Исследование поверхностей второго порядка

(методом сечений)

Эллипсоид

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 1 (*) (где a > 0, b > 0, c > 0).

Уравнение (*) называется каноническим уравнением эллипсоида, и именно по этому уравнению мы будем исследовать форму эллипсоида.

1) По уравнению (*) видно, что эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

Действительно, если точка M(x, y, z) принадлежит эллипсоиду, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению (*), то и точки M₁(-x, y, z), M₂(x, -y, z), M₃(x, y, -z), M₄(-x, -y, z), M₅(-x, y, -z), M₆(x, -y, -z) и M₇(-x, -y, -z) принадлежат эллипсоиду, так как их координаты удовлетворяют уравнению (*).

2) По уравнению (*) видно, что для координат точек эллипсоида справедливы неравенства: | x | £ a, | y | £ b, | z | £ c, то есть эллипсоид рассоложен внутри прямоугольного параллелепипеда, заданного системой неравенств .

РИС. 49 (1, 2, 3)

3) Сечения плоскостями z = z₀.

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай 0 £ z₀ £ c.

z = 0 (плоскость (xOy)):

- эллипс с полуосями a и b;

z = c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- точка с координатами (0, 0, c);

z = z₀, 0 < z₀ < c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = ) -

- эллипс с полуосями la и lb.

При этом, чем ближе значение z₀ к c, тем ближе l к нулю, то есть тем меньше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.

4) Сечения плоскостями x = x₀.

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай 0 £ x₀ £ a.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- эллипс с полуосями b и с;

x = a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- точка с координатами (a, 0, 0);

x = x₀, 0 < x₀ < a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = ) -

- эллипс с полуосями lb и lc.

При этом, чем ближе значение x₀ к a, тем ближе l к нулю, то есть тем меньше полуоси lb и lc эллипса, который мы получаем в сечении.

5) Сечения плоскостями y = y₀.

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай 0 £ y₀ £ b.

y = 0 (плоскость (xOz)):

- эллипс с полуосями a и с;

y = b (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

- точка с координатами (0, b, 0);

y = y₀, 0 < y₀ < b (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

Û (где l > 0, l² = ) -

- эллипс с полуосями la и lc.

При этом, чем ближе значение y₀ к b, тем ближе l к нулю, то есть тем меньше полуоси la и lc эллипса, который мы получаем в сечении.

РИС. 50

эллипсоид

Замечания.

1) При a = b = c эллипсоид - это сфера с центром в начале координат и радиусом a.

2) При a = с эллипсоид является эллипсоидом вращения, получается вращением эллипса , лежащего в плоскости (xOy), вокруг оси (Oy).

Случаи a = b, b = c аналогичны.

Эллиптический цилиндр

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (**) (где a > 0, b > 0).

1) По уравнению (**) видно, что эллиптический цилиндр симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) По уравнению (**) видно, что для координат точек эллиптического цилиндра справедливы неравенства: | x | £ a, | y | £ b.

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ - константа).

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- эллипс с полуосями a и b.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением эллиптического цилиндра являются равные эллипсы с полуосями a и b, центры которых лежат на оси (Oz).

4) Сечения плоскостями x = x₀(x₀ - константа).

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай 0 £ x₀ £ a.

x = 0 (плоскость (yOz)):

Û - две параллельные прямые;

x = a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û - прямая;

x = x₀, 0 < x₀ < a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = ) - две параллельные прямые.

Заметим, что в сечении мы получаем прямые параллельные оси (Oz), то есть все эти прямые попарно параллельны (принадлежат одному параллельному пучку).

5) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен предыдущему).

РИС. 51 эллиптический цилиндр

Замечания.

1) При a = b эллиптический цилиндр является эллиптическим цилиндром вращения, получается вращением прямой, лежащей в плоскости (yOz) и параллельной оси (Oz), вокруг оси (Oz).

2) Сечения плоскостями x = const и y = const - прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими эллиптического цилиндра.

Гиперболический цилиндр

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (***) (где a > 0, b > 0).

1) По уравнению (***) видно, что гиперболический цилиндр симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) По уравнению (***) видно, что для координат точек гиперболического цилиндра справедливы неравенства: | x | ³ a.

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ - константа).

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением гиперболического цилиндра являются равные гиперболы.

4) Сечения плоскостями x = x₀(x₀ - константа).

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ a.

x = a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û - прямая;

x = x₀, x₀ > a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = ) - две параллельные прямые.

5) Сечения плоскостями y = y₀(y₀ - константа).

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

Û - две параллельные прямые;

y = y₀, (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

Û (где l > 0, l² = ) - две параллельные прямые.

РИС. 52 гиперболический цилиндр

Замечание.

Сечения плоскостями x = const и y = const - прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими гиперболического цилиндра.

Параболический цилиндр

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида (***) (где a > 0).

1) По уравнению (***) видно, что параболический цилиндр симметричен относительно координатной плоскости (yOz) и координатной оси (Oy).

2) По уравнению (***) видно, что для координат точек параболического цилиндра справедливо неравенство: y ³ 0, то есть параболический цилиндр расположен не левее плоскости (xOz).

3) Сечения плоскостями z = z₀ (z₀ - константа).

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

(плоскость (xOy) или плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- парабола.

То есть во всех плоскостях параллельных плоскости (xOy) и в самой плоскости (xOy) сечением параболического цилиндра являются равные параболы, вершины которых лежат на оси (Oz).

4) Сечения плоскостями x = x₀(x₀ - константа).

Согласно пунктам 1, 2 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- прямая - ось (Oz);

x = x₀(плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- прямая параллельная оси (Oz)/

5) Сечения плоскостями y = y₀(y₀ - константа).

Согласно пункту 2 достаточно рассмотреть случай y₀ ³ 0.

y = 0 (плоскость (xOz)):

Û - прямая - ось (Oz);

y = y₀, y₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (xOz)):

Û - две прямые, параллельные оси (Oz).

РИС. 53 параболический цилиндр

Замечание.

Сечения плоскостями x = const и y = const - прямые из одного параллельного пучка, эти прямые называют прямолинейные образующими параболического цилиндра.

Конус

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 (ð ) (где a > 0, b > 0, c > 0).

Уравнение (ð ) называется каноническим уравнением конуса.

1) По уравнению (ð ) видно, что конус симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) Сечения плоскостями z = z₀(z₀- константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

z = 0 (плоскость (xOy)):

- точка (0, 0, 0) - начало координат;

z = z₀, z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = ) - эллипс с полуосями la и lb.

При этом чем больше значение z₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси la и lb эллипса, который мы получаем в сечении.

3) Сечения плоскостями x = x₀(x₀- константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- две пересекающиеся в начале координат прямые y = в плоскости (yOz);

x = x₀, x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = ) - гипербола с действительной полуосью lb и мнимой полуосью lc (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости x = x₀).

При этом, чем больше значение x₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси lb и lc гиперболы, тем дальше вершины гиперболы друг от друга.

4) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 3, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 55. конус

Замечания.

1) При a = b конус является конусом вращения (сечения, рассмотренные в п 2, будут окружностями), и получается вращением прямой y = z, лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).

2) Через каждую точку конуса проходит ровно одна прямая, которая лежит на конусе (докажите самостоятельно) Прямую, лежащую на конусе, называют прямолинейной образующей конуса.

Однополостный гиперболоид

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 1 (ð ð ) (где a > 0, b > 0, c > 0).

1) По уравнению (ð ð ) видно, что однополостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

РИС. 56 (1, 2, 3)

2) Сечения плоскостями z = z₀(z₀- константа).

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ 0.

z = 0 (плоскость (xOy)):

- эллипс с полуосями a и b;

z = z₀, z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = 1 + ) - эллипс с полуосями la и lb.

Итак, в сечении однополостного гиперболоида плоскостями параллельными плоскости (xOy) или самой плоскостью (xOy) мы получаем эллипсы, при этом в сечении плоскостью (xOy) получаем эллипс с наименьшими полуосями, этот эллипс будем называть горловым эллипсом однополостного гиперболоида.

3) Сечения плоскостями x = x₀(x₀- константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- гипербола с действительной полуосью b и мнимой полуосью c (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости (yOz));

x = x₀, 0 < x₀ < a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = 1 - ) - гипербола с действительной полуосью lb и мнимой полуосью lc (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости x = x₀).

При этом, чем ближе значение x₀ к a, тем меньше значение l, то есть тем меньше полуоси lb и lc гиперболы, тем ближе вершины гиперболы друг к другу.

x₀ = a(плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- две пересекающиеся в точке (a, 0, 0) прямые z = y в плоскости x = a.

x = x₀, x₀ > a (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = - 1) - гипербола с действительной полуосью lc и мнимой полуосью lb (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости x = x₀).

При этом, чем больше значение x₀, тем больше значение l, то есть тем больше полуоси lc и lb гиперболы, тем дальше вершины гиперболы друг от друга.

4) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 3, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 57 однополостный гиперболоид

Замечание.

При a = b однополостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, получается вращением гиперболы , лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).

Двуполостный гиперболоид

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = -1 (ð ð ð ) (где a > 0, b > 0, c > 0).

1) По уравнению (ð ð ð ) видно, что двуполостный гиперболоид симметричен относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат.

2) По уравнению (ð ð ð ) видно, что для координат точек двуполостного гиперболоида справедливо неравенство | z | ³ c.

3) Сечения плоскостями z = z₀(z₀- константа).

Согласно пунктам 1 и 2 достаточно рассмотреть случай z₀ ³ c.

z = c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

- точка на оси (Oz) с координатами (0, 0, c);

z = z₀, z₀ > c (плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = - 1) - эллипс с полуосями la и lb.

4) Сечения плоскостями x = x₀(x₀- константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- гипербола с действительной полуосью c и мнимой полуосью b (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости (yOz));

x = x₀, x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

Û (где l > 0, l² = 1+ ) - гипербола с действительной полуосью lc и мнимой полуосью lb (асимптоты гиперболы - это прямые z = y в плоскости x = x₀).

5) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 4, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 58 двуполостный гиперболоид

Замечание.

При a = b двуполостный гиперболоид является гиперболоидом вращения, получается вращением гиперболы , лежащей в плоскости (yOz), вокруг оси (Oz).

Замечание.

Введем следующее обозначение: F(x, y, z) = . Тогда уравнения F(x, y, z) = 0, F(x, y, z) = 1, F(x, y, z) = - 1 задают (соответственно) конус, однополостный и двуполостный гиперболоиды. При этом при достаточно больших по модулю значениях переменных x и y, значения переменных z для точек, лежащих на конусе и гиперболоидах, отличаются мало (Пусть M(x, y, z) - точка на конусе, M’(x, y, z’) - точка на однополостном гиперболоиде, M’’(x, y, z’’) - точка на двуполостном гиперболоиде, тогда при x ® ¥, y ® ¥ |z - z’| ® 0 и | z - z’’| ® 0). Конус, который задается уравнением F(x, y, z) = 0, будем называть асимптотическим для гиперболоидов, которые задаются уравнениями F(x, y, z) = ± 1.

рис.59 гиперболоиды и асимптотический конус

Эллиптический параболоид

- поверхность второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат задается уравнением вида = 0 (°) (где a > 0, b > 0).

Уравнение (°) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.

1) По уравнению (°) видно, что эллиптический параболоид симметричен относительно координатных плоскостей (xOz) и (yOz) и координатной оси (Oz).

2) По уравнению (°) видно, что для координат точек эллиптического параболоида справедливо неравенство z ³ 0, то есть эллиптический параболоид весь расположен по одну сторону от плоскости (xOy).

3) Сечения плоскостями z = z₀, z₀ ³ 0.

z = 0 (плоскость (xOy)):

- точка (0, 0, 0) - начало координат;

z = z₀, z₀ > 0(плоскость параллельная плоскости (xOy)):

Û (где l > 0, l² = z₀) - эллипс с полуосями la и lb.

4) Сечения плоскостями x = x₀(x₀- константа)..

Согласно пункту 1 достаточно рассмотреть случай x₀ ³ 0.

x = 0 (плоскость (yOz)):

- парабола с вершиной в начале координат, ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси (Oz));

x = x₀, x₀ > 0 (плоскость параллельная плоскости (yOz)):

- парабола с вершиной в точке , ветви которой направлены «вверх» (относительно положительной полуоси (Oz)).

Заметим, что от значения x₀, не зависит форма параболы, в сечении плоскостями параллельными плоскости (yOz) мы получаем равные параболы, вершины которых с ростом значения x₀ смещаются вверх вдоль оси (Oz).

5) Сечения плоскостями y = y₀ (случай аналогичен п. 4, рассмотреть самостоятельно)

РИС. 60 эллиптический параболоид

Замечание.

При a = b конус является конусом вращения (сечения, рассмотренные в п. 3, будут окружностями), и получается вращением параболы вокруг свое оси (вокруг оси (Oz)).

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 789 Следующая ⇒