Топологические элементы схемы: ветви, узлы, контуры.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 10Следующая ⇒

Электрическая схема представляет собой графическое изображение электрической цепи. Она показывает как осуществляется соединение элементов рассматриваемой электрической цепи.

«Электрическими» элементами схемы служат активные и пассивные элементы цепи.

«Геометрическими» элементами схемы являются ветви и узлы.

Ветвь – участок схемы, расположенный между двумя узлами и образованный одним или несколькими последовательно соединенными электрическими элементами цепи (рис. 11).

Рис. 11. Изображение ветвей электрической схемы.

Под последовательным соединением элементов цепи понимается такое их соединение, при котором через все эти элементы проходит один и тот же ток.

Узел – место соединения трех или большего числа ветвей. Место соединения двух ветвей рассматривается как устранимый узел.

Рис. 12. Изображение узла электрической схемы.

Ветви присоединенные к одной паре узлов называются параллельными (рис. 13).

Рис. 13. Параллельное соединение двух ветвей.

На рис. 14 изображена электрическая схема пять ветвей и три узла.

Стрелкой на рис. указано направление обхода одного из контуров.

Рис. 14. Схема электрической цепи.

Под контуром понимается любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

В зависимости от числа контуров, имеющихся в схеме, различают многоконтурные и одноконтурные схемы.

Одноконтурная замкнутая схема показана на рис. 15.

Одноконтурная схема является простейшей.

Рис. 15. Одноконтурная схема.

Распределение потенциала вдоль участка ветви. Потенциальная диаграмма.

Рассмотрим участок электрической цепи (рис. 16)

Рис. 16.

Участок ветви, содержащий один или несколько источников энергии, является активным.

Положительные направления тока и напряжения указаны стрелкой.

Определим потенциалы точек c, d, e, b, предположив, что известен потенциал точки a-j_a.

Для правильного выбора знаков следует помнить, что:

1) ток в сопротивлении всегда направлен от более высокого потенциала к более низкому, т.е. потенциал падает по направлению тока.

2) э.д.с., направленная от точки «с» к точке «d», повышает потенциал последней на величину E.

3) напряжение U=Uac положительно, когда потенциал точки а выше, чем потенциал точки с.

При обозначении напряжения (разности потенциалов) на схемах посредством стрелки она ставится в направлении от точки высшего потенциала к точке низшего потенциала.

На рис. 16 ток протекает от точки «а» к точке «с», значит потенциал j_с будет меньше j_a на величину падения напряжения на сопротивлении R₁, которое по закону Ома равно IR₁:

j_{с =}j_a - IR₁

На участке cd э.д.с. E₁ действует в сторону повышения потенциала, следовательно:

j_d = j_{с +}E_{1 =}j_a - IR₁₊E₁

Потенциал точки «e» меньше потенциала точки «d» на величину падения напряжения на сопротивлении R₂:

j_e= j_d– IR_{2 =}j_a- IR₁₊E₁– IR₂

На участке e в э.д.с. E₂действует таким образом, что потенциал точки «b» меньше потенциала точки «e» на величину E₂:

j_b= j_e– E_{2 =}j_a- IR₁₊E₁– IR₂– E₂ = j_a – I(R₁+R₂) + E₁-E₂ (15)

Чтобы наглядно оценить распределение потенциала вдоль участка цепи, полезно построить потенциальную диаграмму, которая представляет график изменения потенциала вдоль участка цепи или замкнутого контура.

По оси абсцисс графика откладываются потенциалы точек, а по оси ординат – сопротивления отдельных участков цепи. Для участка цепи рис. 16 распределение потенциала построено на рис. 17.

Рис. 16. Потенциальная диаграмма участка цепи.

Потенциальная диаграмма рис. 16 построена, начиная с точки a, которая условно принята за начало отсчета. Потенциал j_a принят равным нулю.

Точка цепи, потенциал которой условно принимается равным нулю, называется базисной.

Если в условии задачи не оговорено, какая точка является базисной, то можно потенциал любой точки условно приравнивать к нулю. Тогда потенциалы всех остальных точек будут определяться относительно выбранного базиса.

Обобщенный закон Ома.

Закон Ома выражаемый формулой , определяет зависимость между током и напряжением на пассивном участке электрической цепи.

Определим зависимость между током, напряжением и э.д.с. на активном участке (рис. 16).

Из формулы 15 следует:

j_a -j_b=I(R₁+R₂)- E₁+E₂ (16)

На положительное напряжение на участке a – b Uab=j_a -j_b

Следовательно, Uab= I(R₁+R₂)- E₁+E₂ (17)

(18)

Формула (18) выражает обобщенный закон Ома, или закон Ома для участка, содержащего э.д.с.

Из формулы видно, что если ток, напряжение и э.д.с. совпадают по направлению, то в выражение закона Ома они входят с одинаковыми знаками. Если э.д.с. действует в сторону, противоположную положительному направлению тока, то в выражении ставится знак «-».

Закон Ома применяется для участка ветви и для одноконтурной замкнутой схемы.

Пример № 1 построения потенциальной диаграммы:

Построить потенциальную диаграмму для одноконтурной схемы:

E₁=25В; E₂=5В; E₃=20В; E₄=35В,

R₁=8 Ом; R₂=24 Ом; R₃=40 Ом; R₄=4 Ом,

r₁=2 Ом; r₂=6 Ом; r₃=2 Ом; r₄=4 Ом.

Решение: 1. перерисуем заданный контур, вынося внутренние сопротивления э.д.с. (r₁- r₄) за их пределы; обозначим точки контура.

Рис.2

2. Выберем положительное направление тока I, определим его значение используя обобщенный закон Ома:

3. За базисную точку примем точку a. Найдем потенциалы остальных точек:

j_b = j_a – IR_{1 =}- 4В j_e = j_d – IR_{2 =}8В

j_c = j_b – Ir_{1 =}- 5В j_f = j_e + E_{2 =}13В

j_d = j_c + E_{1 =}20В j_q = j_f – Ir_{2 =}10В

j_k = j_q – IR_{3 =}- 10В j_n = j_m – IR_{4 =}- 33В

j_e= j_k– E_{3 =}- 30В j_o= j_n– Ir_{4 =}- 35В

j_m= j_e– Ir_{3 =}- 31В j_a= j_o+ E_{4 =}0

4. В системе координат строим потенциальную диаграмму:

Законы Кирхгофа.

Распределение токов по ветвям электрической цепи подчиняется первому закону Кирхгофа, а распределение напряжений по участкам цепи подчиняется второму закону Кирхгофа.

Законы Кирхгофа наряду с законом Ома являются основными в теории электрических цепей.

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:

SI_i = 0 (19)

Где i - число ветвей, сходящихся в данном узле.

Т.е., суммирование распространяется на токи в ветвях, которые сходятся в рассматриваемом узле.

Рис.17. Иллюстрация к первому закону Кирхгофа.

Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, определяется формулой:

Nуp = Nу – 1,

Где Nу – число узлов в рассматриваемой цепи.

Знаки токов в уравнении берутся с учетом выбранного положительного направления. Знаки у токов одинаковы, если токи одинаково ориентированы относительно данного узла.

Например, для узла, представленного на рис.17: припишем токам, подтекающим к узлу знаки «+», а к токам, оттекающим от узла – знаки «-».

Тогда уравнение по первому закону Кирхгофа запишется так:

I₁ – I₂ + I₃ – I₄ = 0.

Уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа, называются узловыми.

Этот закон выражает тот факт, что в узле электрический заряд не накапливается и не расходуется. Сумма электрических зарядов, приходящих к узлу, равна сумме зарядов, уходящих от узла за один и тот же промежуток времени.

Второй закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма э.д.с. в любом замкнутом контуре цепи равна алгебраической сумме падений напряжения на элементах этого контура:

S Ui = S Ei

S IiRi = S Ei (20)

Где i – номер элемента(сопротивления или источника напряжения) в рассматриваемом контуре.

**Число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, определяется формулой:

Nуp = Nb – Nу + 1 – Nэ.д.с.

Где Nb – число ветвей электрической цепи;

Nу - число узлов;

Nэ.д.с. - число идеальных источников э.д.с.

Рис.18. Иллюстрация ко второму закону Кирхгофа.

Для того, чтобы правильно записать второй закон Кирхгофа для заданного контура, следует выполнять следующие правила:

1. произвольно выбрать направление обхода контура, например, по часовой стрелке (рис.18).

2. э.д.с. и падения напряжения, которые совпадают по направлению с выбранным направлением обхода, записываются в выражении со знаком «+»; если э.д.с. и падения напряжения не совпадают с направлением обхода контура, то перед ними ставится знак «-».

Например, для контура рис.18, второй закон Кирхгофа запишется следующим образом:

U₁ – U₂ + U₃ = E₁ – E₃ – E₄ (21)

Уравнение (20) можно переписать в виде:

S (Ui – Ei) = 0 (22)

Где (U – E) – напряжение на ветви.

Следовательно, второй закон Кирхгофа можно сформулировать следующим образом:

Алгебраическая сумма напряжений на ветвях в любом замкнутом контуре равна нулю.

Потенциальная диаграмма, рассмотренная ранее, служит графической интерпретацией второго закона Кирхгофа.

Задача №1.

В схеме рис.1 заданы токи I₁ и I₃, сопротивления и э.д.с. Определить токи I₄, I₅, I₆; напряжение между точками a и b, если I₁ = 10мA, I₃ = -20 мA, R₄ = 5kОм, E₅ = 20B, R₅ = 3kОм, E₆ = 40B, R₆ = 2kОм.

Рис.1

Решение:

1. Для заданного контура составим два уравнения по первому закону Кирхгофа и одно – по второму. Направление обхода контура указано стрелкой.

В результате решения получаем: I₆ = 0; I₄ = 10мA; I₅ = -10мA

2. зададим направление напряжения между точками a и b от точки «a» к точке «b» - U_ab. Это напряжение найдем из уравнения по второму закону Кирхгофа:

I₄R₄ + U_ab + I₆R₆ = 0

U_ab = - 50B.

Задача №2.

Для схемы рис.2 составить уравнения по законам Кирхгофа и определить неизвестные точки.

Дано: I₁ = 20мA; I₂ = 10мA

R₁ = 5kОм, R₃ = 4kОм, R₄ = 6kОм, R₅ = 2kОм, R₆ = 4kОм.

Рис.2

Решение:

Число узловых уравнений – 3, число контурных уравнений – 1.

Запомнить! При составлении уравнения по второму закону Кирхгофа выбираем контур, в который не входят источники тока. Направление контура указано на рисунке.

В данной цепи известны токи ветвей I₁ и I₂. Неизвестные токи I₃, I₄, I₅, I₆.

Решая систему, получаем: I₃ = 13, 75 мA; I₄ = -3, 75мA; I₅ = 6, 25мA; I₆ = 16, 25мA.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒