Методы оценивания параметров.

Существует два способа, два вида оценивания параметров: точечное и интервальное.

Точечное оценивание состоит в том, что мы вычисляем выборочное значение статистики, отвечающей нашему параметру, и именно это значение считаем хорошей выборочной оценкой генерального значения параметра.

Интервальное оценивание происходит по иной схеме. Если t -генеральное значение параметра, а t – выборочное значение соответствующей статистики, то интервальное оценивание означает указание того, что с некоторой вероятностью Р значение t будет заключено в интервале

t - D £ t £ t + D

(точнее: с вероятностью Р указанный интервал «накроет» значение параметра t).

При этом предполагается, что величины Р и D очевидным образом детерминируют друг друга: чем больше одна, тем больше и другая (ясно, что исследователю всегда хочется, чтобы величина D была бы поменьше, а величина Р – побольше, однако одно желание противоречит другому).

4. Точечные оценки параметров. Предъявляемые к ним требования. Дать понятие доверительного интервала и принципы его построения (на примере математического ожидания)

В качестве статистики, отвечающей в вышеприведенном смысле математическому ожиданию, выступает среднее арифметическое. Другими словами, мы считаем, что, если Х1, Х2, Х 3, ..., Х n - выборочные значения некоторой случайной величины x (n – объем выборки), то точечной оценкой математического ожидания Mx (mx) этой случайной величины мы считаем число

 

= (Х1 + Х 2+ Х 3 +... + Х n)/ n

 

Разумность выбора выборочного среднего арифметического в качестве точечной оценки генерального математического ожидания подтверждается центральной предельной теоремой и законом больших чисел (можно сформулировать данные теоремы) Рассмотрим некоторый параметр t (в качестве такового может выступать математическое ожидание, дисперсия, коэффициент корреляции и т.д.). Пусть имеется какая-то выборка, содержащая информацию о нашем параметре, и мы выбрали некую статистику t, значение которой для выборки служит точечной оценкой нашего параметра. Чтобы подобные точечные оценки были «хорошими», требуется, чтобы они удовлетворяли некоторым свойствам.

4.1. Определение. Оценка t параметра t называется несмещенной, если среднее выборочного распределения оценки t (при любом фиксированном объеме выборок n ) равно величине оцениваемого параметра:

M t = t.

Несмещенность статистики требуется для повышения вероятности того, что наше единственное выборочное значение этой статистики будет достаточно близко к генеральному значению соответствующего параметра. Для смещенных оценок повышается вероятность большой ошибки.

4.2. Определение. Оценка параметра называется состоятельной, если при увеличении объема выборки ее значение приближается к значению генерального параметра, который она оценивает:

P (|t_n - t| < e ) = 1.

Нетрудно понять смысл требования состоятельности. Если оценка не является состоятельной, то у нас не будет гарантии того, что увеличение объема выборочной совокупности приближает нашу оценку к «генеральному» значению изучаемого параметра (должно быть справедливым положение: чем больше объем выборки, тем ближе наша выборочная оценка генерального параметра к его истинному значению).

4.3. Если несмещенность и состоятельность – понятия абсолютные (относительно каждой статистики в принципе можно сказать, смещена она или не смещена, состоятельна или нет), то эффективность – понятие относительное: можно говорить только о том, что одна статистика более эффективна, чем другая. Более эффективной обычно считается та статистика, которая имеет меньшую дисперсию своего выборочного распределения.

Зададимся некоторой вероятностью a (обычно a = 0, 05; выбирается самостоятельно). Можно утверждать, что существует такое D, для которого имеет место соотношение:

Р ( - D £ m _х £ +D) = 1 - a, (1)

Интервал вида (1) называется доверительным. для математического ожидания имеет место соотношение:

D = z (2)

Другими словами, соотношение (1) превращается в

Р ( - z £ m _х £ + z ) = 1 - a, (3)

где z определяется по таблице, исходя из выбранного a.

4.4 Опр.Интервал ( - D, + D), или, что то же самое, интервал

( - z , + z )

называется доверительным интервалом для m _х.

Построение такого интервала - это и есть результат переноса сведений о выборочном среднем (коим является значение х) на генеральную совокупность.

4.5.Опр. a называется уровнем значимости доверительного интервала.

Задачи, решаемые после прочтения данной лекции: При заданной доверительной вероятности g определить доверительный интервал.

Вычислить среднее выборочное, выбороную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение. Найти полуширину доверительного интервала при выбранной доверительной вероятности, составить доверительный интервал.

 

Литература.

1. Конспект лекций.

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 2003. - 479 с.
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшее образование, 2007. - 404 с.

 

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Б. Заголовок процедуры со списком формальных параметров.
2. Выбор теплоносителя и его параметров.
3. Критерии оценивания выпускной квалификационной работы
4. Критерии оценивания компетенций.
5. Критерии оценивания подготовленности учащихся по физической культуре.
6. Критерии оценивания презентаций методистом(баллы)
7. Критерии оценивания результатов прохождения учебной практики
8. Метод наименьших квадратов используется для оценивания . . .
9. Методические материалы, определяющие процедуру оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующие этапы формирования компетенций
10. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений и навыков
11. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта
12. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.