Матрицы и действия над матрицами

Стр 1 из 8Следующая ⇒

Матрицы и действия над матрицами

А)Определение матрицы

Матрицей A=A_mn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.

Элементы матрицы a_ij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂,..., a_nn.

Равенство матриц.

A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и a_ij=b_ij (i=1, 2,..., m; j=1, 2,..., n)

Виды матриц

1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа

2. Квадратные: m=n

3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором

4. Матрица столбец: n=1. Например

5. Диагональная матрица: m=n и a_ij=0, если i≠ j.

6. Единичная матрица: m=n и

Б) Сумма двух матриц

Сложение матриц - поэлементная операция. Суммой матриц и одного размера называется матрица такого же размера, получаемая из исходных путем сложения соответствующих элементов:

Складывать можно только матрицы одинакового размера

Свойства сложения и вычитания матриц:

1. Ассоциативность

2. , где - нулевая матрица соответствующего размера.

4. Коммутативность

В)Произведение матрицы на число

Произведение матрицы на число - поэлементная операция. Произведением матрицы A на число k называется матрица B = k · A того же размера, полученная из исходной умножением на заданное число всех ее элементов:

Свойства умножения матрицы на число

1 · A = A
0 · A = Θ, где Θ - нулевая матрица
k · (A + B) = k · A + k · B
(k + n) · A = k · A + n · A
(k · n) · A = k · (n · A)

Г) произведение матрицы на матрицу

Результатом умножения матриц A _m_×_n и B _n_×_k будет матрица C _m_×_k такая, что элемент матрицы C, стоящий в i-той строке и j-том столбце (c_ij), равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B:

c_ij = a_i₁ · b₁_j + a_i₂ · b₂_j +... + a_in · b_nj

Две матрицы можно перемножить между собой тогда и только тогда, когда количество столбцов первой матрицы равно количеству строк второй матрицы.

Свойства произведения матриц:

1. Ассоциативность

2. Ассоциативность по умножению

3. Дистрибутивность ,

4. Умножение на единичную матрицу

5. В общем случае умножение матриц не коммутативно, т.е.

Определители 2-го и 3-го порядка

А) определение определителя 2-го порядка

Определителем второго порядка называется число, полученное с помощью элементов квадратной матрицы 2-го порядка следующим образом:

При этом из произведения элементов, стоящих на так называемой главной диагонали матрицы (идущей из левого верхнего в правый нижний угол) вычитается произведение элементов, находящихся на второй, или побочной, диагонали.

б) определитель 3-го порядка

. Определителем третьего порядка называется число, определяемое с помощью элементов квадратной матрицы 3-го порядка следующим образом:

Замечание. Для того, чтобы легче запомнить эту формулу, можно использовать так называемое правило треугольников. Оно заключается в следующем: элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «+», располагаются так:

образуя два треугольника, симметричных относительно главной диагонали. Элементы, произведения которых входят в определитель со знаком «-», располагаются аналогичным образом относительно побочной диагонали:

в) свойства определителей

Д) алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением к элементу определителя -го порядка называется число

Свойства алгебраического дополнения матрицы

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

n
Σ	a_ij·A_ij = det(A)
j = 1

Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

n
Σ	a_kj·A_ij = 0 (i ≠ k)
j = 1

Сумма произведений элементов " произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана " произвольная" строка.

Обратная матрица.Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

А) понятие обратной матрицы

Обратная матрица A^{− 1} — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Свойства обратной матрицы:

1°

2°

3°

4°

Б) методы вычисления обратной матрицы

Теорема.

Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощьюэлементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.

Замечание.

Если при преобразованиях в левой части матрицы образуется нулевая строка (столбец), то исходная матрица не имеет обратной матрицы.

Определение.

Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

A^-1 =		Ã ^T
det(A)

В) матричная запись системы линейных уравнений

Любую систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения.

Общий вид системы

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные;

Если все = 0, система называется однородной.

Матричная запись системы линейных уравнений

AX = B,

где

Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.

Критерий совместности линейных уравнений
Система совместна тогда и только тогда, когда rank A = rank D.

Г) метод обратной матрицы для решения СЛАУ

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X и Впозволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому

Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .

А) определитель системы

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

Определители:

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

Б)неоднородная система

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

В) метод крамера

Ме́ тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

1. Вычисляем определитель основной матрицы системы и убеждаемся, что он отличен от нуля.

2. Находим определители

которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменойk-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.

3. Вычисляем искомые неизвестные переменные x₁, x₂, …, x_n по формулам .

4. Выполняем проверку результатов, подставляя x₁, x₂, …, x_n в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.

А)теорема Кронекер-Капелли

Теорема Кронекера-Капелли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений.
Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.
Теорема Кронекера-Капелли применяется при исследованиях систем алгебраических уравнений (без непосредственного решения системы). В результате исследования должна быть записана эквивалентная система алгебраических уравнений с минимальным числом уравнений.

Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение, если ранг этой системы равен количеству переменных.Совместная система линейных уравнений имеет бесконечное множество решений, если ранг этой системы меньше количества переменных.

Система уравнений разрешима тогда и только тогда, когда , где — расширенная матрица, полученная из матрицы приписыванием столбца

Б)Однородная система

Система линейных уравнений является однородной, если свободный член каждого уравнения системы равен нулю. о днородная система всегда совместна, то есть всегда имеет решение.Решается методом Гаусса

В) Метод Гаусса

Систему линейных алгебраических уравнений пишем в виде расширенное матрицы, т.е. к матрице А добавляем столбец свободных членов.

Метод Гаусса решаем по следующему алгоритму:

1. а₁₁=0, в противном случае с помощью элементарного рпеобразования 1, берем такую строку, где а₁₁ не равен нулю,

2. Элементы первого столбца с помощью преобразования 2 и 3 приводим к нулю, кроме первого элемента

3. А₂₂=0, элементы второго столбца, находящиеся ниже диагонального элемента, с помощью преобразования 2 и 3 приводим к нулю, продолжая третье действие для остальных диагональных элементов поэтапно приводим расширеную матрицу в верхний треугольный вид.

Г) общее решение и частное решение

А)понятие вектора. Направляющие косинусы

вектор - это направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий длину и определенное направление. Графически вектора изображаются в виде направленных отрезков прямой определенной длины. Вектор началом которого есть точка А, а концом - точка В, обозначается AB. Также вектора обозначают одной маленькой буквой, например a.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой называют коллинеарными векторами

Два коллинеарных вектора a и b называются сонаправленными векторами, если их направления совпадают: a↑ ↑ b

Два коллинеарных вектора a и b называются противоположно направленными векторами, если их направления противоположны: a↑ ↓ b

Вектора, параллельные одной плоскости или лежащие на одной плоскости называют компланарными векторами

Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора.

Свойство направляющих косинусов. Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице.

В случае плоской задачи направляющие косинусы вектора a = {a_x; a_y} можно найти воспользовавшись следующей формулой

cos α =	a_x	;	cos β =	a_y
\|a\|	\|a\|

Свойство:

cos² α + cos² β = 1

Г)векторное произведение и его свойства

векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c

А)уравнение прямой с угловым коэффициентом

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой.

Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k. Тогда по определению .

Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент не существует (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент обращается в бесконечность).

Положительный угловой коэффициент прямой указывает на возрастание ее графика функции, отрицательный угловой коэффициент – на убывание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид формула y=kx+b, где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Б)виды уравнений прямой

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида , где А, В и С – некоторые действительные числа, причем А и Водновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида .

Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).

Уравнение прямой вида , где x и y - переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент)

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю.

Очевидно, что прямая линия, определяемая каноническим уравнением прямой, проходит через точку . В свою очередь числа и , стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Таким образом, каноническое уравнение прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .

Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю, а - параметр, принимающий любые действительные значения.

Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра (отсюда и название этого вида уравнений прямой).

Пара чисел , которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра , представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при имеем , то есть, точка с координатами лежит на прямой.

Следует отметить, что коэффициенты и при параметре в параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M ₁ ( x ₁, y ₁, z ₁ ) и M₂ ( x ₂, y ₂, z ₂ ), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х ₁ ≠ х₂ и х = х ₁, если х ₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

В) вычисление угла между двумя прямыми

если заданы две прямые y = k₁ x + b₁, y = k ₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂. Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂.

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λ А, В₁ = λ В. Если еще и С₁ = λ С, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Г)условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0.

Предел функции

А) предел последовательности

Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Б) предел функции

Преде́ л фу́ нкции ( предельное значение функции ) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Предел фу́ нкции — одно из основных понятий математического анализа. Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .

Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

В) два замечательных предела

· Первый замечательный предел:

Следствия

· Второй замечательный предел:

Следствия

5. для ,

Г) бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→ a или при x→ ∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

если функция y=f(x) представима при x→ a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α (x): f (x)=b+ α (x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α (x), где a(x) – бесконечно малая при x→ a.

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c=const, то .

Если функция f(x) является бесконечно большой при x→ a, то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→ a.

Если функция f(x) - бесконечно малая при x→ a (или x→ ∞ ) и не обращается в нуль, то y=1/f(x) является бесконечно большой функцией. простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A≠ 0

Д) раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль (0 на 0), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов, когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность .

К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность и бесконечность минус бесконечновть

Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки , то

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Вычисление производных

А)правило дифференцирования сложной функции

Пусть является сложной функцией, где функция – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции (её будем обозначать через ) и производную для функции .

Теорема 1. Если функция имеет производную в точке x, а функция имеет производную в точке (), то сложная функция в точке x имеет производную , причем = .

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Б) дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:

В) понятие логарифмической производной функции

Логарифмической производной положительной функции называется производная . Так как , то по правилу дифференцирования сложной функции получим следующее соотношение для логарифмической производной:

С помощью логарифмической производной удобно вычислять обычную производную в тех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции.

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

12 3 4 5 6 7 8 Следующая ⇒