Полярные уравнения кривых второго порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

Пусть кривая g - это эллипс, гипербола или парабола, точка F - фокус кривой g, прямая d - соответствующая этому фокусу директриса, e - эксцентриситет кривой g.. Как было доказано в § 37: M Î g Û = e.

Введем полярную систему координат (r, j) так, чтобы точка F была полюсом, а полярная ось l была бы перпендикулярна директрисе d, и кривая g лежала бы с фокусом F по одну сторону от прямой d.

РИС. 47

Пусть M(r, j) - точка плоскости такая, что M ≠ F и M Ï d.

Пусть l’ - прямая, содержащая ось l,

точка N - основание перпендикуляра из точки M на прямую d (MN ^ d, N Î d),

точка M’ - основание перпендикуляра из точки M на прямую l’ (MM’ ^ l’, M’ Î l’),

точка N’ - точка пересечения прямых l’ и d.

РИС. 48 (1, 2)

1 случай. j £ или j ³ 3

Из треугольника FMM’: |FM’| = r cosj.

|M’N’| = |FN’| + |FM| = |FN’| + r cosj

2 случай. < j < 3

Из треугольника FMM’: |FM’| = - r cos j.

|M’N’| = |FN’| - |FM| = |FN’| + r cosj

Так как |FN’| - это расстояние от фокуса кривой до директрисы, то это величина фиксированная для кривой g и однозначно определена, обозначим ее через p: |FN’| = p.

Заметим, что |MN| = | M’N’|.

Итак, для точки M справедливо следующее |MN| = p + r cos j.

1) Пусть M (r, j)Î g, тогда то = e.

С другой стороны |FM| = r, то есть |MN| = er.

Итак, er = p + r cosj, откуда r = .

2) Пусть точка M(r, j) такова, что r = . Докажем, что она принадлежит кривой g. Для этого, достаточно показать, что = e, то есть = e.

Так как r = , то r - er cosj = ep.

Собрем слагаемые с e в одной части равенства, и разделим равенство на e:

= p + r cosj.

Так как |MN| = p + r cosj, то мы получаем: = |MN|, то есть = e.

Итак, мы доказали следующую теорему:

Теорема. Эллипс, гипербола или парабола может быть задана в полярной системе координат уравнением вида r = , где e - эксцентриситет данной кривой, p - расстояние между фокусом кривой и соответствующей этому фокусу директрисой; при этом фокус кривой является полюсом полярной системы координат.

Замечание.

В качестве параметра p иногда фокусируют другую величину, а именно |FF’|, где F’ Î g и FF’ ^ l’. Можно показать, что |FF’| = ep, так что для параболы полярное уравнение с таким параметром будет таким же, а для эллипса и гиперболы примет вид: r = .

Упражнения.

1) Исследуйте, какие значения может принимать j в уравнении кривой второго порядка (Указание. Отдельно рассмотрите уравнения эллипса, гиперболы, параболы).

2) Выведите формулу для вычисления параметра p по каноническому уравнению кривой второго порядка.

Поверхности второго порядка

Классификация поверхностей второго порядка

Определение. Поверхностью второго порядка в пространстве будем называть множество точек, которое в некоторой декартовой системе координат может быть задано алгебраическим уравнением второго порядка, то есть уравнением вида

a₁₁x² + a₂₂y²+ a₃₃z² + 2a₁₂xy + 2a₁₃xz + 2a₂₃yz + 2b₁x + 2b₂y + 2b₃z + c = 0 (*), где a₁₁² + a₂₂²+ a₃₃²+ a₁₂² + a₁₃² + a₂₃²≠ 0.

Лемма (о корректности определения).

Понятие поверхности второго порядка не зависит от выбора декартовой системы координат, то есть если некоторое множество задается алгебраическим уравнением второго порядка в некоторой декартовой системе координат, то и в любой другой декартовой системе координат это множество задается алгебраическим уравнением второго порядка.

Доказательство.

Аналогично случаю кривых второго порядка

Теорема (о классификации поверхностей второго порядка ) (Без доказательства)

Для любой поверхности второго порядка существует декартова система координат такая, что уравнение данной кривой в этой системе будет иметь один из следующих видов (и других поверхностей второго порядка не существует):

№ п.п.	уравнение	название
	= 1, a > 0, b > 0, c > 0	эллипсоид
	= 0, a > 0, b > 0, c > 0	точка (начало координат O (0, 0, 0)
	= -1, a > 0, b > 0, c > 0	Æ
	= 1, a > 0, b > 0, c > 0	однополостный гиперболоид
	= 0, a > 0, b > 0, c > 0	конус
	= -1, a > 0, b > 0, c > 0	двуполостный гиперболоид
	= 0, a > 0, b > 0	эллиптический параболоид
	= 0, a > 0, b > 0	гиперболический параболоид
	, a > 0, b > 0	эллиптический цилиндр
	, a > 0, b > 0	прямая (ось (Oz))
	, a > 0, b > 0	Æ
	, a > 0, b > 0	гиперболический цилиндр
	, a > 0, b > 0	две пересекающиеся плоскости ( )
	, a > 0	параболический цилиндр
	, a > 0	две параллельные плоскости ( )
	, a > 0	плоскость ( )
	, a > 0	Æ

Определение. Уравнения, указанные в таблице теоремы классификации, принято называть каноническими уравнениями поверхностей второго порядка.

Определение. Сечением поверхности второго порядка будем называть пересечение этой поверхности и некоторой плоскости.

Лемма. Любое сечение поверхности второго порядка - это кривая второго порядка.

Доказательство.

1) Рассмотрим сечение поверхности, заданной уравнением (*) плоскостью z = 0.

Ясно, что в плоскости z = 0 мы получим кривую второго порядка, заданную уравнением a₁₁x² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2b₁x + 2b₂y + c = 0.

2) Рассмотрим сечение поверхности второго порядка плоскостью a.

Существует преобразование декартовой системы координат такое, что плоскость a будет задаваться в новой системе координат уравнением z = 0 (то есть плоскость a будет совпадать с плоскостью (Oxy)). Так что сечение поверхности второго порядка плоскостью a будет так же кривой второго порядка.

Замечание. Факт, изложенный в предыдущей лемме, лежит в основе изучения поверхностей второго порядка методом сечений. По тому, какие сечения мы можем получить, можно составить представление о форме поверхности.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 9 Следующая ⇒