Свойства алгебраического дополнения матрицы

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам этой строки (столбца) равна определителю матрицы:

n
Σ	aij·Aij = det(A)
j = 1

• Сумма произведений элементов строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения к элементам другой строки (столбца) равна нулю:

n
Σ	akj·Aij = 0 (i ≠ k)
j = 1

• Сумма произведений элементов " произвольной" строки на алгебраические дополнения к элементам i-той строки определителя равна определителю, в котором вместо i-той строки записана " произвольная" строка.

 

Обратная матрица.Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

А) понятие обратной матрицы

Обратная матрица A^{− 1} — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице E:

A·A^-1 = A^-1·A = E

Обратная матрица существует только для квадратных матриц с не равными нулю определителями.

Свойства обратной матрицы:

1°

2°

3°

4°

 

Б) методы вычисления обратной матрицы

Вычисление обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы

Теорема.

Если справа к квадратной матрице дописать единичную матрицу того же порядка и с помощьюэлементарных преобразований над строками преобразовать полученную матрицу так, чтобы начальная матрица стала единичной, то матрица полученная из единичной будет обратной матрицей к исходной.

Замечание.

Если при преобразованиях в левой части матрицы образуется нулевая строка (столбец), то исходная матрица не имеет обратной матрицы.

Вычисление обратной матрицы с помощью союзной матрицы

Определение.

Матрица Ã, элементы которой равны алгебраическим дополнениям соответствующих элементов матрицы A называется союзной матрицей.

A-1 =		Ã T
det(A)

В) матричная запись системы линейных уравнений

Любую систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения.

Общий вид системы

 

, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n, - коэффициенты системы; - свободные члены; - переменные;

Если все = 0, система называется однородной.

Матричная запись системы линейных уравнений

 

AX = B,

где

Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.

Критерий совместности линейных уравнений
Система совместна тогда и только тогда, когда rank A = rank D.

Г) метод обратной матрицы для решения СЛАУ

Пусть для матрицы А порядка n на n существует обратная матрица . Умножим обе части матричного уравнения слева на (порядки матриц A ⋅ X и Впозволяют произвести такую операцию, смотрите статью операции над матрицами, свойства операций). Имеем . Так как для операции умножения матриц подходящих порядков характерно свойство ассоциативности, то последнее равенство можно переписать как , а по определению обратной матрицы (E – единичная матрица порядка n на n), поэтому

Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле . Другими словами, решение СЛАУ находится с помощью обратной матрицы .

Система линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера

А) определитель системы

Система линейных уравнений с вещественными коэффициентами:

Определители:

 

В определителях столбец коэффициентов при соответствующей неизвестной заменяется столбцом свободных членов системы.

Решение:

Б)неоднородная система

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (b₁ = b₂ = … = b_m = 0), иначе — неоднородной.

В) метод крамера

Ме́ тод Крамера (правило Крамера) — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)

1. Вычисляем определитель основной матрицы системы и убеждаемся, что он отличен от нуля.

2. Находим определители

которые являются определителями матриц, полученных из матрицы А заменойk-ого столбца (k = 1, 2, …, n) на столбец свободных членов.

3. Вычисляем искомые неизвестные переменные x₁, x₂, …, x_n по формулам .

4. Выполняем проверку результатов, подставляя x₁, x₂, …, x_n в исходную СЛАУ. Все уравнения системы должны обратиться в тождества. Можно также вычислить произведение матриц A ⋅ X, если в результате получилась матрица, равная B, то решение системы найдено верно. В противном случае в ходе решения была допущена ошибка.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Дополнения. Противопоказания и элементарные навыки
2. Матрицы и действия над матрицами
3. Матрицы и операции над ними.
4. Матрицы изготовленные по IPS технологии.
5. Матрицы смежности и инцидентности
6. Матрицы. Действия над матрицами.
7. Определитель квадратной матрицы.
8. Позиция в матрицы левее линии «развитие- выживание».
9. Портфельный анализ на основе матрицы GE/McKinsey.
10. Применение матрицы GE/McKinsey
11. Свойства умножения матрицы на число