Независимые величины и их производные

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 8Следующая ⇒

Несмотря на большое разнообразие ЭМС общность фундаментальных законов, определяющих процессы в них, позволяет выработать единый подход к исследованию и их математическому описанию.

В любой ЭМС осуществляется преобразование энергии, в результате которого протекают электрические, магнитные, тепловые и механические взаимосвязанные процессы. Поэтому разделить эти процессы на отдельные составляющие удается только в статических режимах при достаточно серьезных допущениях.

Превращение энергии происходит именно в динамике, когда система не аддитивна, т.е. не может быть составлена из отдельных составляющих или подсистем и соответственно будет обладать качествами, не свойственными данным составляющим.

Наиболее жестко в ЭМС связаны электрические и магнитные процессы, точнее, это две стороны одного электромагнитного процесса, поскольку физическая природа электромагнитного процесса связана с наличием зарядов и их колебаниями, создающими электромагнитное поле.

Изменение энергии электромагнитного поля определяет характер протекания процессов в ЭМС.

Электромагнитное поле характеризуется векторами:

– напряженность электрического поля, созданного статическими и подвижными зарядами [В/м], силовая характеристика ;

– электрическое смещение (индукция) [К/м²] – плотность электрического поля в диэлектрике;

– плотность тока [А/м²] – плотность электрического поля в проводящей среде;

– магнитная индукция [Вб/м²= В× с/м²] – плотность магнитного поля;

– напряженность магнитного поля [А/м].

Свойства среды определяются:

g – удельная проводимость [1/Ом× м];

e – диэлектрическая проницаемость [Ф/м]; e = e₀e_r; e0 = 8.85× 10^–12 Ф/м;

m – магнитная проницаемость [Гн/м]; m = m₀m_r; m₀= 4p10^–7 Гн/м.

В электромагнитном поле определяют интегральные потоки (теорема Гаусса):

– полный заряд и, так как , то:

1. – определяет связь заряженных частиц и тел с их электрическим полем;

2. – поток плотности тока равен току в проводнике;

3. – поток магнитной индукции равен магнитному потоку, а его сцепление с контурами (витками) определяется потокосцеплением y = WФ.

С электромагнитным полем тесно связано тепловое поле ЭМП, так как источниками этого поля являются потери в электромагнитном поле. Тепловое поле скалярное и характеризуется величиной – темпе-ратурой Т. Среда, в которой определяется это поле, описывается:
l – удельная проводимость [Вт/м× град] и коэффициентами теплоотдачи, достоверное определение которых – очень трудная задача.

Изменение теплового поля определяют по скорости изменения температуры, т.е. градиент gradT – это векторная величина, следовательно, можно определить поток:

а) удельный поток [Вт/м²];

б) полный поток [Вт].

Электромагнитное поле возбуждается при перемещении зарядов. Условно это можно представить следующим образом:

– временные перемещения, n – частота, Т – пе-риод колебаний;

– пространственные перемещения, l – длина волны, v_ф – скорость пере-мещения.

Электромагнитное поле определяется через силовое воздействие

Е – В/м, В – Тл.

e, g, m – характеристики среды

– материальные связи

Система уравнений Максвелла

1. ; 2. ;

3. ; 4. .

Величины, представленные в уравнении, являются независимыми.

Преобразования дифференциальных уравнений в интегральные уравнения:

1) ;

2) или ;

3) ;

4) – полный заряд.

При движении материальной точки (тела) работа сил в единицу времени (мощность) определяется как скорость изменения кинетической энергии. Изменение кинетической энергии DК равно силе , скалярно умноженной на дифференциал пройденного расстояния, ; есть работа, совершенная силой над телом за секунду или мощность, которую производит составляющая силы вдоль направления движения, откуда следует, что сила, направленная под прямым углом к перемещению, никакой работы не производит.

Всякое силовое физическое поле характеризуется векторной величиной. Вектор поля имеет составляющие, и каждая из них является функцией положения в пространстве. Материальная точка (тело) в силовом поле обладает энергией, которая изменяется с изменением положения тела в поле. Эта энергия получила название потенциальной энергии. Изменение потенциальной энергии при перемещении в поле DП равно работе, произведенной силой над телом. Работу можно вычислить как для очень малых расстояний (виртуальных перемещений), откуда частная производная от изменения потенциальной энергии равна силе, вызвавшей изменение состояния, т.е. , где g – обобщенная координата. В этом состоит способ получать силу из потенциальной энергии, или один из путей описания действия силы.

В общем случае, если векторные величины – напряженность электрического поля и индукция магнитного поля – есть условия, созданные зарядами и токами, то электромагнитная сила, которую ощущают помещенные в поле заряды и токи, является ответом этих зарядов и токов на величины электромагнитного поля. Тогда анализ явления разделяется на две части, одна из которых рассматривает процесс создания поля, а другая – как оно действует.

Известно, что элементарная прямоугольная петля создает магнитный момент, равный произведению силы тока на вектор нормали к площади петли. В однородном магнитном поле на противоположные стороны петли действуют силы, вызывая вращательный момент, стремящийся повернуть петлю вокруг оси, расположенной в плоскости, перпендикулярной направлению магнитного поля. Раз есть момент вращения, есть и энергия, которая зависит от ориентации петли.

В соответствии с принципом виртуальной работы момент вращения – это скорость изменения энергии с углом a (угол между нормалью к площади или магнитным моментом и магнитным полем). Петля стремится развернуть свой момент по полю, так как энергия меньше всего тогда, когда момент и индукция совпадают, следовательно, в магнитном поле производится работа, равная произведению момента на приращение угла a и тогда, механическая работа равна произведению момента на индукцию.

Следует только учесть, что полученная энергия не есть полная энергия петли с током, поскольку не учтена энергия на поддержание тока в петле, но ееможно использовать для расчета сил по принципу виртуальной работы при постоянстве тока (или постоянстве момента).

В однородном магнитном поле происходит только изменение ориентации петли, так как полная сила, действующая на петлю, равна нулю. Необходимо неоднородное магнитное поле для совершения непрерывной механической работы.

Пусть стороны прямоугольной петли имеют длину а и ширину b, тогда площадь s = ab и, если одна сторона петли а находится в поле
с индукцией В₁, противоположная ей сторона а в поле с индукцией В₂, то силы, действующие на стороны, соответственно, F₁= IaB₁ и F₂= IaB₂(перпендикулярные стороны длиной b находятся в одинаковых условиях). Плечи сил, создающих момент относительно оси в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, равны , где a – угол между плоскостью петли и плоскостью, перпендикулярной направлению поля.

Тогда вращающий момент

Если петля достаточно узкая и изменение поля в пределах ширины петли можно считать линейным, то на оси петли индукция . Вращающий момент или . Вновь происходит изменение ориентации (поворот) петли в магнитном поле, кроме того, теперь уже полная сила не равна нулю. Например, при
F₁> F₂ избыток силы DF = Ia(B₁- B₂) может перемещать петлю в плоскости, перпендикулярной полю. Если В₁ и В₂ не очень различаются между собой, то по х . Тогда сила в направлении х совершает механическую работу по перемещению петли в магнитном поле.

Так как индукция магнитного поля имеет компоненту только по у, то производная по х лежит на касательной к годографу и направлена в сторону возрастания аргумента.

Механическая работа определяется интегралом от произведения силы F_x на путь dx, т.е. .

Очевидно, что полная сила, действующая на элементарную петлю, пропорциональна производной магнитного поля. Следовательно, соотношением можно пользоваться, применяя принцип виртуальной работы, для определения электромагнитных сил, действующих на петли с постоянным током в магнитном поле.

Превращение энергии

В элементе проводника

Следует более подробно рассмотреть превращение энергии в элементе единичного объема активного проводника в динамических режимах, к числу которых можно отнести любое перемещение элемента в магнитном поле, а также изменение магнитного поля во времени.

Пусть элемент перемещается под действием внешней механической силы в однородном магнитном поле со скоростью в направлении, перпендикулярном индукции . Если направлена по х, индукция по у, тогда на заряд q_i, находящемся в элементе, действует сила в направлении z и, следовательно, появится электрическое поле .

Если заряд движется в элементе со скоростью по z, то работа по перемещению заряда равна , где . При этом, если единичный объем (элемент) расположен в активном проводнике, не входящем в замкнутую электрическую цепь, то работа по перемещению зарядов преобразуется в потенциальную энергию, количественно определяемую как разность потенциалов , или .

В целом при постоянной скорости элемент обладает кинетической энергией и потенциальной электрической энергией
DП= qDj, суммарная величина которых равна энергии механического источника DЭ_мех= DK + DП.

Процесс превращения энергии описывается уравнением движения (m – масса единичного объема) и скоростью изменения заряда в элементе dq/dt, т.е. выделенная потенциальная энергия пропорциональна произведению скорости на время.

При расположении элемента в замкнутой электрической цепи (контуре) работа по перемещению зарядов может быть представлена электродвижущей силой ЭДС. Количественно ЭДС определяется как сила на единичный заряд, проинтегрированная по длине элемента.

Полная работа в единичном объеме по перемещению зарядов в единицу времени, т.е. быстрота изменения работы, или мощность, определяется скалярным произведением векторов электрического поля: напряженности и плотности тока , . Энергия частично рассеивается (превращается в теплоту) в самом элементе, обладающем конечной удельной электропроводностью g, и выделяется во внешней (рабочей) части электрической цепи (контуре). Плотность тепловой мощности определяется соотношением .

Равномерное движение возникает при равенстве механической силы F_мех электромагнитной силе ( ), возникающей при взаимодействии движущихся зарядов с магнитным полем, определяемой как векторное произведение плотности тока и индукции . Сила на единичный объем . Тогда и Э_мех= Э_эм= А_Е.

В динамических режимах уравнение движения , здесь – импульс механической силы, . Так как плотность тока равна произведению плотности зарядов rq на скорость их перемещения (дрейфа) в элементе, т.е. , то между скоростью движения элемента и скоростью дрейфа зарядов существует связь.

Отсюда следует, что скорость выделения электрической энергии в элементе пропорциональна скорости движения элемента. Полная выделенная электрическая энергия, естественно, пропорциональна времени, в течение которого проявлялась эта скорость, или пропорциональна произведению скорости на время, т.е. пройденному расстоянию и, следовательно, каждому пройденному в поле расстоянию отвечает заданное количество электрической работы.

Движение элемента

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 Следующая ⇒