Случайные события.Классическое определение вероятности

Вероятность события-это численная мера степени объективной возможности этого события.

События называется случайными, если они образуют полную группу событий равновозможных и несовместных.

А)теоремы умножения и сложения вероятностей

Вероятность появления одного из двух несовместных событий и равна сумме их вероятностей:

Р ( А + В) = Р (А) + Р (В)

Следствие 1. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий А₁, А₂, …, А_n равна сумме вероятностей этих событий Р(А₁+…+А_n)=P(A₁)+…+P(A_n)

Следствие 2. Если события А₁, А₂, …, А_n образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:

=1 Следствие 3. Сумма противоположных событий равна единице, то есть

P(A)+P(A)=1

Следствие 4. Если события А и В совместны, то вероятность появления одного из них равна сумме их вероятностей минус вероятность их одновременного появления

Р ( А + В) = Р (А) + Р (В) –Р(АВ)

Теорема умножения.

Событие называется независимым от события , если вероятность события не зависит от того, произошло событие или нет.

Событие называется зависимым от события , если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие или нет.

Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятностьдругого, вычисленную при условии, что первое имело место:

(3.3.1)

Предположим, что событию благоприятны случаев, а событию благоприятны случаев. Так как мы не предполагали события и несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию , и событию одновременно. Пусть число таких случаев . Тогда

Вычислим , т.е. условную вероятность события в предположении, что имело место. Если известно, что событие произошло, то из ранее возможных случаев остаются возможными только те , которые благоприятствовали событию . Из них случаев благоприятны событию . Следовательно,

Подставляя выражения и в формулу (3.3.1), получим тождество. Теорема доказана.

Очевидно, при применении теоремы умножения вполне безразлично, какое из событий и считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать в таком виде:

Следствие 1. Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.

Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что все предыдущие имели место:

В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

б) вероятность появления хотя бы одного события

Вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий .

Ч а с т н ы й с л у ч а й. Если события А₁, А₂, ..., А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий

P (A) = l — qⁿ. (**)

Формула полной вероятности

А)полная группа событий

По́ лной гру́ ппой собы́ тий в теории вероятностей называется система случайных событий такая, что в результате произведенного случайного эксперимента непременно произойдет одно из них.

Сумма вероятностей событий А₁, А₂, ..., А_n, образующих полную группу, равна единице:

Р (A₁) + Р (А₂) +... + Р (А_n) = 1

Б) формула Байеса

Пусть событие происходит одновременно с одним из несовместных событий . Требуется найти вероятность события , если известно, что событие произошло.

На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать

Откуда

или

Повторные независимые испытания

А) формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой q=P(A¯ ¯ ¯ ¯ )=1− p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Pn(k)=C_n^k⋅ p^k⋅ qⁿ^-^k, q=1− p.

Б)локальная и интегральная теоремы Лапласа

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)

Для определения значений φ (x) можно воспользоваться специальной таблицей

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит не менее k₁ раз и не более k₂ раз, приближенно равна

P(k₁; k₂)=Φ (x'') - Φ (x')

Здесь

- функция Лапласа

Значения функции Лапласа находят по специальной таблице.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78