Цилиндрическая система координат

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 7Следующая ⇒

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

1) Зафиксируем произвольную точку O;

2) Зафиксируем луч l с началом в точке O;

3) Зафиксируем плоскость a, содержащую луч l;

4) Зафиксируем полуплоскость a’ - одну из двух полуплоскостей, на которые плоскость a делит прямая, содержащая луч l;

5) Зафиксируем полупространство П - одно из двух полупространств, на которые плоскость a делит пространство.

Фиксированное полупространство П назовем положительным полупространством.

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O, l, a, a’, П).

В дальнейшем нам удобно будет так же фиксировать прямую, проходящую через точку O (такая прямая существует, и при том только одна), назовем ее осью (Oz). Точка O делит ось (Oz) на два луча, то луч который содержится в положительном полупространстве назовем положительным лучом оси (Oz). Ясно, что если фиксирован набор (O, l, a, П), то однозначно определена ось (Oz) и ее положительный луч.

В плоскости a введем полярную систему координат v_a, на оси (Oz) - декартову систему координат w_z.

РИС 13 (1, 2)

Определим отображение v: E³\ (Oz) ® (0, +¥ )´ [0, 2p)´ R по следующей формуле:

v (A) = (r, j, z) (*),

где (r, j) = v_a (A’) и A’ - проекция точки A на плоскость a,

z = w_z (A_z) и A_z - проекция точки A на ось (Oz).

Замечания.

1) Как мы видим, из пространства исключена ось (Oz). Действительно, если точка A лежит на оси (Oz), то ее проекция на плоскость a - это точка O, для которой не определены полярные координаты.

2) Геометрически, |z| для точки A - это расстояние от этой точки до плоскости a, при этом z > 0, если точка A лежит в фиксированном полупространстве П, и z £ 0 в противном случае.

Определение. Отображение v (*) будем называть цилиндрической системой координат в пространстве.

Определение. Числа r, j и z такие, что v (A) = (r, j, z) будем называть цилиндрическими координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j, z) будем писать A(r, j, z).

Теорема. Цилиндрическая система координат - это биективное отображение.

Доказательство (провести самостоятельно).

Замечание.

В цилиндрической системе координат координатные поверхности r = const - это круговые цилиндры с осью (Oz), координатные поверхности j = const - это перпендикулярные плоскости a полуплоскости с границей (Oz), координатные поверхности z = const - это плоскости параллельные плоскости a или сама плоскость a.

Теорема. (О взаимосвязи декартовых и цилиндрических координат точки).

Пусть в пространстве введены цилиндрическая и декартова системы координат так, начало декартовой системы координат - это фиксированная точка цилиндрической системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), полуплоскость a’ содержит положительный луч оси (Oy), а оси (Oz) систем координат совпадают.

Тогда для любой точки плоскости (кроме точек на оси (Oz)) ее декартовы координаты (x, y, z) выражаются через ее цилиндрические координаты (r, j, z) по следующим формулам: x = r cos j, y = r sin j, z = z, при этом r² = x² + y².

Доказательство (аналогично случаю полярной системы координат).

Сферическая система координат

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

1) Зафиксируем произвольную точку O;

2) Зафиксируем луч l с началом в точке O;

3) Зафиксируем плоскость a, содержащую луч l;

5) Зафиксируем полупространство П - одно из двух полупространств, на которые плоскость a делит пространство.

Фиксированное полупространство П назовем положительным полупространством.

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O, l, a, a’, П).

РИС 14 (1, 2)

В дальнейшем нам удобно будет так же фиксировать прямую, проходящую через точку O (такая прямая существует, и при том только одна), назовем ее осью (Oz).

В плоскости a введем полярную систему координат v_a.

Определим отображение v: E³\ (Oz) ® (0, +¥ )´ [0, 2p)´ по следующей формуле:

v (A) = (r, j, q) (*),

где r = |OA|,

j - вторая полярная координата точки A’ - проекции точки A на плоскость a,

|q| - радианная мера угла Ð A’OA, при этом q > 0, если A Î П, и q £ 0 иначе.

Замечания.

1) Как мы видим, из пространства исключена ось (Oz). Действительно, если точка A лежит на оси (Oz), то ее проекция на плоскость a - это точка O, для которой не определена полярная координата j.

2) Геометрически, |q| для точки A - это угол между прямой OA и плоскостью a.

3) Заметим, что r в данном случае не является полярной координатой точки A’ в отличие от случая цилиндрической системы координат

Определение. Отображение v (*) будем называть сферической системой координат в пространстве.

Определение. Числа r, j и q такие, что v (A) = (r, j, q) будем называть сферическими координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j, q) будем писать A(r, j, q).

Теорема. Сферическая система координат - это биективное отображение.

Доказательство (провести самостоятельно).

Замечание.

В сферической системе координат координатные поверхности r = const - это сферы с центром в точке O, координатные поверхности j = const - это перпендикулярные плоскости a полуплоскости с границей (Oz), координатные поверхности q = const - это круговые конусы с вершиной в точке O.

Теорема. (О взаимосвязи декартовых сферических координат точки).

Пусть в пространстве введены сферическая и декартова системы координат так, начало декартовой системы координат - это фиксированная точка сферической системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), полуплоскость a’ содержит положительный луч оси (Oy), а положительный луч оси (Oz) декартовой системы координат содержится в положительном полупространстве П сферической системы координат.

Тогда для любой точки плоскости (кроме точек на оси (Oz)) ее декартовы координаты (x, y, z) выражаются через ее сферические координаты (r, j, q) по следующим формулам:

x = r cosq cos j, y = r cosq sin j, z = rsinq, при этом r² = x² + y²+z².

Доказательство.

Возьмем произвольную точку A Î E³ \ (Oz), и пусть A(x, y, z) и A(r, j, q).

По условию теоремы совпадают плоскости a и (xOy), и оси (Oz). Рассмотрим проекцию точки A на плоскость a - точку A’.

1 случай. Точка A не лежит в плоскости a.

Тогда точки A и A’ не совпадают.

Из прямоугольного треугольника OAA’: |OA’| = |OA| |cosq|.

Так как q Î , то cosq ³ 0 и |OA’| = r cosq..

В плоскости a введена полярная система координат, и |OA’| - это первая полярная координата точки A’. Тогда x = |OA’| cosj, y = |OA’| sinj (см. § 3)., то есть x = r cosq cos j, y = r cosq sin j.

Третья декартова координата точки A такова, что |z| = |AA’|.

Из прямоугольного треугольника OAA’: |AA’| = |OA| |sinq|.

Заметим, что знаки q и z совпадают (так как одинаково зависят от положения точки A относительно полупространства П), поэтому z = r sinq.

2 случай. Точка A лежит в плоскости a.

Тогда точки A и A’ совпадают, |OA| = |OA’| = r и |AA’| = 0.

Заметим, так же, что q = 0 и z = 0, поэтому равенство z = r sinq выполняется для координат точки A.

Рассуждения для декартовых координат х и y точки A аналогичны случаю 1, то есть x = |OA’| cosj, y = |OA’| sinj. С учетом того, что q = 0 и cosq = 1, получаем, что для координат точки A справедливы и равенства x = r cosq cos j, y = r cosq sin j.

Упражнение.

Пусть в пространстве введена сферическая система координат. Какие линии высекают координатные поверхности j = const и q = const, на каждой из сфер r = const. (Сравните с географическими координатами: широтой и долготой - на глобусе).

Деление отрезка в отношении

Определение. Пусть A и B две различные точки в Eⁿ.

Будем говорить, что точка C делит отрезок AB в отношении l (l Î R), если:

1) Точка C лежит на прямой AB;

2) |AC| = |l| |AB|;

3) l ³ 0, если точка C лежит на луче [AB), и

l < 0, если точка C не лежит на луче [AB).

Пример.

РИС 15 (1, 2, 3, 4)

1) Пусть точка C - середина отрезка AB. Тогда С делит отрезок AB в отношении .

2) Если точка C совпадает с точкой A, то она делит отрезок AB в отношении 0.

3) Если точка C совпадает с точкой B, то она делит отрезок AB в отношении 1.

4) Если точка C такова, что точка A - это середина отрезка CB, то она делит отрезок AB в отношении (-1).

Замечания.

(1) В данном определении порядок точек A и B важен. Если точка C делит отрезок AB в отношении l, то она делит отрезок BA в отношении (1-l) ( докажите).

(2) Точка C лежит на отрезке [AB] тогда, и только тогда, когда точка C делит отрезок [AB] в отношении l и 0 £ l £ 1.

Лемма.

1) Для любых двух различных точек A и B, и для любой точки С на прямой AB существует такое число l, что точка C делит отрезок AB в отношении l.

2) Для любых двух различных точек A и B, и для любого числа l существует точка C на прямой AB такая, что точка C делит отрезок AB в отношении l.

Доказательство. (провести самостоятельно)

Пусть в Eⁿ введена декартова система координат.

Теорема. Точка C делит отрезок AB в отношении l тогда, и только тогда, когда справедливо следующее равенство _C = (1 - l) _A + l _B, где _A- координаты точки A, _B - координаты точки B, _C - координаты точки C.

Доказательство.

i) Докажем теорему для точек прямой (для E¹).

1) Пусть точка C делит отрезок AB в отношении l.

1 случай. x_A < x_B, то есть |AB| = x_B - x_A.

- Если точка C не лежит на луче [AB), то l < 0, x_C < x_A и |AC| = x_A - x_C.

Так как по определению |AC| = |l| |AB|, то x_A - x_C = - l (x_B - x_A), тогда x_C = (1-l)x_A + lx_B.

- Если точка C лежит на луче [AB), то l > 0, x_C ³ x_A и |AC| = x_C - x_A.

Так как по определению |AC| = |l| |AB|, то x_C - x_A = l (x_B - x_A), тогда x_C = (1-l)x_A + lx_B.

2 случай. x_B < x_A, то есть |AB| = x_A - x_B (аналогичен случаю 1)

2) Пусть координаты точек A, B и C таковы, что x_C = (1-l)x_A + lx_B, тогда

x_C - x_A = l (x_B - x_A).

2 случай. x_B < x_A, то есть |AB| = x_A - x_B (аналогичен случаю 1)

Возьмем точку D, которая делит отрезок AB в отношении l. Тогда, как уже доказано, ее координаты подчиняются соотношению x_D = (1-l)x_A + lx_B., то есть x_D =x_C.

Так как декартова система координат устанавливает биективное соответствие между точками прямой и множеством действительных чисел, то из равенства координат точек D и C следует, что они совпадают, то есть точка C делит отрезок AB в отношении l.

ii) Докажем теорему для точек плоскости (для E²).

1 случай. Прямая AB не параллельна ни одной из координатных осей.

Пусть точки A’, B’- проекции точек A и B на координатную ось (Ox),

точки A’’, B’’ проекции точек A и B на координатную ось (Oy).

1) Пусть точка C делит отрезок AB в отношении l, и точки C’, C’’ - проекции точки C на оси (Ox), (Oy) соответственно.

Тогда точка C’ делит отрезок A’B’ (и точка C’’ делит отрезок A’’B’’) в отношении l, поэтому по пункту (i) x_C = (1-l)x_A + lx_B и y_C = (1-l)y_A + ly_B.

2) Пусть точка C такова, что для ее координат _Cсправедливо равенство

_C = (1 - l) _A + l _B.

Возьмем точку D, которая делит отрезок AB в отношении l. Тогда, как уже доказано, ее координаты подчиняются соотношению _D = (1 - l) _A + l _B, то есть _D = _C.

Так как декартова система координат устанавливает биективное соответствие между точками плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел, то из равенства координат точек D и C следует, что они совпадают, то есть точка C делит отрезок AB в отношении l.

2 случай. Прямая AB параллельна одной из координатных осей.

Пусть прямая AB параллельна оси (Ox). Тогда для всех точек прямой координаты по оси (Oy) равны между собой, поэтому достаточно доказать теорему для координат точек по оси (Ox). Повторим доказательство 1-го случая, рассматривая только проекции на ось (Ox).

Если прямая AB параллельна оси (Oy), то рассуждения аналогичны.

iii) Докажем теорему для точек пространства (для E³).

Доказательство аналогично представленному в пункте (ii).

Пример.

Точка C является серединой отрезка AB тогда, и только тогда, когда _C = .

Замечание (О делении в отношении «часть к части»).

Существует и другой способ определения деления отрезка в отношении, мы его для определенности назовем «делением часть к части»:

Точка С делит отрезок AB в «отношении часть к части» m (m Î R), если:

1) Точка C лежит на прямой AB;

2) |AC| = |m| |CB|;

3) m ³ 0, если точка C лежит на отрезке [AB],

и m < 0, если точка C не лежит на отрезке [AB].

При таком определении:

m ≠ -1 и для точки B не определено «ношение часть к части» в котором она делит отрезок AB (то есть точка C не может совпадать с точкой B);

m < -1, если точки A и C лежат по разные стороны от точки B;

-1 < m < 0, если точки B и C лежат по разные стороны от точки A.

Для деления отрезка в «отношении часть к части» можно доказать следующую теорему: Точка C делит отрезок AB в «отношении часть к части» m тогда, и только тогда, когда справедливо следующее равенство _C = , где _A- координаты точки A, _B - координаты точки B, _C - координаты точки C.

Взаимосвязь двух определений деления в отношении отрезка отражена в следующей теореме: Пусть точка C делит отрезок AB в отношении l, и делит этот отрезок в «отношении часть к части» m, тогда m = и l = .

Упражнения.

1) Докажите теоремы из вышеописанного замечания.

2) Докажите, что точка является центром тяжести треугольника (точкой пересечения медиан этого треугольника) тогда, и только тогда, когда ее координаты являются средним арифметическим координат вершин этого треугольника.

⇐ Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая ⇒