Методика расчета фильтрационного сопротивления, при притоке жидкости к несовершенной скважине по линейному закону фильтрации

Приток жидкости к скважине определяется формулой Дюпюи:

, (2.1)

где Q – объемный дебит жидкости, м³/с; k – коэффициент проницаемости, м²;
h – эффективная нефтенасыщенная толщина пласта, м; – разность давления, Па; μ – динамическая вязкость, Па· с; R₀ – радиус контура питания скважины, м; r_c – радиус скважины, м;

 

Любое решение для притока жидкости к несовершенной скважине
(рис. 2.1) можно представить обобщенной формулой Дюпюи, введя дополнительные фильтрационные сопротивления [4, 21].

Рис. 2.1. Схема притока к несовершенной скважине в ограниченном однородно-анизотропном пласте

 

Задача о притоке жидкости к несовершенной по степени вскрытия скважине в пласте конечной толщины h₀ исследовалась М. Маскетом [1]. Вдоль оси скважины на вскрытой части длиной b он располагал воображаемую линию, поглощающую жидкость, каждый элемент которой является стоком. Подбирая интенсивность расходов, и используя метод суперпозиции действительных и отображённых стоков, М. Маскет получил следующую формулу для дебита гидродинамически несовершенной по степени вскрытия пласта скважины:

, (2.2)

где

(2.3)

есть функция фильтрационного сопротивления.

Функция имеет следующее аналитическое выражение:

, (2.4)

где – гамма функция Эйлера. Гамма функция Эйлера раскладывается в ряд следующим образом:

. (2.5)

А.П. Телков на основе решения Стклянина-Телкова [7] для потенциала несовершенной скважины

, (2.6)

где – эксцентриситет; – потенциал скорости фильтрации на контуре питания; – потенциал скорости фильтрации на контуре скважины.

Получил выражение для расчета фильтрационного сопротивления:

, (2.7)

в котором функция определяется как:

; (2.8)

где – положительный корень уравнения ; – функция Бесселя первого рода нулевого порядка; – функция Бесселя первого рода первого порядка; – гиперболический синус; – относительное вскрытие пласта; - безразмерный параметр, определяемый по следующей формуле:

. (2.9)

 

2.1.1 Анализ функции

Для расчета сложной функции , которая была аналитически выведена Ю.И. Сткляниным и А.П. Телковым [7] и используется во многих решениях, при нахождении фильтрационных сопротивлений по линейному закону фильтрации, поэтому необходимо ее подробно рассмотреть. Функция включает в себя гиперболическую функцию синуса , специальные функции, такие как функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка и функция Бесселя 1-го рода первого порядка , и ряд суммы от 1 до ∞.

Графическое изображение функций и для от 0 до 100 представлено на рис. 2.2.

Рис. 2.2. Функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка

 

Был разработан программный продукт для расчета функции . Для нахождения корней функции Бесселя 1-го рода нулевого порядка алгоритм [22].

 

 

Таблица 2.1 – Первые 100 положительных корней уравнения

Положительные корни уравнения J0(μ i)=0
μ 1	2, 4048256	μ 26	80, 8975559	μ 51	159, 4366112	μ 76	237, 9761688
μ 2	5, 5200781	μ 27	84, 0390908	μ 52	162, 5781887	μ 77	241, 1177546
μ 3	8, 6537279	μ 28	87, 1806298	μ 53	165, 7197667	μ 78	244, 2593406
μ 4	11, 7915344	μ 29	90, 3221726	μ 54	168, 8613454	μ 79	247, 4009267
μ 5	14, 9309177	μ 30	93, 4637188	μ 55	172, 0029245	μ 80	250, 5425130
μ 6	18, 0710640	μ 31	96, 6052680	μ 56	175, 1445041	μ 81	253, 6840995
μ 7	21, 2116366	μ 32	99, 7468199	μ 57	178, 2860842	μ 82	256, 8256861
μ 8	24, 3524715	μ 33	102, 8883743	μ 58	181, 4276647	μ 83	259, 9672729
μ 9	27, 4934791	μ 34	106, 0299309	μ 59	184, 5692456	μ 84	263, 1088598
μ 10	30, 6346065	μ 35	109, 1714896	μ 60	187, 7108270	μ 85	266, 2504469
μ 11	33, 7758202	μ 36	112, 3130503	μ 61	190, 8524087	μ 86	269, 3920340
μ 12	36, 9170984	μ 37	115, 4546127	μ 62	193, 9939907	μ 87	272, 5336214
μ 13	40, 0584258	μ 38	118, 5961766	μ 63	197, 1355731	μ 88	275, 6752088
μ 14	43, 1997917	μ 39	121, 7377421	μ 64	200, 2771558	μ 89	278, 8167963
μ 15	46, 3411884	μ 40	124, 8793089	μ 65	203, 4187388	μ 90	281, 9583840
μ 16	49, 4826099	μ 41	128, 0208770	μ 66	206, 5603221	μ 91	285, 0999717
μ 17	52, 6240518	μ 42	131, 1624463	μ 67	209, 7019057	μ 92	288, 2415596
μ 18	55, 7655108	μ 43	134, 3040166	μ 68	212, 8434896	μ 93	291, 3831474
μ 19	58, 9069839	μ 44	137, 4455880	μ 69	215, 9850736	μ 94	294, 5247357
μ 20	62, 0484692	μ 45	140, 5871604	μ 70	219, 1266580	μ 95	297, 6663239
μ 21	65, 1899648	μ 46	143, 7287336	μ 71	222, 2682426	μ 96	300, 8079121
μ 22	68, 3314693	μ 47	146, 8703076	μ 72	225, 4098274	μ 97	303, 9495005
μ 23	71, 4729816	μ 48	150, 0118825	μ 73	228, 5514125	μ 98	307, 0910889
μ 24	74, 6145006	μ 49	153, 1534580	μ 74	231, 6929977	μ 99	310, 2326775
μ 25	77, 7560256	μ 50	156, 2950343	μ 75	234, 8345831	μ 100	313, 3742661

 

Переход для функций Бесселя первого рода к интегральному виду осуществляется по формуле:

. (2.11)

Для вычисления значений функции , функция Бесселя первого рода первого порядка была представлена интегралом Бесселя:

; (2.12)

Интеграл (2.12) вычислялся приближенно методом Симпсона [23], по алгоритму [22], с точностью . Результаты расчета затабулированы и представлены в табл. 2.2.

 

 

Таблица 2.2 – Значения функции Бесселя первого рода первого порядка J₁(m_i)

Значения функции J1(μ i)
i	J1(μ i)	i	J1(μ i)	i	J1(μ i)	i	J1(μ i)
	0, 5191475		-0, 0887108		0, 0631898		-0, 0517218
	-0, 3402648		0, 0870369		-0, 0625763		0, 0513838
	0, 2714523		-0, 0854542		0, 0619803		-0, 0510523
	-0, 2324598		0, 0839549		-0, 0614011		0, 0507271
	0, 2065464		-0, 0825319		0, 0608377		-0, 0504080
	-0, 1877288		0, 0811788		-0, 0602896		0, 0500949
	0, 1732659		-0, 0798902		0, 0597561		-0, 0497876
	-0, 1617015		0, 0786610		-0, 0592365		0, 0494859
	0, 1521812		-0, 0774869		0, 0587302		-0, 0491895
	-0, 1441810		0, 0763638		-0, 0582366		0, 0488985
	0, 1372969		-0, 0752882		0, 0577553		-0, 0486125
	-0, 1313246		0, 0742568		-0, 0572858		0, 0483315
	0, 1260695		-0, 0732667		0, 0568275		-0, 0480553
	-0, 1213986		0, 0723151		-0, 0563800		0, 0477838
	0, 1172112		-0, 0713997		0, 0559429		-0, 0475169
	-0, 1134292		0, 0705182		-0, 0555159		0, 0472544
	0, 1099911		-0, 0696686		0, 0550985		-0, 0469961
	-0, 1068479		0, 0688489		-0, 0546903		0, 0467421
	0, 1039596		-0, 0680575		0, 0542911		-0, 0464921
	-0, 1012935		0, 0672928		-0, 0539005		0, 0462461
	0, 0988226		-0, 0665533		0, 0535182		-0, 0460040
	-0, 0965240		0, 0658376		-0, 0531440		0, 0457657
	0, 0943788		-0, 0651446		0, 0527775		-0, 0455310
	-0, 0923705		0, 0644730		-0, 0524184		0, 0452998
	0, 0904852		-0, 0638217		0, 0520666		-0, 0450722

 

Преобразуем формулу (2.8) для расчета. Для этого нужно избавиться от бесконечности в верхнем пределе суммы, заменив ее на целое число N. N определяется из следующего неравенства:

, (2.13)

где – точность расчета ряда суммы. Здесь она принимается 10^-5. Такую точность обеспечивает N≈ 100.

А.П. Телковым [4, 21] для нахождения значения предложены табулированные значения в диапазоне и
с достаточно большим шагом (табл. 2.3), и графическая зависимость функции (рис. 2.3), которые используются для определения коэффициентов дополнительного фильтрационного сопротивления в работах автора. Номограмма, представляющая функцию графически, имеет ограниченное количество кривых для , что не позволяет проводить расчеты в широком диапазоне переменных данных.

Сопоставим результаты полученные по формуле

(2.14)

с табличными данным А.П. Телкова. Так для значение по формуле, а из таблицы находим . При значения , и по формуле и таблице соответственно. Занижение примерно на 3% справедливо для всех представленных в таблице. Это объясняется тем, что табулированные данные были вычислены для N=40. Значение N было установлено методом перебора (равномерного поиска). Для N=40, , а так как значения под знаком суммы положительны при любом , то эту разницу будет составлять

. (2.15)

Подводя итоги вышеизложенному, следует отметить, что затабулированные в работе [4] значения функции рассчитаны до сорокового члена ряда суммы и обеспечивают удовлетворительную точность расчетов, но современная компьютерная техника позволяет производить более точные вычисления. Так приняв количество членов ряда суммы , получим более высокую точность расчетов, и отличие от значений в табл 2.3 на 3% в большую сторону.

 

Таблица 2.3 – Табулированные значения функции

	0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9
0, 1	0, 3552	0, 1787	0, 1191	0, 0893	0, 0715	0, 0596	0, 0511	0, 0447	0, 0395
0, 111	0, 3928	0, 1983	0, 1322	0, 0992	0, 0793	0, 0661	0, 0567	0, 0496	0, 0436
0, 125	0, 4456	0, 2263	0, 1509	0, 1132	0, 0906	0, 0647	0, 0647	0, 0566	0, 0495
0, 143	0, 5097	0, 2612	0, 1743	0, 1307	0, 1046	0, 0872	0, 0747	0, 0653	0, 0566
0, 167	0, 59	0, 3069	0, 205	0, 1538	0, 123	0, 1025	0, 0879	0, 0767	0, 0656
0, 2	0, 6956	0, 3699	0, 2479	0, 186	0, 1488	0, 124	0, 1063	0, 0925	0, 0773
0, 25	0, 8376	0, 4612	0, 3115	0, 2341	0, 1873	0, 156	0, 1335	0, 1135	0, 0931
0, 3	0, 98	0, 557	0, 382	0, 287	0, 23	0, 192	0, 164	0, 139	0, 109
0, 333	1, 0373	0, 6004	0, 4125	0, 3115	0, 2495	0, 2077	0, 1768	0, 1501	0, 1153
0, 4	1, 204	0, 72	0, 503	0, 383	0, 304	0, 255	0, 216	0, 18	0, 134
0, 5	1, 3646	0, 854	0, 6101	0, 4685	0, 377	0, 3123	0, 2615	0, 2135	0, 1516
0, 6	1, 525	0, 947	0, 717	0, 557	0, 45	0, 371	0, 308	0, 246	0, 17
0, 7	1, 653	1, 097	0, 81	0, 585	0, 516	0, 424	0, 349	0, 274	0, 183
0, 8	1, 8	1, 213	0, 91	0, 713	0, 58	0, 476	0, 39	0, 303	0, 2
0, 9	1, 873	1, 287	0, 975	0, 773	0, 628	0, 515	0, 418	0, 322	0, 208
	1, 9585	1, 3654	1, 044	0, 8326	0, 6781	0, 5551	0, 4474	0, 4314	0, 2176
	2, 54	1, 9	1, 515	1, 24	1, 015	0, 823	0, 65	0, 475	0, 282
	3, 09	2, 45	1, 975	1, 632	1, 345	1, 05	0, 845	0, 603	0, 343
	3, 68	3, 03	2, 535	2, 123	1, 756	1, 415	1, 09	0, 757	0, 4
	4, 181	3, 67	3, 184	2, 715	2, 259	1, 81	1, 365	0, 918	0, 465
	4, 251	3, 779	3, 306	2, 834	2, 362	1, 889	1, 417	0, 945	0, 472

Рис. 2.3. Графическое изображение функции

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. A.16.15.3. Экран принудительной изоляции для использования в депо
2. Cинтетический учет поступления основных средств, в зависимости от направления приобретения
3. Cмыкание с декоративно-прикладным искусством
4. E) Ценность, приносящая доход, депозит.
5. F) объема производства при отсутствии циклической безработицы
6. F) показывает, во сколько раз увеличивается денежная масса при прохождении через банковскую систему
7. F)по критерию максимизации прироста чистой рентабельности собственного капитала
8. G) осуществляется за счет привлечения дополнительных ресурсов
9. H) Такая фаза круговорота, где устанавливаются количественные соотношения, прежде всего при производстве разных благ в соответствии с видами человеческих потребностей.
10. H)результатов неэффективной финансовой политики по привлечению капитала и заемных средств
11. I HAVE A STRANGE VISITOR (я принимаю странного посетителя)
12. I MAKE A LONG JOURNEY (я предпринимаю длинное путешествие)