Рассмотрение различных гипотез и механизмов их проверки.

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 7Следующая ⇒

I). Гипотеза о генеральном среднем значении нормального распределения при неизвестной дисперсии . Предполагаем, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение, её среднее и дисперсия неизвестны, но есть основания полагать, что генеральное среднее равно а. При уровне значимости a нужно проверить гипотезу Н₀: . В качестве альтернативной можно использовать одну из трёх рассмотренных выше гипотез. В данном случае статистикой служит случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с n – 1 степенями свободы. Определяется соответствующее экспериментальное (наблюдаемое) значение t_экс. Из таблицы критических точек распределения Стьюдента находится критическое значение t_кр. При альтернативной гипотезе Н₁: оно находится по уровню значимости a и числу степеней свободы n – 1. Если t_экс < t_кр, то нулевая гипотеза принимается, в противоположном случае – отвергается. При альтернативной гипотезе Н₁: критическое значение находится по уровню значимости и том же числе степеней свободы. Нулевая гипотеза принимается, если |t_экс| < t_кр.

II) Гипотеза о равенстве двух средних значений произвольно распределённых генеральных совокупностей (большие независимые выборки). При уровне значимости a нужно проверить гипотезу Н₀: . Если объём обеих выборок велик, то можно считать, что выборочные средние имеют нормальное распределение, а их дисперсии известны. В этом случае в качестве статистики можно использовать случайную величину

имеющую нормальное распределение, причём M(Z) = 0, D(Z) = 1. Определяется соответствующее экспериментальное значение z_экс. Из таблицы функции Лапласа находится критическое значение z_кр. При альтернативной гипотезе Н₁: оно находится из условия F(z_кр) = 0, 5 – a. Если z_экс < z_кр, то нулевая гипотеза принимается, в противоположном случае – отвергается. При альтернативной гипотезе Н₁: критическое значение находится из условия F(z_кр) = 0, 5× (1 – a). Нулевая гипотеза принимается, если |z_экс| < z_кр.

III) Гипотеза о равенстве двух средних значений нормально распределённых генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки). При уровне значимости a нужно проверить основную гипотезу Н₀: . В качестве статистики используем случайную величину

имеющую распределение Стьюдента с (n_х + n_у – 2) степенями свободы. Определяется соответствующее экспериментальное значение t_экс. Из таблицы критических точек распределения Стьюдента находится критическое значение t_кр. Всё решается аналогично гипотезе (I).

IV) Гипотеза о равенстве двух дисперсий нормально распределённых генеральных совокупностей. В данном случае при уровне значимости a нужно проверить гипотезу Н₀: D(Х) = D(Y). Статистикой служит случайная величина

имеющая распределение Фишера – Снедекора с f₁ = n_б – 1 и f₂ = n_м – 1 степенями свободы ( – большая дисперсия, объём её выборки n_б). Определяется соответствующее экспериментальное (наблюдаемое) значение F_экс. Критическое значение F_кр при альтернативной гипотезе Н₁: D(Х) > D(Y) находится из таблицы критических точек распределения Фишера – Снедекора по уровню значимости a и числу степеней свободы f₁ и f₂. Нулевая гипотеза принимается, если F_экс < F_кр.

V) Гипотеза о равенстве нескольких дисперсий нормально распределённых генеральных совокупностей по выборкам одинакового объёма. В данном случае при уровне значимости a нужно проверить гипотезу Н₀: D(Х₁) = D(Х₂) = …= D(Х_l). Статистикой служит случайная величина

имеющая распределение Кочрена со степенями свободы f = n – 1 и l (n – объём каждой выборки, l – количество выборок). Проверка этой гипотезы проводится так же, как и предыдущей. Используется таблица критических точек распределения Кочрена.

VI) Гипотеза о существенности корреляционной связи. В данном случае при уровне значимости a нужно проверить гипотезу Н₀: r = 0. (Если коэффициент корреляции равен нулю, то соответствующие величины не связаны друг с другом). Статистикой в данном случае служит случайная величина

имеющая распределение Стьюдента с f = n – 2 числом степеней свободы. Проверка этой гипотезы проводится аналогично проверке гипотезы (I).

VII) Гипотеза о значении вероятности появления события. Проведено достаточно большое количество n независимых испытаний, в которых событие А произошло m раз. Есть основания полагать, что вероятность наступления данного события в одном испытании равна р₀. Требуется при уровне значимости a проверить гипотезу о том, что вероятность события А равна гипотетической вероятности р₀. (Т.к. вероятность оценивается по относительной частоте, то проверяемую гипотезу можно сформулировать и иначе: значимо или нет различаются наблюдаемая относительная частота и гипотетическая вероятность).

Количество испытаний достаточно велико, поэтому относительная частота события А распределена по нормальному закону. Если нулевая гипотеза верна, то её математическое ожидание равно р₀, а дисперсия . В соответствии с этим в качестве статистики выберем случайную величину

которая распределена приближённо по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Проверка данной гипотезы осуществляется точно так же, как и в случае (I).

VIII) Гипотеза о виде распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона. На основании выборки из генеральной совокупности или из каких-то иных соображений выдвигается нулевая гипотеза о конкретном распределении генеральной совокупности, выраженной через функцию распределения F(x). Это распределение назовём теоретическим.

По выборке находится эмпирическая функция распределения F*(x). Гипотеза Н₀ о распределении генеральной совокупности принимается, если эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим. Для проверки таких гипотез разработаны несколько критериев согласия. Здесь рассматривается c²-критерий согласия Пирсона.

При его использовании вся область изменения генеральной совокупности делится на несколько интервалов, которые могут иметь различную длину. По выборке составляют вариационный ряд с использованием этих же интервалов. Если в некотором интервале частота, слишком мала (меньше 4), то этот интервал объединяют с соседним.

По выборке вычисляют оценки параметров теоретического распределения. Тем самым теоретическое распределение будет полностью определено. Далее по теоретическому распределению находятся вероятности того, что случайная величина принимает значение из каждого интервала. После чего вычисляются теоретические частоты (произведения найденной вероятности на объём выборки).

Нулевая гипотеза принимается, если теоретические и эмпирические частоты мало отличаются друг от друга. При этом в качестве статистики рассматривается случайная величина

где m_i – эмпирические, а m_i’ – теоретические частоты, l – количество интервалов. Эта величина имеет распределение c² с l – p – 1 степенями свободы (где р – число подбираемых параметров распределения). Основная гипотеза о виде распределения принимается, если .

Литература.

1. Конспект лекций.

Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшее образование, 2007. - 404 с.

Дисперсионный анализ

План лекции.

1. Однофакторный дисперсионный анализ.

Вопросы лекции.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 Следующая ⇒