Часть 1. Анализ объекта управления.

Постановка задачи

В данной работе рассматривается модель развития многоотраслевой экономики В.В. Леонтьева в частном случае для двух отраслей.

ar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> ">

1-k

Выбранные данные для модели:

s w: val=" 24" /> < w: lang w: fareast=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> 2< /m: t> < /m: r> < /m: sub> < /m: sSub> < m: r> < w: rPr> < w: rFonts w: ascii=" Cambria Math" w: h-ansi=" Cambria Math" /> < wx: font wx: val=" Cambria Math" /> < w: i/> < w: sz w: val=" 24" /> < w: sz-cs w: val=" 24" /> < w: lang w: fareast=" EN-US" /> < /w: rPr> < m: t> =10 < /m: t> < /m: r> < /m: oMath> < /m: oMathPara> < /w: p> < w: sectPr wsp: rsidR=" 00000000" > < w: pgSz w: w=" 12240" w: h=" 15840" /> < w: pgMar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> ">

Математические модели объекта управления

Уравнение в переменных состояния

Вектор состояния представим в следующем виде:

Тогда система линейных дифференциальных уравнений, описывающих систему, выглядит

ar w: top=" 1134" w: right=" 850" w: bottom=" 1134" w: left=" 1701" w: header=" 720" w: footer=" 720" w: gutter=" 0" /> < w: cols w: space=" 720" /> < /w: sectPr> < /w: body> < /w: wordDocument> ">

соответственно запишем следующие матрицы и векторы:

Передаточная функция

Так как задача была уже ранее описана в переменных состояний, то сделаем переход по уже имеющейся математической формуле:

Передаточная функция, вычисленная при помощи символьной алгебры в MatLab по той же формуле, которая совпадает с найденной аналитически (М-файл №1 в приложении):

H =(k*(10*k1 + a2*k2 + k1*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000)) - ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*p))/(p*(p^2 + 110*p - a1*a2 + 1000))

Очевидно из блок-схемы, что две другие передаточные функции, которые входят в состав уже имеющийся, могут быть представлены в виде:

Очевидно, выполняется равенство, которое следует из блок-схемы и структурных свойств систем управления:

Весовая функция

Весовая функция определяется просто: как обратное преобразование Лапласа, от уже найденной передаточной функции, или как некоторое линейное преобразование от также заранее найденных переменных состояния (однако здесь требуется вычисление матричной экспоненты):

Искать весовую функцию буду в виде обратного преобразование Лапласа от передаточной функции. Для упрощения введу некоторые обозначения - это коэффициенты числителя и два корня квадратного уравнения знаменателя, взятые с обратными знаками:

Тогда передаточная функция примет более простой вид, который можно с легкостью разложить по элементарным дробям:

Для которой, обратное преобразование Лапласа можно провести с помощью таблицы:

И задача сводится к определению этих коэффициентов, которые легко находятся после приведения правой части формулы для передаточной функции к общему знаменателю и приравниванию коэффициентов перед р. Составляем систему алгебраических уравнений:

Решая систему, получаем соответственно следующие значения коэффициентов:

Из соображений компактности и читабельности формулы не будем, подставлять значения коэффициентов, а будем считать их константами, которые определяются значениями коэффициентов перекрестных связей и коэффициента усиления.

Результат, который получается при использовании символьной алгебры MatLab (обратное преобразование Лапласа, в случае с вычислением через переменные состояния ответ получается слишком некомпактным, поэтому здесь не приведен):

h =

((cosh(t*(a1*a2 + 2025)^(1/2)) + (sinh(t*(a1*a2 + 2025)^(1/2))*((10000*k2 + 110*a1*k1 + 100*k*k1 - 10000*k*k2 + a1*a2*k2 - 110*a1*k*k1 + 110*a2*k*k2 + a1*a2*k*k1 - a1*a2*k*k2)/(100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2) - 55))/(a1*a2 + 2025)^(1/2))*(100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2))/(exp(55*t)*(a1*a2 - 1000)) - (100*k2 + a1*k1 + 10*k*k1 - 100*k*k2 - a1*k*k1 + a2*k*k2)/(a1*a2 - 1000)

Сравним теоритические результаты с результатами полученными численно, с помощью MatLab, подставив определенные численные значения и сравним их (М-файл №2 в приложении):

h1 = 0.0217

h = 0.0217

hm= 0.0217

Где h1 – ответ, полученный аналитически

h – ответ, полученный при обратном преобразовании Лапласа

hm – ответ, полученный при вычислении через переменные состояния

Что и следовало ожидать, ответы совпали, значит можно с определенной долей вероятности говорить о верности аналитического решения.

Уравнение вход-выход

Обозначим числитель и знаменатель передаточной функции согласно формуле:

Тогда уравнение вход-выход запишется в следующем виде, если вместо переменной р подставить оператор дифференцирования по времени:

Частотные характеристики

Для того чтобы найти частотные характеристики системы можно воспользоваться любой из ниже указанных формул, в зависимости от того, что уже известно передаточная функция, весовая функция, уравнение вход-выход или система уже описана в переменных состояния:

Лучше всего пойти самым простым способом и путем заменой переменной в передаточной функции найти искомую функцию, которую требуется представить в следующем виде:

Для простоты нахождения модуля и аргумента искомой функции будем рассматривать отдельно модули и аргументы числителя и знаменателя:

Для символьного решения посредством MatLab ограничимся вычислением частотных характеристик через переменные состояния, чтобы операции не сводились к простому переименованию переменных. Проведем проверку между аналитическим и символьным расчетом в MatLab, при фиксированных значениях параметров (М-файл №3 в приложении):

H =- (k*(10*k1 + a2*k2 + k1*w*i))/(w*(w^2*i + 110*w + a1*a2*i - 1000*i)) + ((k - 1)*(100*k2 + a1*k1 + k2*w*i))/(w*(w^2*i + 110*w + a1*a2*i - 1000*i))

modh = 0.0107

modh1 = 0.0107

argh = -1.7168

argh1 = -1.7168

Ответы совпали, значит, аналитические вычисления верны.

Свойства системы

Устойчивость

Найдем собственные числа матрицы А (очевидно это корни знаменателя передаточной функции)

Отсюда видим, что имеется 3 собственных числа, из которых одно нулевое, а 2 других зависят от перекрестных связей

Для того, чтобы удовлетворить условию Стодолы, которое является в нашем случае не только необходимым условием, но и достаточным, потребуем следующее:

Корневой годограф смотри в приложении.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒