Барицентрическая система координат

Барицентрическая система координат на прямой

На прямой E¹ введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную пару точек (A₁, A₂).

РИС.16

Как было показано в §6 каждой точке A прямой E¹, на которой отмечены две различные точки A₁ и A₂, можно однозначно сопоставить число l, в котором эта точка делит отрезок [A₁A₂], при этом для декартовых координат точек справедливо равенство: .

Обозначение: вместо записи введем формальную запись A = (1-l)A₁ + lA₂ (*). Эта запись формальна в том смысле, что мы не рассматриваем умножение на число точки или сумму точек, запись вида (*) мы интерпретируем так: «Точка A делит отрезок [A₁A₂] в отношении l», или так: «Декартовы координаты точек A₁, A₂, B таковы, что ».

Определим отображение b: E¹ ® {(l₁, l₂) | l₁, l₂Î R, l₁ + l₂= 1} (**) по следующей формуле: b (A) = (l₁, l₂), если A = l₁A₁ + l₂A₂ (то есть точка A делит отрезок [A₁ A₂] в отношении l₂).

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (см. § 6).

Определение. Отображение b (**) будем назвать барицентрической системой координат на прямой.

Определение. Упорядоченный набор (l₁, l₂) такой, что b(A) = (l₁, l₂) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

Пример. Барицентрические координаты середины отрезка [A₁A₂] это набор .

Барицентрическая система координат на плоскости

На плоскости E² введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную тройку точек, не лежащих на одной прямой: (A₁, A₂, A₃).

Теорема. Для любой точки A плоскости E² существует однозначно определенный набор (l₁, l₂, l₃) такой, что A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃ и l₁ +l₂ +l₃ = 1.
Доказательство.

1) Существование набора (l₁, l₂, l₃).

1 случай. Прямая AA₁ не параллельна прямой A₂A₃.

Пусть точка B - точка пересечения прямых AA₁и A₂A₃.

Так как точка A лежит на прямой A₁B, то существует число m такое, что A = (1-m) A₁+ mB.

Так как точка B лежит на прямой A₂ A₃, то существует число l такое, что B = (1-l) A₂+ l A₃.

Итак, A = (1-m)A₁+ m(1-l)A₂ + mlA₃.

Пусть l₁= 1-m, l₂= m(1-l), l₃= ml, тогда A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃ и l₁ +l₂ +l₃ = 1.

2 случай. Прямая AA₁ параллельна прямой A₂A₃.

Если прямая AA₂ не параллельна прямой A₁A₃, то повторим доказательство для случая 1, поменяв ролями точки A₁ и A₂.

Если прямая AA₂ параллельна прямой A₁A₃, то прямая A A₃ не параллельна прямой A₂A₃, и мы повторим доказательство для случая 1, поменяв ролями точки A₁ и A₃.

РИС.17 (1, 2а, 2б)

2) Единственность набора (l₁, l₂, l₃).

В п.1 доказательства был предложен способ нахождения набора (l₁, l₂, l₃), докажем, что этот набор (l₁, l₂, l₃) не зависит от способа его получения.

Предположим, что нашелся набор (l₁’, l₂’, l₃’) такой, что A = l₁’ A₁ +l₂‘A₂ +l₃‘A₃ (ð ) и l₁’ +l₂ ‘+l₃’ = 1.

Равенство вида (ð ) будем понимать с точки зрения декартовых координат точек.

Итак, A = l₁’ A₁ +l₂‘A₂ +l₃‘A₃и A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃.

Тогда (l₁‘ - l₁)A₁ + (l₂‘ - l₂)A₂ +(l₃‘ - l₃)A₃= 0.

Докажем, что l₁‘= l₁, предположим, что это не так, то есть l₁‘-l₁≠ 0.

Тогда . Так как , то получается, что точка A₁ делит отрезок [A₂A₃] в отношении , то есть точка A₁лежит на прямой A₂A₃, что противоречит выбору точек A₁, A₂, A₃.

Следовательно, наше предположение было не верным и l₁‘=l₁.

Аналогично доказывается, что l₂‘= l₂ и l₃‘= l₃.

Определим отображение b: E² ® {(l₁, l₂, l₃) | l₁, l₂, l₃Î R, l₁ + l₂+ l₃= 1} (ð ð ) по следующей формуле: b (A) = (l₁, l₂, l₃), если A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃.

Определение. Отображение b (ð ð ) будем назвать барицентрической системой координат на плоскости.

Определение. Упорядоченный набор (l₁, l₂, l₃) такой, что b(A) = (l₁, l₂, l₃) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (провести самостоятельно).

Барицентрическая система координат в пространстве

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную четверку точек, не лежащих в одной плоскости: (A₁, A₂, A₃, A₄).

Теорема. Для любой точки A плоскости E³ существует однозначно определенный набор (l₁, l₂, l₃, l₄) такой, что A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃+ l₄A₄ и l₁ +l₂ +l₃ + l₄ = 1.
Доказательство (??? самостоятельно ***).

Определим отображение b: E³ ® { (l₁, l₂, l₃, l₄) | l₁, l₂, l₃, l₄Î R, ₁ +l₂ +l₃ + l₄ = 1} (°) по следующей формуле: b (A) = (l₁, l₂, l₃, l₄), если A = l₁A₁ +l₂A₂ +l₃A₃+ l₄A₄.

Определение. Отображение b (°) будем назвать барицентрической системой координат в пространстве.

Определение. Упорядоченный набор (l₁, l₂, l₃, l₄) такой, что b(A) = (l₁, l₂, l₃, l₄) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (провести самостоятельно).

Примеры применения барицентрической системы координат

Теорема Чевы. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A₁, B₁, C₁ такие, что точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₂.

Тогда для того, чтобы прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m₁ m₂ m₃ = 1.

Доказательство.

Рассмотрим барицентрическую систему координат на плоскости с фиксированным набором точек (A, B, C).

Точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, тогда ее барицентрические координаты таковы, что C₁ = (1- l₁)A + l₁B и m₁ = .

Точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, тогда ее барицентрические координаты таковы, что A₁ = (1- l₂)B + l₂C и m₂ = .

Точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₃, тогда ее барицентрические координаты таковы, что B₁ = (1- l₃)C + l₃A и m₃ = .

1) Пусть прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекались в одной точке - в точке O.

Так как точка O лежит на прямой AA₁, то существует такое число a, что O = (1-a)A + aA₁,

То есть O = (1-a)A + a(1- l₂)B + al₂C (1).

Так как точка O лежит на прямой BB₁, то существует такое число b, что O = (1-b)B + bB₁,

То есть O = (1-b)B + b(1- l₃)C + bl₃A = bl₃A + (1-b)B + b(1- l₃)C (2).

Так как точка O лежит на прямой CC₁, то существует такое число g, что O = (1-g)C + gC₁,

То есть O = (1-g)C + g (1- l₁)A + gl₁B = g (1- l₁)A + gl₁B + (1-g)C (3).

Из равенств (1), (2), (3) (так как барицентрические координаты точки определены однозначно) следует, что bl₃ = g (1- l₁), a(1-l₂) = gl₁, al₂ = b(1-l₃).

Итак, m₁ m₂ m₃ = = = 1.

2) Докажем, что если точки A₁, B₁, C₁ такие, что m₁ m₂ m₃ = 1, то прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Пусть точка O - точка пересечения прямых AA₁и BB₁.

Через точки C и O проведем прямую, и пусть точка C₁’ - точка пересечения прямых CO и AB. Докажем, что точки C₁ и C₁’ совпадают.

Пусть точка C₁’ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁’.

По первой части доказательства, так как прямые прямые AA₁, BB₁ и CC₁’ пересекаются в одной точке, то m₁ m₂ m₃’ = 1.

Следовательно, m₃ = m₃’ и барицентрические координаты точек C₁и С₁’ совпадают, значит совпадают и сами точки.

РИС.18 (1, 2)

Примеры.

Используя теорему Чевы легко доказать (докажите), что медианы (высоты, серединные перпендикуляры к сторонам, биссектрисы углов) в треугольнике пересекаются водной точке.

Теорема Менелая. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A₁, B₁, C₁ такие, что точка C₁ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m₁, точка A₁ делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m₂, точка B₁ делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m₂. Тогда для того, чтобы точки A₁, B₁ и C₁ лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m₁ m₂ m₃ = -1.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы Чевы).

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒