Гиперболический параболоид (седло)

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 9

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 (°°) (где a > 0, b > 0).

1) По уравнению (°°) видно, что гиперболический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей (xOz) и (yOz) и координатной оси (Oz).

2) Сечения плоскостями z = z₀(z₀- константа).

z = 0 (плоскость (xOy)):

- две пересекающиеся в начале координат прямые, которые в плоскости (xOy) задаются уравнениями y = x;

z = z₀, z₀ < 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = - z₀) - гипербола с действительной полуосью lb и мнимой полуосью la, асимптоты этой гиперболы - это прямые, которые в плоскости z = z₀ задаются уравнениями y = x.

При этом чем больше по модулю значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb гиперболы, тем дальше друг от друга вершины гиперболы.

z = z₀, z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = z₀) - гипербола с действительной полуосью la и мнимой полуосью lb, асимптоты этой гиперболы - это прямые, которые в плоскости z = z₀ задаются уравнениями y = x.

При этом чем больше значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb гиперболы, тем дальше друг от друга вершины гиперболы.

РИС. 61 сечения гиперболического параболоида плоскостью (xOy)

и плоскостями ей параллельными

3) Сечения плоскостями x = x₀(x₀- константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены «вниз» (относительно положительной полуоси (Oz));

x = x₀, x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены «вниз» (относительно положительной полуоси Oz));

Заметим, что от значения x₀, не зависит форма параболы, в сечении плоскостями параллельными плоскости (yOz) мы получаем равные параболы, вершины которых с ростом значения x₀ смещаются вверх вдоль оси (Oz).

4) Сечения плоскостями y = y₀(y₀- константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

- парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси (Oz));

x = x₀, x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси Oz));

Заметим, что от значения y₀, не зависит форма параболы, в сечении плоскостями параллельными плоскости (xOz) мы получаем равные параболы, вершины которых с ростом значения y₀ смещаются вниз вдоль оси (Oz).

РИС. 62 гиперболический параболоид

Прямолинейные образующие гиперболического параболоида

Теорема.

Для любого гиперболического параболоида существуют два семейства прямых, такие что: (1) Любая прямая каждого семейства полностью лежит на параболоиде;

(2) Через каждую точку параболоида проходит ровно одна прямая из каждого семейства;

(3) Любые две прямые из одного семейства скрещиваются;

(4) Любые две прямые из разных семейств пересекаются.

Определение.. Прямую семейства, обладающего свойствами (1), (2), будем называть прямолинейной образующей.

Доказательство теоремы.

Введем декартову систему координат так, чтобы гиперболический параболоид задавался каноническим уравнением: .

Рассмотрим два семейства прямых:

Семейство (I): (*) (где l - действительный параметр),

Семейство (II): (**) (где µ - действительный параметр).

Докажем, что (I) и (II) семейства обладают свойствами (1) – (4).

(1) Докажем, что любая прямая из (I) лежит на гиперболическом параболоиде (для семейства (II) аналогично).

Пусть прямая l принадлежит семейству (I). Тогда существует такое число l, что прямая l задается системой (*)

Возьмем точку M(x, y, z) на прямой l, тогда ее координаты удовлетворяют системе (*) и, следовательно , значит, точка M лежит на параболоиде.

(2) Пусть точка M(x₀, y₀, z₀) лежит на параболоиде, то есть .

Возьмем l = . Прямая из семейства (I), которая задается системой (*), проходит через точку M (так как координаты (x₀, y₀, z₀) удовлетворяют данной системе).

Аналогично, возьмем µ = . Прямая семейства (II), которая задается системой (**), проходит через точку M.

(3) Исследуем взаимное расположение двух прямых из семейства (I) (семейство (II) аналогично).

Заметим, что различным значениям параметра l соответствуют различные прямые семейства (I), и наоборот, различным прямым семейства (I) соответствую различные значения параметра l.

Найдем направляющий вектор прямой семейства (I): t = = .

Пусть l₁ и l₂ две различные прямые из (I), l₁ и l₂ соответствующие им параметры (l₁≠ l₂), t₁ и t₂ – направляющие векторы этих прямых (соответственно)..

1.Векторы t₁ и t₂ не коллинеарны, так как , следовательно, прямые l₁ и l₂ не параллельны;

2. Система не имеет решений, следовательно, прямые l₁ и l₂ не имеют общих точек.

Итак, прямые l₁ и l₂ не параллельны и не имеют общих точек, то есть l₁ и l₂ скрещиваются.

(4) Исследуем взаимное расположение двух прямых из разных семейств.

Пусть прямая l из семейства (I) и задается системой (*), прямая m из семейства (II) и задается системой (II).

Система имеет единственное решение , , ,

следовательно, прямые l и m пересекаются.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89