Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Переходные процессы в цепях второго порядка



Ранее рассматривались переходные процессы в RL- и -цепях, которые относятся к цепям первого порядка, так как описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.11), (6.23). При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнением второго порядка. Простейшим примером такой цепи является последовательный колебательный контур (рис. 6.11).

Для этого контура можно по аналогии с RL- и -цепью составить дифференциальное уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой переменной напряжение на емкости

Учитывая, что i = CduC/dt окончательно получаем
(6.37)

Решение дифференциального уравнения (6.37) ищется согласно (6.5) в форме суммы свободной uCсв и принужденной uCпр составляющих:
(6.38)

Вид uCпр зависит от характера приложенного напряжения, а uCсв определится решением однородного дифференциального уравнения второго порядка:
(6.39)

Решение уравнения (6.39) зависит от вида корней характеристического уравнения
(6.40)

Корни уравнения (6.40) определяются только параметрами цепи независимо от выбранной переменной:
(6.41)

Величина a = R/2L носит название коэффициента затухания контура, а есть резонансная частота контура (см. § 4.2). Таким образом, уравнение (6.41) можно переписать в виде
(6.42)

Характер переходного процесса существенным образом зависит от вида корней р1, р2, которые могут быть:
1) вещественными и различными (при R> 2 );
2) комплексно-сопряженными (при R< 2 );
3) вещественными и равными (при R = 2 ).

Здесь = — характеристическое сопротивление контура (см. формулу (4.22)).

Разряд емкости на RL-цепь. Для исследования характера переходного процесса во всех этих случаях рассмотрим разряд емкости С на цепь RL (см. рис. 6.11). Так как до коммутации емкость С была заряжена до напряжения U, то имеем ненулевые начальные условия:

После коммутации (переключение ключа К из положения 1 в положение 2 емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходный процесс. Найдем закон изменения тока и напряжений на отдельных элементах цепи для случая 1)—3).

В первом случае, когда R> 2 , корни p1 и р2 в (6.41) будут вещественными и различными, и решение уравнения определится согласно (6.7):
(6.43)
где A1 и A2 — постоянные интегрирования. Для определения A1 и A2 запишем еще уравнение для тока в цепи:
(6.44)

Постоянные A1 и A2 можно найти из начальных условий для uC(0) = U и i(0) = 0 (при t = 0) и законов коммутации (6.1), (6.2):
(6.45)

Из решения системы уравнение (6.45)

В результате получаем уравнения для напряжения UC и тока i:
(6.46)
(6.47)

Закон изменения напряжения на индуктивности определяется при этом уравнением
(6.48)

Из уравнений (6.46)—(6.48) следует, что каждая из найденных величин uC, i, uL состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненте с коэффициентами p1 < 0 и p2 < 0. На рис. 6.12 показан характер зависимостей (6.46)—(6.48). Момент времени t1, соответствующий точке перегиба uC, максимуму | i | и нулевому значению uLопределяется из решения уравнения di / dt = 0, а момент t2 из решения уравнения duL / dt = 0:
(6.49)

Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом случае происходит апериодический разряд емкостиС, причем в интервале от 0 до t1 энергия WC расходуется на покрытие тепловых потерь в резистивном сопротивлении R и создание магнитного поля в индуктивности ( pC = uC i < 0; pL = uL i > 0). В дальнейшем (при t > t1) как энергия электрического поля емкости WC, так и запасенная к моменту t = t1 магнитная энергия индуктивности WLрасходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении R. Отрицательное значение тока свидетельствует о противоположном направлении тока разряда относительно опорного направления.

Во втором случае при R < 2 , когда корни p1 и p2 носят комплексно-сопряженный характер,
(6.50)
где называют частотой собственных затухающих колебаний. Решение уравнения (6.39) имеет вид (6.9)
(6.51)
где A и — постоянные интегрирования. Закон изменения тока в цепи
(6.52)

Постоянные A и определяются из начальных условий для uC и i и законов коммутации (6.1), (6.2):
(6.53)

Отсюда

Окончательно уравнения для uC, i и и принимают вид
(6.54)
(6.55)

(6.56)

Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место колебательный разряд емкости с частотой с, зависящей только от параметров R, L, С цепи. Интервал времени Тc = 2 / с носит название квазипериода. На рис. 6.13 изображены графики зависимостей uC(t) и i(t) определяемых уравнениями (6.54) и (6.55). Скорость затухания периодического процесса принято характеризовать декрементом затухания, который определяют как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака (см. рис. 6.13):
(6.57)

На практике чаще используется логарифмический декремент затухания
(6.58)

Из уравнений (6.57) и (6.58) следует, что затухание тем больше, чем больше R. При R = 2 колебания прекращаются и переходной процесс становится апериодическим. При R = 0 оказываются незатухающие гармонические колебания с частотой с = 0 = . Очевидно, что этот случай представляет чисто теоретический интерес, так как в любом реальном контуре имеются потери. В процессе колебательного разряда емкости (свободных колебаний вRLC-контуре) имеет место попеременное запасание энергии WC в электрическом поле емкости и магнитном поле индуктивности WL: в начале энергия WC расходуется на создание магнитного поля WL индуктивности и покрытие тепловых потерь сопротивления R, затем запасенная энергия WL, расходуется на перезаряд емкости и покрытие потерь в R и т. д. до полного перехода первоначальной энергии Wc(0) в тепловые потери в резисторе R.

Третий случай R = 2 является пограничным между колебательным и апериодическим и соответствует критическому разряду емкости. Решение уравнения (6.39) при этом имеет вид (6.8)
(6.59)

Ток определяется уравнением
(6.60)
где p1 = p2 = p = -a — корни характеристического уравнения (6.40); А1, А2 — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий для uC и i и законов коммутации (6.1), (6.2):

Отсюда А2 = aU. Окончательные выражения для напряжения и тока принимают вид
(6.61)
(6.62)
(6.63)

По своей форме графики зависимостей (6.61)—(6.63) аналогичны кривым, изображенным на рис. 6.12 с той лишь разницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2 . Значение R = 2 носит название критического сопротивления контура.

6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение

Включение RLC-контура на постоянное напряжение. Рассмотрим случай нулевых начальных условий uC(0) = 0, i(0) = 0, когда RLC-контур включается на постоянное напряжение (рис. 6.14).

Отличие данного случая от рассмотренного выше заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляю щей uCпр = U. Свободная составляющая uCсв определяется, как и ранее, уравнениями (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней р1 и р2. Постоянные интегрирования А1 и А2 находятся при этом из начальных условий i(0) = 0, uC(0) = 0 и законов коммутации для i и uC. Определим, например, закон изменения uC, i и uL в случае, когда корни р1 и р2 — вещественные и различные. При этом uC св определяются уравнением (6.43), а напряжение uC и ток i имеют следующий вид:
(6.64)

Для нахождения коэффициентов А1 и А2 используем начальные условия uC(0 ) = 0 и i(0 ) = 0, а также законы коммутации, определяемые выражениями (6.1), (6.2):
(6.65)

Тогда
(6.66)

Окончательные уравнения для иС, i, иL имеют вид
(6.67)
(6.68)
(6.69)

На рис. 6.15 изображены графики зависимостей (6.67)—(6.69), где моменты времени t1 и t2 определяются уравнениями (6.49). Сравнение формул (6.67)—(6.69) с (6.46)—(6.48) показывает, что ток i и напряжение иLотличаются только знаком, а напряжение иС — наличием постоянной составляющей U.

Аналогичным можно найти уравнения напряжений и тока для случая R < 2 :
(6.70)
(6.71)
(6.72)

На рис. 6.15 штриховой линией показана зависимость (6.70), которая свидетельствует о колебательном характере заряда емкости. Таким же образом можно получить уравнения для uC, i и uL для случая критического заряда емкостиС при R = 2 .

Включение RLC-контура на гармоническое напряжение.При включении RLC-контура на гармоническое напряжение u = Umsin( t + u ) принужденная составляющая напряжения на емкости
(6.73)
где C = u + /2. Здесь фазовый сдвиг между током в контуре и приложенным напряжением
(6.74)
а амплитуда принужденного напряжения на емкости
(6.75)

Учитывая, что колебательный контур в радиотехнических устройствах, как правило имеет высокую добротность, т. е. выполняется условие R 2 , то свободная составляющая uCсв определяется уравнением (6.51), и закон изменения напряжения на емкости будет иметь вид
(6.76)

Взяв производную от выражения (6.76), и учтя, что для заданного контура , получим уравнение тока
(6.77)

Постоянные интегрирования A и находим из начальных условий и законов коммутации:
(6.78)

Откуда
(6.79)
(6.80)

Подставив значения А и из уравнений (6.79), (6.80) в (6.76) и (6.77), получим окончательный закон изменения напряжения на емкости и тока в RLC-контуре:
(6.81)
(6.82)

Анализ уравнений (6.81), (6.82) показывает, что в случае, когда частота приложенного напряжения существенно превышает резонансную частоту контура 0 при C 0 в цепи могут возникнуть сверхнапряжения, а в случае и C /2 — сверхтоки.

Если частота задающего напряжения = 0, то при этом в цепи возникают явления изохронизма, когда напряжение на емкости и ток в контуре плавно изменяется в соответствии с уравнениями:
(6.83)
(6.84)

При этом переходный процесс протекает без перенапряжений и сверхтоков (рис. 6.16, а).

В случае, когда частота заданного напряжения и резонансная частота контура 0 близки между собой, то в контуре возникают явления биений. Положим, что a = 0, тогда
(6.85)
где U(t) = 2Uсos t — амплитуда биений с угловой частотой = ( 0 )/2. На рис. 6.16, б, показан график изменения напряжений биений (6.85).

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-07-13; Просмотров: 1256; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.03 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь