Метод максимального правдоподобия (ММП)

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 7Следующая ⇒

В соответствии с ММП, в качестве оценок параметров закона распределения величины , берут такие значения , при которых вероятность получить данную выборку из генеральной совокупности величины максимальна.

Определим предварительно, что значит " вероятность получить данную выборку". Для ДСВ очевидно:

Для НСВ вероятность отдельного значения случайной величины равна нулю, однако можно считать, что вероятность получить значение , есть вероятность попасть в некоторый малый интервал , содержащий , т.е. . Тогда для НСВ:

Обозначим:

Тогда, вероятность получить выборку :

Так как величина является постоянной, то как для ДСВ, так и для НСВ эта вероятность зависит только от .

Определение. Функция называется функцией правдоподобия.

Функция называется логарифмической функцией правдоподобия.

Как видим, функция правдоподобия - это и есть вероятность того, что случайная величина примет значения (в случае НСВ с точностью до постоянного множителя ), причем эта вероятность зависит от неизвестного параметра распределения .

Определени е. Оценкой параметра по методу МП называется значение , при котором функция максимального правдоподобия достигает наибольшего значения, как функция переменной , в области .

Замечание. Т.к. функция монотонна, то максимумы функции совпадают с максимумами функции , которая более проста для исследования на экстремумы.

Задачи, решаемые после прочтения данной лекции.

ММ: Нахождение оценки параметра распределения.

Схема решения. 1. Выражаем неизвестный параметр через моменты любого порядка:

2. Получаем различные оценки для неизвестного параметра

3. Проверяем несмещенность оценок.

4. Принимаем в качестве оценки полученную несмещенную

ММП: Нахождение оценки параметра распределения.

1. Составляем функцию: .

2. Ищем максимум функции, используя методы дифференциального исчисления.

3. Вычисляем , и приравнивая к нулю находим оценку для параметра распределения 4.Убеждаемся, что полученная точка является точкой максимума.

Литература.

1. Конспект лекций.

Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшее образование, 2007. - 404 с.

Проверка статистических гипотез. Математическая статистика в контроле качества.

План лекции.

1. Понятие статистической гипотезы.

2. Статистическая гипотеза о виде или свойствах распределения.

3. Общий принцип проверки гипотез

4. Основные этапы проверки гипотезы.

5. Различные гипотезы и механизмы их проверки.

Вопросы лекции.

1. Дать общее представление о статистической гипотезе.

Начнем с примеров.

Первый пример.

Рассмотрим две дискретные переменные: X, принимающую значения из множества {1, …, r } и Y, принимающую значения из множества {1, …, c }. Мы будем их использовать как номинальные признаки, хотя вполне может быть, что их значения получены по шкалам более высоких типов.

Предположим, что нам задана частотная таблица вида || n _ij ||, где i = 1, …, r (raw); j = 1, …, c (column), n _ij - количество объектов (например, респондентов), обладающих i –м значением признака Х и j-м значением признака Y. Обозначим также через и маргинальные частоты (соответственно, по i – й строке и j- му столбцу), а через - объем выборки.. Такую таблицу называют частотной, или таблицей сопряженности. Частоты, стоящие в клетках этой таблицы, назовем эмпирическими, или наблюдаемыми. Мы хотим на основе анализа эмпирических частот определить, имеется ли связь между рассматриваемыми переменными.

Нетрудно проверить эквивалентность следующих утверждений:

1. Переменные X и Y являются независимыми.

1. Все частоты таблицы сопряженности являются теоретическими

2. Для всех i и j события (Х = i) и (Y = j) являются независимыми.

3. Строки таблицы сопряженности пропорциональны. (1)

4. Столбцы таблицы сопряженности пропорциональны.

5. Все частоты таблицы сопряженности вычисляются по формуле:

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 Следующая ⇒