Нахождение экстремумов функции двух переменных

А)стационарные точки

Пусть задана функция z =z (x, y), (x, y) D. Точка M₀(x₀; y₀ D - точка локального экстремума.

Если в этой точке существуют z'_x и z'_y, то

Если в точке M₀ выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x, y) .

Б)необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных

Необходимое условие экстремума: если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, то есть: , .

Точки, в которых частные производные равны нулю, называются стационарными точками. Стационарные точки и точки, в которых производные не существуют и которые лежат внутри области определения функции, называются критическими точками. Не всякая критическая точка является точкой экстремума.

Достаточное условие существования экстремума:

Пусть стационарная точка функции . Обозначим , , и составим дискриминант . Тогда:

если , то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, при (или ) и минимум, при (или );

если , то в точке экстремума нет;

если , то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задачи Коши.

А)порядок дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение ,
где – независимые переменные, y – функция и – частные производные. Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:

Иногда дифференциальное уравнение первого порядка записывается через дифференциалы:

В этом случае переменные x и y являются равноправными. То есть независимой переменной может быть как x так и y. В первом случае y является функцией от x. Во втором случае x является функцией от y. Если необходимо, мы можем привести это уравнение к виду, в котором явно входит производная y′.
Разделив это уравнение на dx, мы получим:
.
Поскольку и , то отсюда следует, что
.

Б)дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка y′ =f(x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функцию f(x, y) можно представить в виде произведения двух функций, зависящих только от x и y:

f(x, y)=p(x)h(y),

где p(x) и h(y) − непрерывные функции.

Рассматривая производную y′ как отношение дифференциалов dydx, перенесем dx в правую часть и разделим уравнение на h(y):

dydx=p(x)h(y), ⇒ dyh(y)=p(x)dx.

Разумеется, нужно убедиться, что h(y)≠ 0. Если найдется число x0, при котором h(x0)=0, то это число будет также являться решением дифференциального уравнения. Деление на h(y) приводит к потере указанного решения.

Обозначив q(y)=1h(y), запишем уравнение в форме:

q(y)dy=p(x)dx.

Теперь переменные разделены и мы можем проинтегрировать дифференциальное уравнение:

∫ q(y)dy=∫ p(x)dx+C,

где C − постоянная интегрирования.

Вычисляя интегралы, получаем выражение

Q(y)=P(x)+C, описывающее общее решение уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные и линейные уравнения первого порядка

А) определение однородной функции первого порядка

Дифференциальное уравение первого порядка называется однородным, если и - однородные функции одной и то же степени.

Функция называется однородной функцией k-й степени, если для любого tвыполняется равенство .В частном случае, если однородная функция имеет нулевую степень, то выполняется равенство

Отношение двух однородных функций одинаковых степеней также есть однородная функция, но нулевой степени. Пусть и - однородные функции k-й степени. Это означает, что , а . Их отношение - некоторая функция , так как .

Б)метод решения однородной функции первого порядка

Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка сводится к решению дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.

Для этого преобразуем уравнение к виду

или , (1)

где - однородная функция нулевой степени как отношение однородных функций одинаковых степеней. Это равенство справедливо при любом t. В частности, если , то , или , т. е. функция представлена в виде функции от .

Обозначим это отношение через z, т. е. , откуда . Тогда

и уравнение (1) преобразуется так:

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделив переменные и выполнив почленное интегрирование, затем следует заменить z на .

В) формула для вывода решения линейного уравнения первого порядка

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 678 Следующая ⇒