Свойства умножения матрицы на число

• 1 · A = A
• 0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица
• k · (A + B) = k · A + k · B
• (k + n) · A = k · A + n · A
• (k · n) · A = k · (n · A)

 

Г) произведение матрицы на матрицу

Результатом умножения матриц A _{m× n} и B _{n× k} будет матрица C _{m× k} такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (c_ij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

c_ij = a_i1 · b_1j + a_i2 · b_2j +... + a_in · b_nj

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Свойства произведения матриц:

1. Ассоциативность

2. Ассоциативность по умножению

3. Дистрибутивность ,

4. Умножение на единичную матрицу

5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.

6.

 

Определители 2-го и 3-го порядка

А) определение определителя 2-го порядка

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

.

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

 

б) определитель 3-го порядка

. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

 

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

в) свойства определителей

Свойства определителя матрицы

1. Определитель единичной матрицы равен единице:

det(E) = 1

2. Определитель матрицы с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

3. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю.

4. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку (столбец), равен нулю.

5. Определитель матрицы равен нулю если две (или несколько) строк (столбцев) матрицы линейно зависимы.

6. При транспонировании значение определителя матрицы не меняется:

det(A) = det(A^T)

7. Определитель обратной матрицы:

det(A^-1) = det(A)^-1

8. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на некоторое число.

9. Определитель матрицы не изменится, если к какой-то его строке (столбцу) прибавить линейную комбинации других строк (столбцов).

10. Если поменять местами две строки (столбца) матрицы, то определитель матрицы поменяет знак.

11. Общий множитель в строке (столбце) можно выносить за знак определителя:

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . . . k·ai1 k·ai2 ... k·ain . . . . an1 an2 ... ann

= k

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . . . ai1 ai2 ... ain . . . . an1 an2 ... ann

12. Если квадратная матрица n-того порядка умножается на некоторое ненулевое число, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы на это число в n-той степени:

B = k·A => det(B) = kⁿ·det(A)

где A матрица n× n, k - число.

13. Если каждый элемент в какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные строки совпадают с исходным определителем:

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . . . bi1 + ci1 bi2 + ci2 ... bin + cin . . . . an1 an2 ... ann

=

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . . . bi1 bi2 ... bin . . . . an1 an2 ... ann

+

a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n . . . . ci1 ci2 ... cin . . . . an1 an2 ... ann

14. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению его диагональных элементов.

15. Определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц:

det(A·B) = det(A)·det(B)

г) Минор

Минором к элементу определителя -го порядка называется определитель -го порядка, полученный из исходного вычеркиванием -той строки и -того столбца.

Пример. Задание. Найти минор к элементу определителя .

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

тогда

Ответ.

Д) алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. БИЛЕТ 18.Волновое движение. Плоская гармоническая волна. Длина волны, волновое число. Фазовая скорость. Уравнение волны. Одномерное волновое уравнение.
2. Вычислить как целое число значение выражения (без переменных), записанного в постфиксной форме в текстовом файле postfix.
3. Вязкая жидкость. Формула Стокса. Турбулентное и ламинарное течение. Число Рейнольдса.
4. Глава 14, заполненная красивыми вещами (тринадцатую пропускаем, потому что это несчастливое число)
5. Две линии бригад составляли центр боевого порядка шведской армии, а многочисленная кавалерия размещалась на его флангах вперемежку с небольшим числом мушкетеров.
6. Есть ли «число зверя» в штрих-коде?
7. Запишите определение узла и ветви разветвленной электрической схемы. Как выражается число уравнений,составляемых МКТ через узлы и ветви эл.схемы
8. Запишите определение узла и ветви разветвленной электрической схемы. Как выражается число уравнений,составляемых МУН через узлы и ветви эл.схемы
9. Инсулин 299, 303, 333 Интермедии 322 йод 151 Йодное число 151, 153
10. Качество бензина зависит от детонационной стойкости, октановое число, состава, химической стабильности и др.
11. Код числовых направленностей даёт полнейшую реконструкционную перебазировку, от которой дополнительные функции разлагаются во временной исчислительной прострации.
12. Лекция 39. Натуральное число как результат измерения величины