Энергия. Закон сохранения энергии.

Кинетическая энергия тела – это энергия движения тела (1); где m – масса тела,

- скорость его движения.

Изменение кинетической энергии равно работе действующих на тело сил. Действительно (2) так как по 2-ому закону Ньютона , то из уравнения кинематики имеем , откуда , учитывая выражение (2) перепишем так: .

Очевидно кинетическая энергия в СИ, как и работа, выражена в Джоулях.

Тело, поднятое над Землей, обладает потенциальной энергией: , где h – высота тела над поверхностью Земли.

Сжатая или растянутая пружина обладает потенциальной энергией: , где k – жесткость пружины, x – сжатие или растяжение пружины.

Полной механической энергией называют сумму кинетической и потенциальной энергий: W=E+П.

В изолированной системе, в которой не действуют силы со стороны тел, не входящих в систему, действует закон сохранения полной механической энергии: ; - полная механическая энергия отдельного тела системы, N – число тел в системе.

Если же присутствуют внешние силы (например, силы трения, силы тяги и др.), то изменение полной механической энергии системы равно работе внешних сил: .

За счет работы сил трения увеличивается внутренняя энергия системы, тела нагреваются, механическая же энергия системы уменьшается.

ЗАДАЧИ К БЛОК 32

1. Стальной шарик массой m = 20 г падал с высоты h₁ = 1м на стальную плиту, отскакивает от нее на высоту h₂ = 81см. Найти: 1) импульс силы, полученный плитой за время удара; 2) количество теплоты, выделившееся при ударе.

Дано:

m = 20 г = 20 × 10 ^-3 кг

h₁ = 1 м

h₂ = 81 см = 0, 81 м

__________________

Р –? ; Q –?

Решение:

В соответствии со вторым законом Ньютона импульс силы, действующей на шарик равен: где V₁ и V₂– скорости шарика до и после удара.

Из закона сохранения энергии для данного случая имеем:

поэтому

По третьему закону Ньютона импульс силы, действующей на плиту, за время удара численно равен Р.

Количество теплоты, выделившееся при ударе шарика о плиту равно разности энергий шара до и после удара.

Подставим числовые данные:

Q = 20 × 10^{-3 кг}× 9, 8 м/с² (1 м – 0, 81 м) =37, 2 × 10^-3 Дж = 3, 7 × 10^-2Дж

[Q] = кг × м/с²× м = Н × м = Дж

Ответ: 3, 7 × 10^-2Дж

2. Частица массой m₁ = 4 × 10^{-20 г сталкивается с покоящейся частицей массой}m₂ = 10^{-19 г. Считать столкновение абсолютно упругим. Определить максимальную относительную потерю энергии первой частицы.}

Дано:

m₁ = 4 × 10^-20× 10^{-3 кг}

m₂ = 10^-19× 10^-3кг

__________________

W_макс–?

Решение:

Максимальная потеря энергии будет при прямом ударе. Доля энергии потерянной первой частицей выражается соотношением:

Т₁ – кинетическая энергия первой частицы до удара; U₂, T₂ – скорость и кинетическая энергия второй частицы после удара. Найдем U₂. При упругом ударе выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии.

По закону сохранения импульса, учитывая, что вторая частица до удара покоилась (V₂=0) имеем: m₁V₁ = m₁U₁ + m₂U₂

По закону сохранения энергии в механике:

Решая систему этих двух уравнений получим:

Подставим это выражение в формулу (1) получим:

– безразмерная величина.

Ответ: 0, 82

3. Тело массой m₁ = 1 кг, двигаясь горизонтально со скоростью V₁= 1 м/с, догоняет второе тело массой m₂ = 0, 5 кг и неупруго сталкивается с ним. Какую скорость получат тела, если: 1) второе тело стояло неподвижно; 2) второе тело двигалось со скоростью V₂= 0, 5 м/с в том же направлении, что и первое; 3) второе тело двигалось со скоростью V₂= 0, 5 м/с в направлении противоположным направлению движения первого тела.

Дано:

m₁ = 1 кг

V₁= 1 м/с

m₂ = 0, 5кг

1) V₂=0

2) V₂=0, 5м/с

3) V₂=0, 5м/с

____________

U –?

Решение:

В результате абсолютно неупругого удара оба тела начинают двигаться с одной и той же скоростью U. Так как тела движутся по одной прямой, то закон сохранения импульса можно записать в скалярной форме в проекциях на ось ох, направленную вдоль этой прямой, т.е. сумма проекций импульсов обоих тел до удара равна на проекции общего импульса после удара:

m₁V_1х + m₂V_2х = (m₁ + m₂) × U_1х

1) V_1х= V₁; V_2х = 0; U_х= U

и тогда m₁V₁ = (m₁ + m₂) × U_,

откуда ;

2)V_1х= V₁; V_2х = U₂; U_х= U

m₁V₁+ m₂V₂= (m₁+ m₂) × U,

откуда [U] = м/с

3)V_1х= V₁; V_2х= V₂

m₁V₁- m₂V₂= (m₁+ m₂) U

Значит U – положительное, значит тело будет двигаться в направлении оси ОХ, т.е. в направлении движения первого тела.

Ответ: 0, 67 м/с; 1 м/с; 0, 5 м/с

4. Автомобиль массой 1, 5 × 10³ кг двигавшийся со скоростью 70 км/ч останавливается под действием силы торможения 8000 Н за время t, пройдя при этом равнозамедленно расстояние S. Найти неизвестные величины t, S.

Дано:

m₁ = 1, 5 × 10³ кг

V₀= 70 км/ч =19, 4 м/с

F_т = 8 × 10³ H

__________________

S –?

t –?

Решение:

Изменение кинематической энергии автомобиля равно работе силы сопротивления:

Вектор силы сопротивления направлен противоположно вектору перемещения , поэтому А_с= F_т × S × cos 180^° = - F_Т × S (2)

Из (1) и (2) получаем:

Откуда перемещение:

= =

Время торможения где V_ср – средняя скорость. Поскольку движение равнозамедленное, то средняя скорость равна полусумме начальной и конечной скоростей, т.е. следовательно

Ответ: 35, 3 м; 3, 7 с.

БЛОК 33

Статика. Равновесие тел.

1. Условия равновесия тел.

2. Виды равновесия.

3. Простые механизмы.

Условия равновесия тел.

Раздел механики, в котором изучаются условия равновесия тел, называется статикой.

Для равновесия тела необходимо выполнение двух условий:

Первое условие равновесия. Векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю.

или , где n – число сил.

Если спроецировать все силы на выбранные направления осей X, Y и Z, то условие равновесия примет вид:

; ; .

Равновесие твердого тела зависит не только от модуля и направления, но и от точки приложения силы. Точку приложения силы можно переносить вдоль линии действия силы. Перпендикуляр, опущенный от оси вращения на линию действия силы, называется плечом силы. Произведение модуля силы на плечо называется моментом силы .

Момент силы , т.к. . Линия действия силы проходит через ось вращения.

Момент силы, вызывающий вращение по часовой стрелке считают положительным, а против – отрицательным.

Второе условие равновесия. Тело, имеющее ось вращения находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу, относительно этой оси равна нулю.

или , где n – число моментов.

Виды равновесия.

При отклонении тела от положения равновесия, возникает равнодействующая сила, которая вызывает движение тела. Если равнодействующая возвращает тело в положение равновесия, то такое положение называется устойчивым. Устойчивым является положение шара на вогнутой подставке.

В положении равновесия потенциальная энергия минимальна; в отклоненном положении потенциальная энергия шара увеличивается.

Если равнодействующая не возвращает тело в первоначальное положение, а вызывает дальнейшее отклонение от него, то положение неустойчивое. Неустойчивым является положение шара на выпуклой подставке. Равнодействующая направлена от положения равновесия; потенциальная энергия в отклоненном положении уменьшается.

Если при смещении равнодействующая всех сил остается равной нулю – положение безразличное. Безразличным, например, является положение шара на горизонтальное подставке. Потенциальная энергия не меняется.

Если тело опирается на несколько точек, то для равновесия необходимо, чтобы вертикаль, проведенная через центр тяжести, проходила внутри площади опоры тела; если же тело наклонено так, что линия действия силы тяжести выходит за пределы площади опоры, то оно опрокинется. Имеется предельный угол наклона, после которого первоначальное равновесие не восстанавливается и тело опрокидывается. Предельный угол тем меньше, чем выше расположен центр тяжести при данной площади опоры.

Площадь опоры – это не всегда площадь, на которой тело действительно соприкасается с опорой. Площадь опоры треноги или стула – это площадь контура, который получится, если соединить прямыми все ножки треноги, стула и т.д.

Простые механизмы.

Простые механизмы – это приспособления, с помощью которых можно преобразовать силу, направленную на совершение работы, как по модулю, так и по направлению. Любая, даже самая сложная машина, содержит в себе множество простых механизмов.

Одним из наиболее распространенных механизмов является рычаг. Рычаг – любое тело, которое может поворачиваться вокруг неподвижной опоры. Равновесие рычага наступает при условии, что отношение приложенных к его концам параллельных сил обратно отношению плеч и моменты этих сил противоположны по знаку. Поэтому, прикладывая небольшую силу к длинному концу рычага, можно уравновесить гораздо большую силу.

; ; .

Используя рычаг, можно выиграть в силе во столько раз, во сколько плечо приложенной силы больше плеча силы, против которой совершается работа.

Блок, простой неподвижный. Блок – это равноплечный рычаг. Простой блок не дает никакого выигрыша в силе. Его роль заключается только в изменении направления, в котором нужно прикладывать силу.

Для того чтобы получить выигрыш в силе применяют двойной блок. Он состоит из двух блоков разного радиуса, жестко скрепленных между собой и имеющих общую ось. Плечи силы различны и двойной блок действует как неравноплечный рычаг.

Некоторым видоизменением двойного блока является ворот и кабестан (вертикальный ворот) – для подъема якорей на судах.

Подвижный блок дает выигрыш в силе в 2 раза. Он позволяет поднять и удержать груз, прикладывая силу в 2 раза меньше веса груза, т.к. плечо силы тяжести , а удерживающей силы ; значит, , откуда .

Система подвижных и неподвижных блоков называется полипластом. Она может дать значительный выигрыш в силе – в 30 раз и более.

ЗАДАЧИ К БЛОКУ 33

1. Балка массой 400 кг и длиной 5 м несет нагрузку 5 кН, приложенную на расстоянии 3 м от одного из концов, а своими концами лежит на опорах. Каковы силы давления на каждую из опор?

Дано:

m = 400 кг

l = 5 м

F = 5× 10³Н

l₁= 3м

q = 9, 8 м/с²

__________

N₁ –?

N₂ –?

Тело находится в равновесии, если выполняется два условия:

1) Векторная сумма всех сил, приложенных к телу равна нулю

F₁= 0; n – число сил

2) Алгебраическая сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю.

М_i = 0; n – число сил

Момент силы относительно оси равен произведению силы F на плечо l (перпендикуляр, опущенный от оси вращения на линию действия силы): М = F × l.

В данной задаче на балку с грузом действуют четыре силы: сила тяжести балки сила тяжести груза и силы и нормальной реакции опор А и В. По третьему закону Ньютона силы _A и _B, с которыми балка давит на опоры равны по модулю силам и , т.е. F_A= N_A; F_B= N_B и имеют направления противоположные направлениям сил и .

В проекциях на вертикальное направление: N_A – F – mg + N_B = 0 (*) и составим уравнение для моментов сил относительно оси, проходящей через опору А перпендикулярно к плоскости чертежа:

N_B × l - mg F (l – l₁) = 0

Уравнение относительно оси, проходящей через точку В имеет вид:

N_A × l – F × l₁ - mg

Выразим отсюда величины N_A и N_B:

Это вполне соответствует уравнению (*): 5 × 10³ – 5 × 10³ – 400 × 9, 8 + 4 × 10³ = 0

Ответ: 5 × 10³Н; 4 × 10³Н

2. Метровая линейка выдвинута на край стола на одну четверть длины и давит только на край стола, когда на свешивающийся конец её положен груз массой 250 г. Какова масса линейки?

Дано:

m₁ = 0, 250 кг

l₁= 0, 25 l

l = 1 м

____________

m –?

На линейку действуют: – сила тяжести линейки; N – сила нормальной реакции края стола и – сила тяжести груза. Поэтому первое условие равновесия в векторной форме m₁ + + = 0

Второе условие относительно точки О (края стола) запишется так:

m₁gl₁ – mgl₂ = 0

m₁gl₁= mgl₂

m = 0, 250 кг

Ответ: 250 г.

3. Рельс длиной 10 м и массой 900 кг, расположенный горизонтально поднимают на двух параллельных тросах. Найти силу натяжения тросов, если один из них укреплен на конце рельса, а другой на расстоянии 1 м от другого конца.

Дано:

l =10 м

m = 900 кг

l₁= 1 м

___________

Т₁ –?

Т₂ –?

На рельс действуют три силы: сила тяжести и силы натяжения канатов Т₁ и Т₂. В проекции на вертикальное направление: Т₁ – mg + Т₂= 0 (1)

Уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку А:

, откуда

Из первого уравнения найдем Т1:

Т1 = mg – Т2

Т1 = 900 × 9, 8 – 4900 = 3920 Н

Ответ: 4900 Н; 3920 Н

4. Рабочий удерживает за один конец доску массой 40 кг и длиной 4 м так, что доска образует угол 30^° с горизонталью. Второй конец доски опирается на землю. С какой силой рабочий удерживает доску в этом положении, если сила направлена перпендикулярно доске?

Дано:

m = 40 кг

l = 4 м

________

F –?

На доску действуют три силы (с которой рабочий удерживает доску); сила тяжести m ; сила реакции земли . Составим уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку А: