Основные методы интегрирования

А)метод подстановки

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Б)метод интегрирования по частям

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

∫ udv = uv - ∫ vdu. (8.4)

Эта формула выражает правилоинтегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

∫ x cos x dx = ∫ x d(sin x) = x sin x - ∫ sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

∫ x^kln^mx dx, ∫ x^k sin bx dx, ∫ x^k cos bx dx, ∫ x^k e^ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

В)непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием.

Неопределенный интеграл

А)понятие первообразной функции

Функция называется первообразной для функции , на заданном промежутке, если на этом промежутке функция непрерывна, и в каждой внутренней точке промежутка справедливо равенство:

Отыскание для функции всех ее первообразных называется интегрированием и составляет одну из задач интегрального исчисления.

Если функция имеет на промежутке первообразную , то и все функции вида будут для нее первообразными на том же промежутке. Обратно, любая первообразная для функции может быть представлена в виде , где - одна из первообразных функций, а - произвольная постоянная. Совокупность всех первообразных для функции на заданном промежутке называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается

Функция называется подынтегральной функцией, а произведение - подынтегральным выражением.

Б) неопределенный интеграл

Неопределённый интегра́ л для функции — это совокупность всех первообразных данной функции.

Если функция определена и непрерывна на промежутке и — её первообразная, то есть при , то

где С — произвольная постоянная.

в)основные свойства неопределенного интеграла

1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная

4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или вносить под знак интеграла

5. Неопределенный интеграл от суммы/разности двух и больше функций равен сумме/разности неопределенных интегралов от этих функций

7. Если , то и , где функция - произвольная функция с непрерывной производной.

г)таблица основных интегралов

Функции двух переменных

А)область определения функции

область определения функции — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть задано.

Если на множестве задана функция, которая отображает множество в другое множество, то множество называется областью задания функции.

Более формально, если задана функция , которая отображает множество в , то есть: , то

множество называется областью задания функции и обозначается , или (от англ. domain — «область»).

Обычно предполагается, что . Пусть теперь — такое множество, что для каждого элемента задано значение функции , а множество содержит как множество так и точки, в которых функция не задана. В этом случае множество называется областью отправления функции, а его подмножество называется областью задания функции.

Этот факт коротко записывают в виде: .

Б) частные и полные приращения и дифференциалы функции

Приращение, которое получает функция Z=f(x, y), когда изменяется только одна из переменных, называется частным приращением функции по соответствующей переменной: Δ _xZ=f(x+Δ x, y)-f(x, y), Δ _yZ=f(x, y+Δ y)-f(x, y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Частным дифференциалом по х функции Z=f(x, y) называется главная часть частного приращения Δ _xZ=f(x+Δ x, y)-f(x, y), пропорциональная приращению Δ x независимой переменной х. Аналогично определяется частный дифференциал по у, т.е. Δ _yZ=f(y+Δ y, x)-f(x, y).

Дифференциалы независимых переменных х и у просто равны их приращениям, т.е. dx=Δ x, dy=Δ y. Частные дифференциалы обозначаются так: d_xZ -частный дифференциал по х, d_yZ - частный дифференциал по у. При этом:

Таким образом, частный дифференциал функции двух независимых переменных равен произведению соответствующей частной производной на дифференциал этой переменной.

Таким же образом, как для функции двух переменных, определяются частные приращения и частные дифференциалы функций любого числа независимых переменных.

Приращение, которое получает функция Z=f(x, y) при произвольных совместных изменениях ее обоих аргументов называется полным приращением:

Δ Z=f(x+Δ x, y+Δ y)-f(x, y)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Полным дифференциалом функции двух переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений независимых переменных.

Теорема. Полный дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме произведений частных производных функции на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

dZ=f'_x(x, y)dx+f'_y(x, y)dy или

Так как dx=d_xZ и dy=d_yZ, то dZ=d_xZ+d_yZ, т.е. дифференциал функции двух независимых переменных равен сумме ее частных дифференциалов.

Определение дифференциала переносится на функции любого числа независимых переменных.

В) частные производные функции двух переменных

Частной производной по x функции z = f(x, y) в точке A(x0, y0) называется предел отношения частного приращения по x функции в точке A к приращению ∆ x при стремлении ∆ x к нулю.
Частные производные функции z(x, y) находятся по следующим формулам: Вторые частные производные функции z(x, y) находятся по формулам:

Смешанные частные производные функции z(x, y) находятся по формулам:

Ели одному из аргументов функции z = f(x, y) придать приращение, а другой аргумент не изменять, то функция получит частное приращение по одному из аргументов: – это частное приращение функции z по аргументу x; – это частное приращение функции z по аргументу у.
Частной производной функции нескольких переменных по одному из её аргументов называется предел отношения частного приращения функции по этому аргументу к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю:
– это частная производная функции z по аргументу x;
– это частная производная функции z по аргументу у.
Чтобы вычислить частную производную ФНП по одному из её аргументов, нужно все другие её аргументы считать постоянными и проводить дифференцирование по правилам дифференцирования функции одного аргумента.

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 567 8 Следующая ⇒