Определитель квадратной матрицы.

 

Пусть A – квадратная матрица размера n, то есть A Î M_n (n Î N).

Определение. Определителем матрицы A (определителем порядка n) будем назвать число (или буквенное выражение), которое вычисляется по следующему правилу:

Порядок		Формула
n = 2	det A	= =
n = 3	= =
…

Обозначение: det A или |A|

 

Замечание.

Для вычисления определителей порядка 2 и 3 существует удобная графическая схема:

n = 2	+ -
n = 3	+ + + - - -

 

Теорема. (О мультипликативности определителя).

Пусть A, B Î M_n. Тогда det (AB) = det A det B.

Доказательство.

Для случаев n = 2, 3 проверить самостоятельно.

Изменение координат вектора при смене базиса

 

Vⁿ

Пусть e₁, e₂, …, e_n и e₁’, e₂’, …, e_n’ – два базиса пространства Vⁿ.

Для вектора определены координаты в базисе : = , и в базисе ’: = ’ ’, где

 

 

= , = (e₁ e₂ … e_n), ’= , ’= (e₁’ e₂’ … e_n’)

 

 

Для векторов e₁’, e₂’, …, e_n’ определим координаты в базисе e₁, e₂, …, e_n:

e₁’ = a₁₁ e₁ + a₂₁ e₂ +…a_n1 e_n

e₂’ = a₂₁ e₁ + a₂₂ e₂ +…a_2n e_n

…

e_n’ = a_n1 e₁ + a_n2 e₂ +…a_nn e_n, то есть ’ = A, где A = .

Определение. Матрицу A будем называть матрицей перехода от базиса к базису ’.

Столбцы в матрице перехода от базиса к базису ’ – это координаты векторов e₁’, e₂’, …, e_n’ в базисе .

 

Итак, = ’ ’= ( A) ’, то есть = (A ’) и = A ’.

 

Таким образом мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть и ’ – базисы пространства Vⁿ, A – матрица перехода от базиса к базису ’. Тогда для любого вектора из пространства Vⁿ справедливо равенство = A ’, где – координаты этого вектора в базисе , ’- координаты вектора в базисе ’.

 

Пример.

Матрица перехода от базиса к базису единичная, то есть E = .

 

Лемма. Если A матрица перехода от базиса к базису ’, матрица B – матрица перехода от базиса ’ к базису ”, то (AB) – матрица перехода от базиса к базису ”.

Доказательство.

” = ’B и ’ = A, то есть ” = ( A)B = (AB).

 

Теорема. Если A матрица перехода от одного базиса к другому, то det A ≠ 0.

Доказательство.

Пусть A – матрица перехода от базиса к базису ’, матрица B – матрица перехода от базиса ’ к базису , тогда матрица перехода от к - это матрица (AB).

Итак, AB = E, то есть det(AB) = 1; следовательно, detA detB = 1, значит det A > 0.

Замечание. Если A – матрица перехода от к ’, B – матрица перехода от ’ обратно к , то det A = (det B)^-1.

 

Упражнения.

1) Докажите, что если матрица A такая, что det A ≠ 0, то A - это матрица перехода от некоторого базиса к другому базису Vⁿ.

(Указание. Можно рассмотреть отдельно случаи n = 1, 2, 3).

2) Постройте аффинную систему координат (O, ). На этом же чертеже изобразите систему координат (O’, ’), найдите матрицу перехода от базиса к базису ’. Определите координаты вектора в базисе ’.

1.	= e1 , = e1 – e2, = 2e2; = 3e1 – 2e2;
2.	В системе координат (O, ): O’ (1, 3), = - e2, = 2 , = (-2, 1);

 

Изменение координат точки при переходе из одной аффинной системы координат в другую аффинную систему координат

 

Пусть в Eⁿ заданы две аффинные системы координат:

«старая» w = (O, ) и «новая» w’ = (O’, ’).

Координаты точки M Î Eⁿ

в системе координат w M ( )_w, то есть = ;

в системе координат w’ M ( ’)_w’, то есть = ’ ’.

 

Координаты точки O’ в системе координат w O’( )_w, то есть = .

 

Пусть A – матрица перехода от базиса к базису ’. Тогда = ’ ’= A ’.

 

Так как = + , то = + A ’ = ( + A ’) и,

соответственно, = A ’ +

 

Определение. Матрицу перехода от базиса к базису ’ будем называть матрицей перехода от системы координат w к системе координат w’.

 

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть (O, ) и (O’, ’) – аффинные системы координат в Eⁿ, A – матрица перехода от системы координат w к системе координат w’. Тогда для любой точки из Eⁿ справедливо равенство = A ’ + , где – координаты этой точки в системе координат w, ’- координаты этой точки в системе координат w’, - координаты точки O’ в системе координат w.

 

Примеры.

1) Рассмотрим две аффинные системы координат w = (O, )

и w’ = (O’, ) (системы координат отличаются лишь выбором начала координат; в таком случае, говорят о параллельном переносе системы координат на вектор ).

 

Матрица перехода от w к w’ – это единичная матрица, поэтому формулы преобразования координат будут выглядеть следующим образом:

= ’+ , где - координаты точки O’ в системе координат w.

 

Тогда ’ = - .

 

Например, уравнение окружности (x – 1)² + (y + 3)² = 1, заданной в декартовой системе координат (O, ), при переходе в новую декартову систему координат с началом в точке O’ (1, -3) и тем же базисом, примет вид: x’² + y’² = 1.

Преобразования координат при этом будут выглядеть следующим образом: .

 

 

РИС. 27

 

 

2) Рассмотрим две декартовы системы координат на плоскости: w = (O, ) и w’ = (O, ’), такие, что их начала координат совпадают, а вектор составляет с вектором угол j (i = 1, 2) (см. рис. 28). В таком случае говорят о повороте системы координат вокруг начала на угол j.

РИС. 28

Найдем матрицу перехода от w к w’, для этого вычислим координаты векторов ’ в базисе : , то есть матрица перехода A = .

 

Итак, .

Формулы обратного перехода (от w к w’) можно получить, заменив j на (-j):

, так что B = - матрица перехода от w’ к w.

Можно проверить, что AB = = E.

 

Упражнения.

1. Напишите формулы преобразования декартовых координат на плоскости, которые соответствуют повороту вокруг начала координат на угол: (1) j = ; (2) j = .

2. Некоторое множество в декартовой системе координат на плоскости задается уравнением xy = 1. Каким уравнением это множество будет задано в системе координат, которая получена из «старой» системы поворотом вокруг начала координат на угол ?

3. Напишите формулы преобразования координат для декартовой системы координат на плоскости, при симметрии относительно прямой (1) y = 0; (2) y = x.

 

⇐ Предыдущая1234567

Поделиться:

Популярное:

1. Матрицы. Действия над матрицами.
2. Умножение матриц. Согласованные матрицы.