Центр изгиба: понятие и экспериментальное определение

Плоский поперечный изгиб

Понятие о плоском поперечном изгибе. Внутренние силы. Напряжения.Под плоским поперечным изгибом понимаем нагружение под действием сосредоточенных и распределённых нагрузок, перпендикулярных к продольной оси, распределённых и сосредоточенных пар сил, если все внешние силовые факторы лежат в одной плоскости, проходящей через продольную ось балки и совпадающей с одной из главных инерционных плоскостей. Элементы, испытывающие нагружение плоского поперечного изгиба будем называть балками.В случае изгиба балки должны опираться на конструкции. Опоры

Для определения внутренних факторов будем использовать метод сечений.

В случае плоского поперечного изгиба возникает два силовых фактора: поперечная сила и изгибающий момент. При плоском поперечном изгибе возникают нормальные напряжения, которые являются функциями только изгибающего момента.

Таким образом при плоском поперечном изгибе в поперечном сечении возникает только нормальные и касательные напряжения.

- функция только нормальных напряжений.

При расчёте балок на изгиб необходимо определять законы распределения внутренних усилий по длине балки. Для этого используется метод сечений, строятся эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дифференциальная зависимость между интенсивностью распределённой нагрузки, поперечной силы и изгибающего момента.

Так как ширина объёма мала, то приращение нагрузки за счёт криволинейного характера распределения, является величиной бесконечно малой высшего порядка. Приращением можно пренебречь и принять, что бесконечно малый объём нагружен равномерно-распределённой нагрузкой.

С-центр тяжести поперечного сечения.

Проецируем все усилия, действующие на элементарный объём, выделенный из балки на вертикальную ось Q+qdx-(Q+dQ)=0; q= - интенсивность распределенной нагрузки равна первой производной от функции поперечной силы по расстоянию.

С точки зрения геометрии первая производная – тангенс угла наклона касательной, проведённой к графическому изображению поперечной силы (эпюре поперечных сил).

Составляем сумму моментов относительно центра тяжести поперечного сечения.

, , при x=0 Q=0, то C=0.

3) Изгиб прямого бруса: основные положения, …

Правило знаков:

1) Изгибающий момент + если внешний момент срмиться повернуть сечение т.о. чтобы сжимать верхние волокна

2) эпюры изгибающих моментов всегда строятся на сжатых волокнах

3) поперечная сила + если внешняя нагрузка стремится повернуть сечение по часовой стрелке

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 5.5, а).

Рис. 5.5

Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 5.5, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, проходящей через точку С (рис. 5.5, б), получим:

Q_y + q dz - Q_y - d Q_y = 0;

M_x + Q_y dz + q dz× dz/2 - M_x - d M_x = 0.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего порядка малости, получим: (5.4) откуда . (5.5)

Из (5.4) следует, что при q = const функция Q_y будет линейной, а функция M_x - квадратичной. Если на каких-то участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Q_y = const, а M_x является линейной функцией от z.

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q_y претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Q_y принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстремальных значений.

Изгиб прямого бруса: построение эпюр поперечных сил и изгиб моментов (правила построения и контроля эпюр; эпюры при нагружении однопролетной балки сосредоточ силой; эпюры при нагружении однопролетной балки распредел нагрузкой)

1)сосредоточ сила, прилож на конце консоли дает на эп Q скачек на велич силы, а на эп М наклон линию

2) на участках где прилож равномерно распредел нагрузка, эп Q всегда наклонная линия, а эп М квадратич парабола. Эп М на встречу стрелкам, как зонтик.

6) Изгиб прямого бруса: построение эпюр поперечных сил и изгиб моментов (правила построения и контроля эпюр; эпюры при нагружении однопролетной балки парой сил; эпюры при нагружении однопролетной балки распредел нагрузкой, парой сил и сосредоточенной силой )

1) Сосред сила прилож к балке(посреди) на Q дает скачек на велич силы, а на М излом выпуклостью на встречу силе

2) см вопр 5

3) сечение в кот эп Q пересек ось, эп М приним экстимальное значение

7) Методика расчетов на прочность по нормальным напряжениям при изгибе прямых брусьев.

0) Определ. реакции опор и считаем число учстков

1) строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и на эпюре изгиб моментов находи опасные моменты. Под опасным понимается сечение в которых изгиб момент принимает макс. Значение, это справедливо для изотропных и анизотропных материалов с симметричным сечением.

2) Производим расчет по формуле

Для анизотропных симметричных материалов в качесвте допуск. Напряжения берется наименьшее. Для нессиметр. Анизотропных материалов надо производить отдельно расчет, как по допускаемым напряжениям сжатия и на разжатие.

Интеграл Максвелла-Мора.

выражение для расчета перемещений упругой системы по методу Максвелла-Мора в виде:

Внутренние усилия, которые возникнут в балке от этой силы, обозначим N1, Mx1, Mи1, Q1.

Внутренние усилия от внешних нагрузок (без учета фиктивной силы Φ о) обозначим следующим образом

Nр, Mхр, Mир, Qр.

Таким образом, для того чтобы определить перемещения методом Максвелла-Мора, необходимо:

1) рассмотреть «грузовую» систему, нагруженную только внешними силами (без учета фиктивных сил), и записать для этой системы выражения для внутренних усилий по участкам;

2) рассмотреть «единичную» систему, нагруженную только одной силой – единичной силой Φ 1=1, приложенной в том направлении и в той точке, где требуется найти перемещение, и записать для этой системы выражения для внутренних усилий по участкам;

3) подставить найденные внутренние усилия в интеграл Максвелла-Мора и найти перемещение.

Отметим, что для многих стержневых систем действием осевого усилия N и поперечных сил Q можно пренебречь.

Определение усилий

Усилия в стержнях ферм могут быть определены аналитическим или графическим способом. Аналитический метод удобнее применять при определении усилий в отдельных стержнях. Если же требуется определить усилия во всех стержнях, то лучше построить диаграмму усилий.

Порядок построения диаграммы:

1) Все действующие на ферму нагрузки, включая ее собственный вес, прикладываются снаружи фермы, в соответствующих узлах верхнего и нижнего поясов. При наличии нагрузки лишь в узлах верхнего пояса нагрузку от собственного веса можно целиком передать на узлы данного пояса, т. е. считать узлы нижнего пояса ненагруженными.

2) Определяются опорные реакции фермы. Опорные реакции определяются точно так же, как и в простой балке, т. е. реакция на данной опоре фермы получается делением на длину пролета суммы моментов от действующих на ферму сил относительно другой опоры (см. п. 8 настоящей главы).

3) Обозначаются поля фермы путем нумерации всех промежутков между внешними нагрузками (включая опорные реакции) и внутренние треугольники, образованные стержнями самой фермы (напр., 7, 8, 9 и т. п., 7).

4) Строится силовой многоугольник внешних сил, в том числе и опорных реакций, отложенных в той последовательности, в какой они встречаются на ферме при обходе схемы в круговом порядке по часовой стрелке.

5) Определение внутренних усилий начинают с опорного узла, где в простых фермах имеются лишь два неизвестных усилия (напр., усилия в поясах 1—7 и 4—7) и далее переходят к узлам, где сходятся не более чем два стержня, для которых усилия еще не определены. Усилия в неизвестных двух стержнях рассматриваемого узла получаются путем построения лучей диаграммы, параллельных указанным стержням и проведенных, один луч от начала первой известной силы (узловой нагрузки или уже определенного усилия в стержне) при обходе данного узла по часовой стрелке, а другой луч от последней известной силы в том же узле.
35)Понятие о ферме. Метод вырезания узлов. Метод рассечения на крупные части. Комбинированный метод. Понятие и признаки нулевых стержней.

Ферма представляет собой геометрич неизмен стержневую конструкцию прямоуг стержней в стержнях

(1)

Отличит особенностью явл то что она остается геометрич неизм. При замене жестких узлов шарнирами.

(2)

У рам и др. реал. стержни не имеют таких способностей. Получ. при замене жестких узлов шарнирные система явл. расчетной схемой фермы. Ферму будем наз. геометричски неизм. шарнирная система все стержни которой соединены шарнирами по концам.

В случае не соблюдения условия когда соединение с консолью промежуточных шарниров нет, такая система не наз. фермой

При расчетах используется аналитичекая и матричная форма определ. внутренних усилий. Аналитич. Определение внутренних усилии при узловой агрузке:

1) метод вырезания узлов

2) метод рассечения на крупные части

3) комбинированный метод.

1. В основе метода лежит использование уравнения равновесия сходящихся сил и применение ее к узлам фыермы мысленно вырезания и нее сквозными сечениями. Для каждого узла фермы можно составить два уравнения равновесия. Если при расчете какая-ниб продольная сила получила отриц значение, то значит ее направление было выбрано неверно и он сжат. Методика:

1) определение реакции опор,

2) записываем уравнения

3) рассекаем.

2. В основе метода лежит исп-е равновесия системы произвольно распол в плоскости. Оси таких стержней не должны пересек. в одной точке. Для каждой отсеченной части фермы можно составить три независимых уравнения статики. Если рассечение фермы осуществляется через три стержня, два из которых параллельны, то здесь моментная точка для продольной силы третьего стержня принадл. бесконечности.

3. Совместное использование нескольких уравнений применяется только если составление самостоятельного уравнения (по п.п. 3 и 4) невозможно.

Выделение нулевых стержней

1. Напомним признаки для выделения нулевых стержней, вытекающие из условий равновесия узлов:

а) если в узле сходятся два стержня с усилиями , и нагрузка не приложена, то , ;

б) если к такому же узлу приложена нагрузка по направлению , то ;

в) если в узле сходятся три стержня с усилиями _{, ,}, причем и лежат на одной прямой и нагрузка не приложена, то .

Если при рассмотрении одного узла доказано, что, то это усилие при рассмотрении другого узла уже во внимание не принимается.

2. Если значение определяется не по перечисленным признакам, а в ходе аналитического расчета, то такой стержень тоже надо внести в перечень нулевых стержней, сделав при этом ссылку на последующий расчет.

3. Если среди шести стержней, подлежащих подробному расчету, есть нулевые, то в работе (4, г) для них надо вычислить значение на общих основаниях, составив и решив соответствующие уравнения равновесия.

Плоский поперечный изгиб

Для определения внутренних факторов будем использовать метод сечений.

- функция только нормальных напряжений.

С-центр тяжести поперечного сечения.

Составляем сумму моментов относительно центра тяжести поперечного сечения.

, , при x=0 Q=0, то C=0.

3) Изгиб прямого бруса: основные положения, …

Правило знаков:

1) Изгибающий момент + если внешний момент срмиться повернуть сечение т.о. чтобы сжимать верхние волокна

2) эпюры изгибающих моментов всегда строятся на сжатых волокнах

3) поперечная сила + если внешняя нагрузка стремится повернуть сечение по часовой стрелке

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 5.5, а).

Рис. 5.5

Q_y + q dz - Q_y - d Q_y = 0;

M_x + Q_y dz + q dz× dz/2 - M_x - d M_x = 0.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего порядка малости, получим: (5.4) откуда . (5.5)

1)сосредоточ сила, прилож на конце консоли дает на эп Q скачек на велич силы, а на эп М наклон линию

1) Сосред сила прилож к балке(посреди) на Q дает скачек на велич силы, а на М излом выпуклостью на встречу силе

2) см вопр 5

3) сечение в кот эп Q пересек ось, эп М приним экстимальное значение

7) Методика расчетов на прочность по нормальным напряжениям при изгибе прямых брусьев.

0) Определ. реакции опор и считаем число учстков

2) Производим расчет по формуле

Центр изгиба: понятие и экспериментальное определение

ЦЕНТР ИЗГИБА (в сопротивлении материалов и теории упругости)-точка поперечного сечения бруса, такая, что брус при изгибе не испытывает кручения, если поперечная сила проходит через Ц. и. В упругом брусе положение Ц. и. не зависит от величины силы. Определение Ц. и. важно для расчёта ряда конструкций. Напр., чтобы крыло самолёта в полёте не изменяло самопроизвольно угол атаки, надо профиль крыла выбрать т. о., чтобы подъёмная сила проходила через Ц. и.

12 3 4 Следующая ⇒