Переходные процессы в цепях второго порядка

⇐ ПредыдущаяСтр 10 из 10

Ранее рассматривались переходные процессы в RL- и RС-цепях, которые относятся к цепям первого порядка, так как описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.11), (6.23). При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнением второго порядка. Простейшим примером такой цепи является последовательный колебательный контур (рис. 6.11).

Для этого контура можно по аналогии с RL- и RС-цепью составить дифференциальное уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой переменной напряжение на емкости

Учитывая, что i = Cdu_C/dt окончательно получаем
(6.37)

Решение дифференциального уравнения (6.37) ищется согласно (6.5) в форме суммы свободной u_Cсв и принужденной u_Cпр составляющих:
(6.38)

Вид u_Cпр зависит от характера приложенного напряжения, а u_Cсв определится решением однородного дифференциального уравнения второго порядка:
(6.39)

Решение уравнения (6.39) зависит от вида корней характеристического уравнения
(6.40)

Корни уравнения (6.40) определяются только параметрами цепи независимо от выбранной переменной:
(6.41)

Величина a = R/2L носит название коэффициента затухания контура, а есть резонансная частота контура (см. § 4.2). Таким образом, уравнение (6.41) можно переписать в виде
(6.42)

Характер переходного процесса существенным образом зависит от вида корней р₁, р₂, которые могут быть:
1) вещественными и различными (при R> 2 );
2) комплексно-сопряженными (при R< 2 );
3) вещественными и равными (при R = 2 ).

Здесь = — характеристическое сопротивление контура (см. формулу (4.22)).

Разряд емкости на RL-цепь. Для исследования характера переходного процесса во всех этих случаях рассмотрим разряд емкости С на цепь RL (см. рис. 6.11). Так как до коммутации емкость С была заряжена до напряжения U, то имеем ненулевые начальные условия:

После коммутации (переключение ключа К из положения 1 в положение 2 емкость начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходный процесс. Найдем закон изменения тока и напряжений на отдельных элементах цепи для случая 1)—3).

В первом случае, когда R> 2 , корни p₁ и р₂ в (6.41) будут вещественными и различными, и решение уравнения определится согласно (6.7):
(6.43)
где A₁ и A₂ — постоянные интегрирования. Для определения A₁ и A₂ запишем еще уравнение для тока в цепи:
(6.44)

Постоянные A₁ и A₂ можно найти из начальных условий для u_C(0_–) = U и i(0_–) = 0 (при t = 0_–) и законов коммутации (6.1), (6.2):
(6.45)

Из решения системы уравнение (6.45)

В результате получаем уравнения для напряжения U_C и тока i:
(6.46)
(6.47)

Закон изменения напряжения на индуктивности определяется при этом уравнением
(6.48)

Из уравнений (6.46)—(6.48) следует, что каждая из найденных величин u_C, i, u_L состоит из двух слагаемых, затухающих по экспоненте с коэффициентами p₁ < 0 и p₂ < 0. На рис. 6.12 показан характер зависимостей (6.46)—(6.48). Момент времени t₁, соответствующий точке перегиба u_C, максимуму | i | и нулевому значению u_Lопределяется из решения уравнения di / dt = 0, а момент t₂ из решения уравнения du_L / dt = 0:
(6.49)

Анализ полученных кривых показывает, что в рассматриваемом случае происходит апериодический разряд емкостиС, причем в интервале от 0 до t₁ энергия W_C расходуется на покрытие тепловых потерь в резистивном сопротивлении R и создание магнитного поля в индуктивности ( p_C = u_C i < 0; p_L = u_L i > 0). В дальнейшем (при t > t₁) как энергия электрического поля емкости W_C, так и запасенная к моменту t = t₁ магнитная энергия индуктивности W_Lрасходуется на покрытие тепловых потерь в сопротивлении R. Отрицательное значение тока свидетельствует о противоположном направлении тока разряда относительно опорного направления.

Во втором случае при R < 2 , когда корни p₁ и p₂ носят комплексно-сопряженный характер,
(6.50)
где называют частотой собственных затухающих колебаний. Решение уравнения (6.39) имеет вид (6.9)
(6.51)
где A и — постоянные интегрирования. Закон изменения тока в цепи
(6.52)

Постоянные A и определяются из начальных условий для u_C и i и законов коммутации (6.1), (6.2):
(6.53)

Отсюда

Окончательно уравнения для u_C, i и и принимают вид
(6.54)
(6.55)

(6.56)

Полученные уравнения показывают, что в данном случае имеет место колебательный разряд емкости с частотой _с, зависящей только от параметров R, L, С цепи. Интервал времени Т_c = 2 / _с носит название квазипериода. На рис. 6.13 изображены графики зависимостей u_C(t) и i(t) определяемых уравнениями (6.54) и (6.55). Скорость затухания периодического процесса принято характеризовать декрементом затухания, который определяют как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака (см. рис. 6.13):
(6.57)

На практике чаще используется логарифмический декремент затухания
(6.58)

Из уравнений (6.57) и (6.58) следует, что затухание тем больше, чем больше R. При R = 2 колебания прекращаются и переходной процесс становится апериодическим. При R = 0 оказываются незатухающие гармонические колебания с частотой _с = ₀ = . Очевидно, что этот случай представляет чисто теоретический интерес, так как в любом реальном контуре имеются потери. В процессе колебательного разряда емкости (свободных колебаний вRLC-контуре) имеет место попеременное запасание энергии W_C в электрическом поле емкости и магнитном поле индуктивности W_L: в начале энергия W_C расходуется на создание магнитного поля W_L индуктивности и покрытие тепловых потерь сопротивления R, затем запасенная энергия W_L, расходуется на перезаряд емкости и покрытие потерь в R и т. д. до полного перехода первоначальной энергии W_c(0) в тепловые потери в резисторе R.

Третий случай R = 2 является пограничным между колебательным и апериодическим и соответствует критическому разряду емкости. Решение уравнения (6.39) при этом имеет вид (6.8)
(6.59)

Ток определяется уравнением
(6.60)
где p₁ = p₂ = p = -a — корни характеристического уравнения (6.40); А₁, А₂ — постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий для u_C и i и законов коммутации (6.1), (6.2):

Отсюда А₂ = aU. Окончательные выражения для напряжения и тока принимают вид
(6.61)
(6.62)
(6.63)

По своей форме графики зависимостей (6.61)—(6.63) аналогичны кривым, изображенным на рис. 6.12 с той лишь разницей, что их скорость изменения больше, чем при R > 2 . Значение R = 2 носит название критического сопротивления контура.

6.5. Включение RLC-контура на постоянное и гармоническое напряжение

Включение RLC-контура на постоянное напряжение. Рассмотрим случай нулевых начальных условий u_C(0_–) = 0, i(0_–) = 0, когда RLC-контур включается на постоянное напряжение (рис. 6.14).

Отличие данного случая от рассмотренного выше заключается в нулевых начальных условиях и наличии принужденной составляю щей u_Cпр = U. Свободная составляющая u_Cсв определяется, как и ранее, уравнениями (6.43), (6.51) или (6.59) в зависимости от вида корней р₁ и р₂. Постоянные интегрирования А₁ и А₂ находятся при этом из начальных условий i(0_–) = 0, u_C(0_–) = 0 и законов коммутации для i и u_C. Определим, например, закон изменения u_C, i и u_L в случае, когда корни р₁ и р₂ — вещественные и различные. При этом u_{C св} определяются уравнением (6.43), а напряжение u_C и ток i имеют следующий вид:
(6.64)

Для нахождения коэффициентов А₁ и А₂ используем начальные условия u_C(0_– ) = 0 и i(0_– ) = 0, а также законы коммутации, определяемые выражениями (6.1), (6.2):
(6.65)

Тогда
(6.66)

Окончательные уравнения для и_С, i, и_L имеют вид
(6.67)
(6.68)
(6.69)

На рис. 6.15 изображены графики зависимостей (6.67)—(6.69), где моменты времени t₁ и t₂ определяются уравнениями (6.49). Сравнение формул (6.67)—(6.69) с (6.46)—(6.48) показывает, что ток i и напряжение и_Lотличаются только знаком, а напряжение и_С — наличием постоянной составляющей U.

Аналогичным можно найти уравнения напряжений и тока для случая R < 2 :
(6.70)
(6.71)
(6.72)

На рис. 6.15 штриховой линией показана зависимость (6.70), которая свидетельствует о колебательном характере заряда емкости. Таким же образом можно получить уравнения для u_C, i и u_L для случая критического заряда емкостиС при R = 2 .

Включение RLC-контура на гармоническое напряжение.При включении RLC-контура на гармоническое напряжение u = U_msin( t + _u ) принужденная составляющая напряжения на емкости
(6.73)
где _C = _u + — /2. Здесь фазовый сдвиг между током в контуре и приложенным напряжением
(6.74)
а амплитуда принужденного напряжения на емкости
(6.75)

Учитывая, что колебательный контур в радиотехнических устройствах, как правило имеет высокую добротность, т. е. выполняется условие R 2 , то свободная составляющая u_Cсв определяется уравнением (6.51), и закон изменения напряжения на емкости будет иметь вид
(6.76)

Взяв производную от выражения (6.76), и учтя, что для заданного контура , получим уравнение тока
(6.77)

Постоянные интегрирования A и находим из начальных условий и законов коммутации:
(6.78)

Откуда
(6.79)
(6.80)

Подставив значения А и из уравнений (6.79), (6.80) в (6.76) и (6.77), получим окончательный закон изменения напряжения на емкости и тока в RLC-контуре:
(6.81)
(6.82)

Анализ уравнений (6.81), (6.82) показывает, что в случае, когда частота приложенного напряжения существенно превышает резонансную частоту контура ₀ при _C 0 в цепи могут возникнуть сверхнапряжения, а в случае и _C /2 — сверхтоки.

Если частота задающего напряжения = ₀, то при этом в цепи возникают явления изохронизма, когда напряжение на емкости и ток в контуре плавно изменяется в соответствии с уравнениями:
(6.83)
(6.84)

При этом переходный процесс протекает без перенапряжений и сверхтоков (рис. 6.16, а).

В случае, когда частота заданного напряжения и резонансная частота контура ₀ близки между собой, то в контуре возникают явления биений. Положим, что a = 0, тогда
(6.85)
где U_mС(t) = 2U_mСсos t — амплитуда биений с угловой частотой = ( — ₀ )/2. На рис. 6.16, б, показан график изменения напряжений биений (6.85).

⇐ Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910