Расстояние от точки до плоскости

 

Пусть в декартовой системе координат плоскость a задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Найдем расстояние от точки M(x₀, y₀, z₀) до плоскости a.

Расстояние от точки M до плоскости a – это длина перпендикуляра HM (H Î a, HM ^ a).

 

Вектор и вектор нормали к плоскости a коллинеарны, так что | | = | | | | и | | = .

Пусть координаты точки H (x, y, z).

Так как точка H принадлежит плоскости a, то Ax + By + Cz + D = 0 (*).

Координаты векторов и следующие: = (x₀ - x, y₀ - y, z - z₀), = (A, B, C).

| | = = = (D = -Ax – By - Cz, см. (*))

 

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Пусть плоскость a задана в декартовой системе координат общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Тогда расстояние от точки M(x₀, y₀, z₀) до данной плоскости вычисляется по формуле: r (M; a) = .

 

Упражнения.

1) Напишите уравнение сферы, касающейся плоскости 2x – y + z = 0, с центром в точке Q(1, -2, 4).

 

2) Напишите уравнения двух плоскостей, которые делят двугранные углы, образованные пересекающимися плоскостями x + y - z = 0 и 3x - y + 2 = 0, пополам

 

 

§ 31. Аналитическое задание прямой в пространстве

 

Пусть в пространстве зафиксирована декартова система координат.

 

Задание общими уравнениями

Пусть l – прямая.

Существуют две различные плоскости, проходящие через прямую l.

Пусть a и b - плоскости, такие, что l = a Ç b.

Пусть плоскости a и b в декартовой системе координат заданы общими уравнениями:

a: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, b: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0 (векторы нормалей к данным плоскостям = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) не коллинеарны).

Тогда прямая l будет задаваться системой: (*)(см. § 22)

Итак, мы доказали следующую теорему:

 

Теорема. Любая прямая в пространстве в декартовой системе координат может быть задана системой уравнений вида (так, что векторы = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) не коллинеарны).

 

Докажем теперь и обратное (то есть, что система двух линейных «непропорциональных» уравнений в декартовой системе координат задает некоторую прямую).

 

Теорема. Любая система уравнений вида (такая, что векторы = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) не коллинеарны) в пространстве в декартовой системе координат задает некоторую прямую.

Доказательство.

Каждое из двух линейных уравнений системы (*) задает в пространстве плоскость (см. §28). Векторы = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) - это векторы нормалей к этим плоскостям, так как векторы и не коллинеарны, то и данные плоскости не параллельны и не совпадают, то есть пересекаются. В пространстве данные две плоскости пересекаются по прямой, которая по предыдущей теореме и задается системой (*).

 

Замечания.

1) Можно доказать, что и в аффинной системе координат в пространстве любая прямая задается системой вида (*), и наоборот, любая система вида (*) задает прямую; но для произвольной аффинной системы координат коэффициенты в линейных уравнениях не будут задавать векторы нормалей к плоскостям.

2) Пусть прямая l = a Ç b, и плоскости a и b в декартовой системе координат заданы общими уравнениями: a: A₁x + B₁y + C₁z + D₁ = 0, b: A₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

Тогда векторы нормалей к этим плоскостям: = (A₁, B₁, C₁) и = (A₂, B₂, C₂) - будут перпендикулярны направляющему вектору прямой, то есть вектор ´ можно принять за направляющий вектор прямой l.

 

 

31. 2. Параметрическое задание прямой

Пусть l – прямая, вектор = (m, n, k) – направляющий вектор прямой l, и пусть точка M₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит прямой l.

 

Для любой точки M(x, y, z) прямой l вектор коллинеарен направленному отрезку . Так как ≠ q, то существует такое число t Î R, что = t . Запишем последнее равенство в координатах: x - x₀ = mt, y - y₀ = nt, z - z₀ = kt. Итак, для координат точки M справедливы равенства: (**)

 

Возьмем теперь точку N(x, y, z), координаты которой удовлетворяют системе (**), то есть существует такое значение t Î R, при котором оба равенства в системе (**) верны для данных x, y и z.Так как = (x - y₀, y - y₀, z - z₀), то из равенства (**) следует, что = t , то есть | | , значит точка N лежит на прямой l.

Итак, мы доказали следующую теорему:

 

Теорема. Любая прямая в пространстве в декартовой системе координат может быть задана системой вида (m² + n² + k² ≠ 0), где (m, n, k) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀, z₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

 

Докажем теперь и обратное.

 

Теорема. Любая система уравнений вида (m² + n² + k² ≠ 0) в пространстве в декартовой системе координат задает некоторую прямую, при этом (m, n, k) – координаты направляющего вектора прямой, (x₀, y₀, z₀) – координат точки, принадлежащей данной прямой.

Доказательство.

Заметим, что (x₀, y₀, z₀) - это решение системы (**) (при t = 0).

Существует прямая с направляющим вектором = (m, n, k), проходящая через точку M₀(x₀, y₀, z₀). По предыдущей теореме такая прямая задается системой (**).

 

Замечание.

Можно доказать две предыдущие теоремы и для аффинной системы координат в пространстве.

 

Определение. Систему уравнений вида (m² + n² + k² ≠ 0) будем назвать параметрическим заданием прямой, а букву t в этой системе параметром.

 

 

⇐ Предыдущая123456789Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Алгоритм вычисления расстояния рабочей точки до границы помпажа
2. АНТРОПОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЧКИ ГОЛОВЫ ЧЕЛОВЕКА
3. Библейских персонажей, совершавших довольно странные поступки с точки зрения христианской морали.
4. БИОЛОГИЧЕСКИ АКТИВНЫЕ ТОЧКИ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В ЛОГОПЕДИЧЕСКОМ МАССАЖЕ
5. Взаимное положение прямых линий. Конкурирующие точки
6. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
7. Влияние человека на ход эволюционных проектов. Загрязнение окружающей среды и проблемы охраны природы с точки зрения эволюционной теории.
8. Вопрос 1: Допустима ли манипуляция с этической точки зрения?
9. ДАВЛЕНИЕ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ («КНОПКИ»)
10. Дан тетраэдр DАВC. Точки М, N, Р являются серединами ребер DА, DВ, DС. Доказать, что плоскости МNР и АВС параллельны.
11. ДВЕНАДЦАТЬ СТУЛЬЕВ» И.ИЛЬФА И Е.ПЕТРОВА: САТИРИЧЕСКАЯ ПАНОРАМА ЖИЗНИ И СВОЕОБРАЗИЕ ТОЧКИ ЗРЕНИЯ.
12. Декартова система координат на плоскости