, декартову систему координат на второй прямой w_y, декартову систему координат на третьей прямой w_z.

 

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O, x₊, y₊, z₊).

 

Определим отображение w: E³ ® R³ по следующей формуле:

w(A) = (x, y, z ), где x = w_x(A_x), A_x - проекция точки A на первую прямую,

y = w_y(A_y), A_y - проекция точки A на вторую прямую,

z = w_z(A_z), A_z - проекция точки A на вторую прямую (°°).

РИС. 3

Определение. Отображение w (°°) будем назвать декартовой системой координат в пространстве.

 

Определение. Упорядоченную тройку чисел (x, y, z) Î R³ такую, что w(A) = (x, y, z) будем назвать координатами точки A в системе координат w.

 

Определение. Фиксированную точку O будем называть началом координат.

 

Определение. Три фиксированные прямые в данной структуре будем называть координатными осями. Первую прямую в данной фиксированной структуре будем назвать осью (Ox) или осью абсцисс, вторую прямую - осью (Oy) или осью ординат, третью прямую - осью (Oz) или осью аппликат.

Первую координату точки будем назвать абсциссой точки, вторую координату точки будем назвать ординатой точки, третью координату - аппликатой точки.

Плоскости, проходящие через координатные оси, будем называть координатными плоскостями.

 

Замечание. Иногда декартовой системой координат называют фиксированную на плоскости структуру (°).

 

Теорема. Декартова система координат на плоскости - это биективное отображение.

Доказательство ( самостоятельно).

Замечание. Так как w - это биективное отображение, то оно обратимо, то есть для каждой тройки действительных чисел существует ровно одна точка пространства, для которой эти числа являются координатами.

 

Обозначение: вместо записи w(A) = (x, y, z) мы будем употреблять более распространенную запись A(x, y, z).

 

 

Формула для вычисления расстояния между точками

В декартовой системе координат

 

Обозначения:

Eⁿ при n = 1 - прямая, n = 2 - плоскость, n = 3 - пространство;

Rⁿ = (здесь n = 1, 2, 3) - множество упорядоченных наборов из n действительных чисел;

|| || = , где Î Rⁿ и = (x₁, …, x_n);

|| - || = (*), где , Î Rⁿ и = (x₁, …, x_n), = (y₁, …, y_n);

в случае n = 1 || - || = |x - y|.

Заметим, что функция f( , ) = || - || удовлетворяет требованиям 1-3 из определения меры (см. § …)

 

Пусть в пространстве Eⁿ введена декартова система координат.

Теорема. Расстояние между точками A и B можно вычислить по следующей формуле:

|AB| = || _A - _B||,

где _A - координаты точки A, _B - координаты точки B.

Доказательство.

1) n = 1

Рассмотрим различное расположение точек A и B и начала координат O.

1 случай. Точки A и B расположены по разные стороны от точки O (или O Î [AB]).

В этом случае |AB| = |OA| + |OB| и координаты точек имеют различные знаки, то есть либо x_A ³ 0, x_B £ 0, либо x_A £ 0, x_B ³ 0.

Если x_A ³ 0, x_B £ 0, то |OA| = x_A, |OB| = - x_B, и |AB| = x_A - x_B = |x_B - x_A|.

Если x_A £ 0, x_B ³ 0, то |OA| = - x_A, |OB| = x_B, и |AB| = x_B - x_A = |x_B - x_A|.

РИС 4(1, 2)

 

 

2 случай. Точки A и B лежат по одну сторону от начала координат O.

В этом случае координаты точек имеют одинаковые знаки, то есть либо x_A ³ 0, x_B ³ 0, либо x_A £ 0, x_B £ 0. При этом |AB| = |OA| - |OB| (если B между A и O) или |AB| = |OB| - |OA| (если A между B и O), то есть |AB = | |OB| - |OA| |.

Если x_A ³ 0, x_B ³ 0, то |OA| = x_A, |OB| = x_B, и |AB| = |x_B - x_A|.

Если x_A £ 0, x_B £ 0, то |OA| = - x_A, |OB| = - x_B, и |AB| = | - x_B + x_A| = |x_B - x_A|.

РИС 5(1, 2)

 

2) n = 2

Рассмотрим различное расположение прямой AB и координатных осей.

Пусть A_x, B_x - проекции точек A и B (соответственно) на ось (Ox),

A_y, B_y - проекции точек A и B (соответственно) на ось (Oy).

 

1 случай. Прямая AB не параллельна ни одной координатной оси и не совпадает ни с одной из координатных осей.

РИС 6

 

Тогда |AB|² = | A_xB_x|² + |A_yB_y|².

С другой стороны по п.1 |A_xB_x| = |x_B - x_A|, |A_yB_y| = |y_B - y_A|.

Так, что |AB| = = = || _A - _B||.

 

2 случай. Прямая AB параллельна или совпадает с одной из координатных осей.

Если AB параллельна или совпадает с осью (Ox), тогда |AB| = |A_xB_x| и |A_yB_y| = 0, поэтому

 

равенство |AB|² = | A_xB_x|² + |A_yB_y|² так же справедливо и мы можем воспользоваться доказательством случая 1.

Если AB параллельна или совпадает с осью (Oy) поступим аналогично предыдущему варианту.

РИС 7 (1, 2)

 

 

3) n = 3

Пусть A_xy, B_xy - проекции точек A и B (соответственно) на плоскость (xOy),

A_z, B_z - проекции точек A и B (соответственно) на ось (Oz).

 

1 случай. Прямая AB не параллельна и не лежит в плоскости (xOy) и не параллельна и не совпадает с осью (oz).

РИС. 8

 

Тогда |AB|² = | A_xyB_xy|² + |A_zB_z|².

С другой стороны по п.1 |A_zB_z| = |z_B - z_A|,

по п. 2 |A_xyB_xy| = |.

Так, что |AB| = = || _A - _B||.

 

2 случай. Прямая AB параллельна или лежит в плоскости (xOy).

Тогда |AB| = |A_xyB_xy| и |A_zB_z| = 0, поэтому равенство |AB|² = | A_xyB_xy|² + |A_zB_z|² так же справедливо и мы можем воспользоваться доказательством случая 1.

 

РИС. 9

 

3 случай. Прямая AB параллельна или совпадает с осью (Oz).

Тогда |AB| = |A_zB_z| и |A_xyB_xy| = 0, поэтому равенство |AB|² = | A_xyB_xy|² + |A_zB_z|² так же справедливо и мы можем воспользоваться доказательством случая 1.

 

РИС. 10

 

Упражнения.

(1) Докажите пространственную теорему Пифагора: Пусть a, b, c - длины смежных ребер прямоугольного параллелепипеда, d - длина диагонали этого параллелепипеда, тогда d² = a² + b² + c².

(2) Предложите доказательство предыдущей теоремы для n = 3 аналогичное доказательству для n =2.

(3) Верно ли, что если длины смежных ребер a, b, c и длина диагонали d в некотором параллелепипеде таковы, что d² = a² + b² + c², то этот параллелепипед прямоугольный?

(4) Постройте изображение точек A, B, C и D. Определите, какая из точек A, B или D ближе к точке C, если A (1, 0, -3), B (3, 1, 0), C(0, -2, 2), D(0, 4, 0).

Полярная система координат

 

 

На плоскости E² введем дополнительную структуру:

1) Зафиксируем произвольную точку O;

2) Зафиксируем луч l с началом в точке O;

3) Зафиксируем полуплоскость a - одну из двух полуплоскостей, на которые делит плоскость прямая, содержащая луч l.

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O, l, a).

 

 

 

Определим отображение v: E² \ O ® (0, +¥ )´ [0, 2p) по следующей формуле:

v (A) = (r, j) (*),

где r = |OA|, j - радианная мера угла (l, OA)(отложенного от луча l, в полуплоскость a)

Напомним, что отложить угол от луча l в полуплоскость a означает найти угол равный данному такой, что одна из его сторон - это луч l, и

- если этот угол меньше развернутого угла, то его внутренность содержится в полуплоскости a,

- если этот угол больше развернутого угла, то его внутренность содержит полуплоскость a.

РИС 11 (1, 2)

 

Замечания.

(1) Как мы видим, из плоскости исключена точка O. Действительно, если точка A совпадает с точкой O, то не определен луч OA, и не ясно каким должно быть число j.

(2) Множество значений функции v волне понятно, так как для любой точки A плоскости E² (кроме точки O) |OA| > 0 и мера угла (l, OA) - это число j такое, что 0 £ j < 2p.

(3) Иногда множество значений функции v рассматривают другое,

например, (0, +¥ )´ [-p, p).

Существует еще понятие расширенной полярной системы координат, для которой значение r может быть отрицательным.

 

Определение. Отображение v (*) будем называть полярной системой координат на плоскости.

 

Определение. Фиксированную точку O будем называть полюсом, фиксированный луч l - полярной осью.

 

Замечание. Часто под полярной системой координат понимают фиксированную на плоскости структуру ( то есть полюс, полярную ось, и полуплоскость, в которую откладываются углы).

 

Определение. Числа r и j такие, что v (A) = (r, j) будем называть полярными координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j) будем писать A(r, j).

 

Теорема. Полярная система координат - это биективное отображение.

Доказательство.

1) Инъективность отображения v.

Пусть точки A, B Î E² \ O таковы, что v (A) = v (B) = (r, j) (то есть полярные координаты точек совпадают), докажем, что точки A и B совпадают.

Так как вторые координаты точек A и B совпадают, то углы (l, OA) и (l, OB) равны, тогда лучи OA и OB совпадают (то есть точки A и B лежат на одно луче с началом в точке O).

Так как первые координаты точек A и B совпадают, то |OA| = |OB|.

Итак, точки A и B лежат на одном луче, и удалены на одно и то де расстояние от начала этого луча, значит, они совпадают.

 

2) Сюрьективность отображения v.

Пусть числа r и j таковы, что r > 0 и 0 £ j < 2p, найдем такую точку A Î E² \ O, что v (A) = (r, j).

Отложим от луча l в полуплоскость a угол (l, m), мера которого равна j.

На луче m от его начала отложим отрезок длины r, конец отрезка отличный от точки O назовем A.

Так как |OA| = r, и угол (l, OA) совпадает с углом (l, m), мера которого j, то v (A) = (r, j).

 

Замечание.

Координатными линиями в некоторой системе координат на плоскости называют линии, которые задаются уравнениями вида: одна из координат равна константе. В декартовой системе координат это линии, которые задаются уравнениями x = const или y = const, то есть это линии параллельные координатным осям; и через каждую точку плоскости проходит ровно две координатные линии: одна x = const, другая y = const. В полярной системе координат координатные линии r = const - это окружности с центром в точке O, а координатные линии j = const - это лучи с началом в точке O (без точки O); и через каждую точку плоскости (кроме точки O) проходит ровно две координатные линии: одна r = const, другая j = const.

 

Теорема. (О взаимосвязи декартовых и полярных координат точки).

Пусть на плоскости введены полярная и декартова системы координат так, что полюс полярной системы координат - это начало декартовой системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), фиксированная полуплоскость a содержит положительный луч оси (Oy).

Тогда для любой точки плоскости (кроме точки O) ее декартовы координаты (x, y) выражаются через ее полярные координаты (r, j) по следующим формулам:

x = r cos j, y = r sin j, при этом r² = x² + y².

Доказательство.

Возьмем произвольную точку A Î E² \ O, и пусть A(x, y) и A(r, j).

Точка A лежит на окружности радиуса r с центром в начале координат.

Рассмотрим проекции точки A на координатные оси декартовой системы координат - точки A_x и A_y.

РИС 12

 

По определению тригонометрических функций координата точки A_x на оси (Ox) будет равна rcosj, а координата точки A_y будет равна rsinj, то есть x = r cos j, y = r sin j.

В силу последних двух равенств равенство r² = x² + y²очевидно.

 

Упражнения.

(1) Выразите вторую полярную координату j через декартовы координаты x и y, если выполнены условия предыдущей теоремы.

(2) На плоскости дан правильный шестиугольник ABCDEF. Определите полярные координаты всех вершин этого шестиугольника, если полюс полярной системы координат - это точка A, а полярная ось - луч [AC).

(3) Постройте множество точек, заданное в полярной системе координат уравнением:

1. r = 2 cosj;	5. r2 -2rcosj = 0;
2. r = a sin 3j (a> 0);	6. r 2 - r cosj + 4rsinj = 0;
3. r = a j (a > 0, здесь j ³ 0);	7. r2 - 4r + 5 = 0;
4. r = 2a cosj ± b (a > 0, b > 0);	8. rcos j = -3.

(4) На плоскости задана полярная система координат. Постройте точки A, B и C. Определите, является ли D ABC прямоугольным, и вычислите его площадь, если

A(2 ; ), B( ; ), С(4+ , ).

(5) Вывести формулу для вычисления расстояния между точками в полярных координатах.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A.19. Противопожарная система
2. A.32.4.5.3. Система УСАВП: тест управления рекуперативным торможением
3. II. Поселение в Испании. Взаимоотношения вестготов и римлян. Королевская власть. Система управления. Церковная политика.
4. АВАРИИ НА КОММУНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ЖИЗНЕОБЕСПЕЧЕНИЯ
5. Автоматизированная система мониторинга вычислительной среды и обнаружения сетевых атак.
6. АВТОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОПОВЕЩЕНИЯ И ТУШЕНИЯ ПОЖАРА АСОТП ИГЛА-М.5К-Т И СКТБ
7. Административно-территориальное деление и система местного самоуправления США
8. Адреса координат X Y Z A B C
9. Антиоксидантная система (АОС).
10. БАЛАНС ВОДЫ В СИСТЕМАХ ОБОРОТНОГО ВОДОСНАБЖЕНИЯ
11. Банковская система и монетарная политика.
12. Банковская система и предложение денег. Центральный банк, его функции. Коммерческие банки. Создание денег банковской системой. Банковский мультипликатор. Денежная база.