Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Барицентрическая система координат



Барицентрическая система координат на прямой

 

На прямой E1 введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную пару точек (A1, A2).

 

РИС.16

 

Как было показано в §6 каждой точке A прямой E1, на которой отмечены две различные точки A1 и A2, можно однозначно сопоставить число l, в котором эта точка делит отрезок [A1A2], при этом для декартовых координат точек справедливо равенство: .

Обозначение: вместо записи введем формальную запись A = (1-l)A1 + lA2 (*). Эта запись формальна в том смысле, что мы не рассматриваем умножение на число точки или сумму точек, запись вида (*) мы интерпретируем так: «Точка A делит отрезок [A1A2] в отношении l», или так: «Декартовы координаты точек A1, A2, B таковы, что ».

 

Определим отображение b: E1 ® {(l1, l2) | l1, l2 Î R, l1 + l2 = 1} (**) по следующей формуле: b (A) = (l1, l2), если A = l1A1 + l2A2 (то есть точка A делит отрезок [A1 A2] в отношении l2).

 

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (см. § 6).

 

Определение. Отображение b (**) будем назвать барицентрической системой координат на прямой.

 

Определение. Упорядоченный набор (l1, l2) такой, что b(A) = (l1, l2) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

 

Пример. Барицентрические координаты середины отрезка [A1A2] это набор .

 

Барицентрическая система координат на плоскости

На плоскости E2 введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную тройку точек, не лежащих на одной прямой: (A1, A2, A3).

 

Теорема. Для любой точки A плоскости E2 существует однозначно определенный набор (l1, l2, l3) такой, что A = l1A1 +l2A2 +l3A3 и l1 +l2 +l3 = 1.
Доказательство.

1) Существование набора (l1, l2, l3).

1 случай. Прямая AA1 не параллельна прямой A2A3.

Пусть точка B - точка пересечения прямых AA1и A2A3.

Так как точка A лежит на прямой A1B, то существует число m такое, что A = (1-m) A1+ mB.

Так как точка B лежит на прямой A2 A3, то существует число l такое, что B = (1-l) A2+ l A3.

Итак, A = (1-m)A1 + m(1-l)A2 + mlA3.

Пусть l1= 1-m, l2 = m(1-l), l3= ml, тогда A = l1A1 +l2A2 +l3A3 и l1 +l2 +l3 = 1.

 

2 случай. Прямая AA1 параллельна прямой A2A3.

Если прямая AA2 не параллельна прямой A1A3, то повторим доказательство для случая 1, поменяв ролями точки A1 и A2.

Если прямая AA2 параллельна прямой A1A3, то прямая A A3 не параллельна прямой A2A3, и мы повторим доказательство для случая 1, поменяв ролями точки A1 и A3.

 

РИС.17 (1, 2а, 2б)

 

2) Единственность набора (l1, l2, l3).

В п.1 доказательства был предложен способ нахождения набора (l1, l2, l3), докажем, что этот набор (l1, l2, l3) не зависит от способа его получения.

Предположим, что нашелся набор (l1’, l2’, l3’) такой, что A = l1’ A1 +l2 ‘A2 +l3 ‘A3 (ð ) и l1’ +l2 ‘+l3’ = 1.

Равенство вида (ð ) будем понимать с точки зрения декартовых координат точек.

Итак, A = l1’ A1 +l2 ‘A2 +l3 ‘A3 и A = l1A1 +l2A2 +l3A3.

Тогда (l1‘ - l1)A1 + (l2‘ - l2)A2 +(l3‘ - l3)A3= 0.

Докажем, что l1‘= l1, предположим, что это не так, то есть l1‘-l1 ≠ 0.

Тогда . Так как , то получается, что точка A1 делит отрезок [A2A3] в отношении , то есть точка A1 лежит на прямой A2A3, что противоречит выбору точек A1, A2, A3.

Следовательно, наше предположение было не верным и l1‘=l1.

Аналогично доказывается, что l2‘= l2 и l3‘= l3.

 

Определим отображение b: E2 ® {(l1, l2, l3) | l1, l2, l3Î R, l1 + l2 + l3 = 1} (ð ð ) по следующей формуле: b (A) = (l1, l2, l3), если A = l1A1 +l2A2 +l3A3.

 

Определение. Отображение b (ð ð ) будем назвать барицентрической системой координат на плоскости.

 

Определение. Упорядоченный набор (l1, l2, l3) такой, что b(A) = (l1, l2, l3) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

 

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (провести самостоятельно).

Барицентрическая система координат в пространстве

В пространстве E3 введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную четверку точек, не лежащих в одной плоскости: (A1, A2, A3, A4).

 

Теорема. Для любой точки A плоскости E3 существует однозначно определенный набор (l1, l2, l3, l4) такой, что A = l1A1 +l2A2 +l3A3+ l4A4 и l1 +l2 +l3 + l4 = 1.
Доказательство (??? самостоятельно ***).

 

Определим отображение b: E3 ® { (l1, l2, l3, l4) | l1, l2, l3, l4 Î R, 1 +l2 +l3 + l4 = 1} (°) по следующей формуле: b (A) = (l1, l2, l3, l4), если A = l1A1 +l2A2 +l3A3 + l4A4.

 

Определение. Отображение b (°) будем назвать барицентрической системой координат в пространстве.

 

Определение. Упорядоченный набор (l1, l2, l3, l4) такой, что b(A) = (l1, l2, l3, l4) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат b.

 

Теорема. Отображение b является биективным отображением.

Доказательство. (провести самостоятельно).

 

Примеры применения барицентрической системы координат

 

Теорема Чевы. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A1, B1, C1 такие, что точка C1 делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m1, точка A1 делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m2, точка B1 делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m2.

Тогда для того, чтобы прямые AA1, BB1 и CC1 пересекались в одной точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m1 m2 m3 = 1.

Доказательство.

Рассмотрим барицентрическую систему координат на плоскости с фиксированным набором точек (A, B, C).

 

Точка C1 делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m1, тогда ее барицентрические координаты таковы, что C1 = (1- l1)A + l1B и m1 = .

Точка A1 делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m2, тогда ее барицентрические координаты таковы, что A1 = (1- l2)B + l2C и m2 = .

Точка B1 делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m3, тогда ее барицентрические координаты таковы, что B1 = (1- l3)C + l3A и m3 = .

 

1) Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 пересекались в одной точке - в точке O.

Так как точка O лежит на прямой AA1, то существует такое число a, что O = (1-a)A + aA1,

То есть O = (1-a)A + a(1- l2)B + al2C (1).

Так как точка O лежит на прямой BB1, то существует такое число b, что O = (1-b)B + bB1,

То есть O = (1-b)B + b(1- l3)C + bl3A = bl3A + (1-b)B + b(1- l3)C (2).

Так как точка O лежит на прямой CC1, то существует такое число g, что O = (1-g)C + gC1,

То есть O = (1-g)C + g (1- l1)A + gl1B = g (1- l1)A + gl1B + (1-g)C (3).

Из равенств (1), (2), (3) (так как барицентрические координаты точки определены однозначно) следует, что bl3 = g (1- l1), a(1-l2) = gl1, al2 = b(1-l3).

 

Итак, m1 m2 m3 = = = 1.

2) Докажем, что если точки A1, B1, C1 такие, что m1 m2 m3 = 1, то прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Пусть точка O - точка пересечения прямых AA1и BB1.

Через точки C и O проведем прямую, и пусть точка C1’ - точка пересечения прямых CO и AB. Докажем, что точки C1 и C1’ совпадают.

Пусть точка C1’ делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m1’.

По первой части доказательства, так как прямые прямые AA1, BB1 и CC1’ пересекаются в одной точке, то m1 m2 m3’ = 1.

Следовательно, m3 = m3’ и барицентрические координаты точек C1и С1’ совпадают, значит совпадают и сами точки.

 

РИС.18 (1, 2)

 

Примеры.

Используя теорему Чевы легко доказать (докажите), что медианы (высоты, серединные перпендикуляры к сторонам, биссектрисы углов) в треугольнике пересекаются водной точке.

 

Теорема Менелая. Пусть на плоскости дан треугольник ABC, точки A1, B1, C1 такие, что точка C1 делит отрезок AB в отношении «часть к части» равном m1, точка A1 делит отрезок BC в отношении «часть к части» равном m2, точка B1 делит отрезок CA в отношении «часть к части» равном m2. Тогда для того, чтобы точки A1, B1 и C1 лежали на одной прямой необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: m1 m2 m3 = -1.

Доказательство (аналогично доказательству теоремы Чевы).

 

 

 


Поделиться:



Популярное:

  1. A.19. Противопожарная система
  2. A.32.4.5.3. Система УСАВП: тест управления рекуперативным торможением
  3. II. Поселение в Испании. Взаимоотношения вестготов и римлян. Королевская власть. Система управления. Церковная политика.
  4. АВАРИИ НА КОММУНАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ЖИЗНЕОБЕСПЕЧЕНИЯ
  5. Автоматизированная система мониторинга вычислительной среды и обнаружения сетевых атак.
  6. АВТОМАТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ОПОВЕЩЕНИЯ И ТУШЕНИЯ ПОЖАРА АСОТП ИГЛА-М.5К-Т И СКТБ
  7. Административно-территориальное деление и система местного самоуправления США
  8. Адреса координат X Y Z A B C
  9. Антиоксидантная система (АОС).
  10. БАЛАНС ВОДЫ В СИСТЕМАХ ОБОРОТНОГО ВОДОСНАБЖЕНИЯ
  11. Банковская система и монетарная политика.
  12. Банковская система и предложение денег. Центральный банк, его функции. Коммерческие банки. Создание денег банковской системой. Банковский мультипликатор. Денежная база.


Последнее изменение этой страницы: 2016-06-05; Просмотров: 1720; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.028 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь