Формула вычисления направляющих косинусов вектора для пространственных задач

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 8Следующая ⇒

В случае пространственной задачи направляющие косинусы вектора a = {a_x; a_y; a_z} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	a_x	;	cos β =	a_y	;	cos γ =	a_z
\|a\|	\|a\|	\|a\|

Свойство:

cos² α + cos² β + cos² γ = 1

б) определение линейных операций

суммой двух неколлинеарных векторов и называется вектор, идущий из общего начала векторов по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах

Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора, противоположного вектору : . Соединим начала векторов и , тогда вектор направлен из конца вектора в конец вектора .

Произведением вектора на число называется вектор с модулем , причем при и при . Геометрически умножение на число означает " растяжение" вектора в раз с сохранением направления при и изменением на противоположное при .

Из приведенных выше правил сложения векторов и умножения их на число следуют очевидные утверждения:

1. (сложение коммутативно);

2. (сложение ассоциативно);

3. (существование нулевого вектора);

4. (существование противоположного вектора);

5. (сложение ассоциативно);

6. (умножение на число дистрибутивно);

7. (сложение векторов дистрибутивно);

8. .

в) скалярное произведение и его основные свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается

, где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратам.

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения:

свойство коммутативности скалярного произведения ;

свойство дистрибутивности или ;

сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;

скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Г)векторное произведение и его свойства

векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(a_yb_z - a_zb_y) - j(a_xb_z - a_zb_x) + k(a_xb_y - a_yb_x)
a_x	a_y	a_z
b_x	b_y	b_z

a × b = {a_yb_z - a_zb_y; a_zb_x - a_xb_z; a_xb_y - a_yb_x

Свойства векторного произведения векторов

Геометрический смысл векторного произведения.

Модуль векторного произведения двух векторов a и bравен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

S_парал = [a × b]

Геометрический смысл векторного произведения.

Площадь треугольника построенного на векторах a и bравна половине модуля векторного произведения этих векторов:

SΔ =		\|a × b\|

Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a
(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c

Уравнение прямой на плоскости

А)уравнение прямой с угловым коэффициентом

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой.

Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k. Тогда по определению .

Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент не существует (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент обращается в бесконечность).

Положительный угловой коэффициент прямой указывает на возрастание ее графика функции, отрицательный угловой коэффициент – на убывание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид формула y=kx+b, где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Б)виды уравнений прямой

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и Водновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида .

Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).

Уравнение прямой вида , где x и y - переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент)

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю.

Очевидно, что прямая линия, определяемая каноническим уравнением прямой, проходит через точку . В свою очередь числа и , стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Таким образом, каноническое уравнение прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .

Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю, а - параметр, принимающий любые действительные значения.

Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра (отсюда и название этого вида уравнений прямой).

Пара чисел , которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра , представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при имеем , то есть, точка с координатами лежит на прямой.

Следует отметить, что коэффициенты и при параметре в параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁, y ₁, z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂, z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х ₁ ≠ х₂ и х = х ₁, если х ₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

В) вычисление угла между двумя прямыми

если заданы две прямые y = k₁ x + b₁, y = k ₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λ А, В₁ = λ В. Если еще и С₁ = λ С, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Г)условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Предел функции

А) предел последовательности

Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Б) предел функции

Преде́ л фу́ нкции ( предельное значение функции ) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Предел фу́ нкции — одно из основных понятий математического анализа. Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .

Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

В) два замечательных предела

· Первый замечательный предел:

Следствия

· Второй замечательный предел:

Следствия

5. для ,

Г) бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→ a или при x→ ∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

если функция y=f(x) представима при x→ a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α (x): f (x)=b+ α (x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α (x), где a(x) – бесконечно малая при x→ a.

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Если функция f(x) является бесконечно большой при x→ a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→ a.

Если функция f(x) - бесконечно малая при x→ a (или x→ ∞ ) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией. простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

Д) раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность .

К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность и бесконечность минус бесконечновть

Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки , то

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Вычисление производных

А)правило дифференцирования сложной функции

Пусть является сложной функцией, где функция – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции (её будем обозначать через ) и производную для функции .

Теорема 1. Если функция имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке (), то сложная функция в точке x имеет производную , причем = .

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Б) дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:

В) понятие логарифмической производной функции

Логарифмической производной положительной функции называется производная . Так как , то по правилу дифференцирования сложной функции получим следующее соотношение для логарифмической производной:

С помощью логарифмической производной удобно вычислять обычную производную в тех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции.

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

Далее продифференцируем полученное равенство при условии, что является функцией от , то есть найдемпроизводную сложной функции:

А тогда, выражая искомую производную , в результате имеем:

Г) производная обратной функции

Если y=f(x) и x=g(y) — пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f'(x), то производная обратной функции g'(x)=1/f'(x).

Таким образом, производные взаимно обратных функций — обратные величины. Формула для производной обратной функции:

Д) производная неявной функции

Если функция одной переменной описывается уравнением y=f(x), где переменная y находится в левой части, а правая часть зависит только от аргумента x, то говорят, что функция задана в явном виде. Например, следующие функции заданы явно:

y=sinx, y=x2+2x+5, y=lncosx.

Во многих задачах, однако, функция может быть задана неявным образом, т.е. в виде уравнения

F(x, y)=0.

для нахождения производной y′ (x) неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму. Для этого, зная уравнение F(x, y)=0, достаточно выполнить следующие действия:

Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной x, предполагая, что y − это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции. При этом производная нуля (в правой части) также будет равна нулю.
Замечание: Если правая часть отлична от нуля, т.е. неявное уравнение имеет вид

f(x, y)=g(x, y),

то дифференцируем левую и правую части уравнения.

Решить полученное уравнение относительно производной y′ (x).

Пример 1

Найти производную функции, заданной уравнением y2=2px, где p − параметр. Решение. Данное уравнение представляет собой каноническое уравнение параболы. Дифференцируя левую и правую части по x, получаем: (y2)′ =(2px)′, ⇒ 2yy′ =2p, ⇒ y′ =py, гдеy≠ 0.

Понятие производной

А) определение производной

Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называетсядифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по известной производной − называется интегрированием.

Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции Δ y к соответствующему изменению аргумента Δ x. В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии Δ x→ 0. Перейдем к более строгой формулировке:

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой

f′ (x0)=limΔ x→ 0Δ yΔ x=limΔ x→ 0f(x0+Δ x)− f(x0)Δ x.

Определение производной

f′ (x0)=limΔ x→ 0Δ yΔ x=limΔ x→ 0f(x0+Δ x)− f(x0)Δ x.

Б) геометрический смысл производной

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число является угловым коэффициентом (угловым коэффициентом касательной) или тангенсом угла наклона касательной прямой.

В) физический смысл производной

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная – скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке . Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная – скорость в момент времени . Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то – скорость изменения количества электричества в момент времени , т.е. сила тока в момент времени .

Г) таблица производных простейших элементарных функций

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 Следующая ⇒